Klausuren Q11 / Q12 Mathematik Bayern

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen
Graph der Funktion f

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\).

Ordnen Sie dem Graphen der Funktion \(f\) aus den Graphen I bis VI den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\) und einer zugehörigen Stammfunktion \(F\) zu. Begründen Sie Ihre Wahl.

Graph I

Graph II

Graph III

Graph IV

Graph V

Graph VI

Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\)

Graph III zeigt den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\).

 

Begründung:

Um von einem Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\) auf den Graphen \(G_{f'}\) der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\) zu schließen, werden insbesondere die Extrempunkte von \(G_{f}\) und der Verlauf von \(G_{f}\) (Steigung, Monotonieverhalten) in der Umgebung der Extrempunkte betrachtet.

Extrempunkte

Anwendung der Differentialrechnung:

Extrempunkte

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.

(vgl. Merkhilfe)

Graph der Funktion f, Tangenten an den Graphen der Funktion f in der Umgebung der Extrempunkte

Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x = -1\) einen Hochpunkt und an der Stelle \(x = 2\) einen Tiefpunkt.

Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\).

Betrachtet man die Steigung einer Tangente an \(G_{f}\) in der Umgebung der Extrempunkte von \(G_{f}\), lässt sich Folgendes schlussfolgern:

  • Der Graph \(G_{f'}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) hat an den Stellen \(x = -1\) und \(x = 2\) jeweils eine einfache Nullstelle (waagrechte Tangente an \(G_{f}\), Vorzeichenwechsel von \(f'\)).
  • \(G_{f'}\) verläuft für \(x \in \; ]-\infty;-1[\) oberhalb der \(x\)-Achse \((f'(x) > 0)\).
  • \(G_{f'}\) verläuft für \(x \in \; ]-1;2[\) unterhalb der \(x\)-Achse \((f'(x) < 0)\).
  • \(G_{f'}\) verläuft für \(x \in \; ]2;+\infty[\) oberhalb der \(x\)-Achse \((f'(x) > 0)\).

 

Graph III

Die genannte Eigenschaften des Graphen \(G_{f'}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) erfüllt ausschließlich Graph III.

 

Graph der zugehörigen Stammfunktion \(F\)

Graph V zeigt den Graphen einer zugehörigen Stammfunktion \(F\) von \(f\).

 

Begründung:

Um von einem Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\) auf den Graphen \(G_{F}\) einer zugehörigen Stammfunktion \(F\) zu schließen, werden insbesondere die Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse (Nullstellen von \(f\)) und der Verlauf von \(G_{f}\) in deren Umgebung betrachtet.

 

Graph der Funktion f, Abschnitte positiver bzw. negativer Funktionswerte

Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) schneidet die \(x\)-Achse näherungsweise an den Stellen \(x \approx 1{,}8\), \(x \approx 0\) und \(x \approx 3{,}3\). Die Funktion \(f\) wechselt an diesen einfachen Nullstellen jeweils das Vorzeichen.

 

Gemäß der Definition einer Stammfunktion gilt:

Stammfunktion

Stammfunktion

Eine differenzierbare Funktion \(F(x)\) heißt eine Stammfunktion von \(f(x)\), wenn

\(F'(x) = f(x)\) mit \(D_{F} = D_{f}\)

gilt.

\[F'(x) = f(x)\]

 

Mithilfe dieser Beziehung und dem Monotoniekriterium lässt sich näherungsweise die Lage der Extremstellen einer zugehörigen Stammfunktion \(F\) und die Art der Extrempunkte des Graphen \(G_{F}\) schlussfolgern:

Extrempunkte

Anwendung der Differentialrechnung:

Extrempunkte

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.

(vgl. Merkhilfe)

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

\[\left. \begin{align*} &F'(x) < 0 \; \text{für} \; x \lesssim 1{,}8 \\[0.8em] &F'(1{,}8) \approx 0 \\[0.8em] &F'(x) > 0 \; \text{für} \; x \gtrsim 1{,}8 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt von} \;G_{F}\; \text{bei}\; x \approx 1{,}8\]

 

\[\left. \begin{align*} &F'(x) > 0 \; \text{für} \; x \lesssim 0 \\[0.8em] &F'(0) \approx 0 \\[0.8em] &F'(x) < 0 \; \text{für} \; x \gtrsim 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt von} \;G_{F}\; \text{bei}\; x \approx 0\]

 

\[\left. \begin{align*} &F'(x) < 0 \; \text{für} \; x \lesssim 3{,}3 \\[0.8em] &F'(3{,}3) \approx 0 \\[0.8em] &F'(x) > 0 \; \text{für} \; x \gtrsim 3{,}3 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt von} \;G_{F}\; \text{bei}\; x \approx 3{,}3\]

 

Graph V

Ausschließlich Graph V zeigt die genannten Etrempunkte an den Nullstellen der Funktion \(f\).

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden
2.3.1 Lagebeziehung von Geraden