Tangentensteigung

  • Die Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) mit \(f(x) = 0{,}5x^2\) im Punkt \(P(2|f(2))\) und die Normale bilden mit der \(x\)-Achse das Dreieck \(PQR\).

    a) Veranschaulichen Sie den Sachverhalt in einer Skizze.

    b) Berechnen Sie den Flächeninhalt sowie die Innenwinkel des Dreiecks.

  • Abbildung Aufgabe 3 Klausur Q11/2-005, Graph einer Funktion k

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_k\) einer Funktion \(k\).

    a) Begründen Sie, dass \(k\) an der Stelle \(x = 6\) nicht differenzierbar ist, indem Sie mithilfe der Abbildung zugehörige Grenzwerte angeben und daraus schlussfolgern.

    b) Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen der Ableitungsfunktion \(k'\). Achten Sie auf ausreichende Genauigkeit.

  • Abbildung Aufgabe 5 Klausur Q11/2-005

    Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(p\).

    a) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung die mittlere Änderungsrate von \(p\) im Intervall \([-2;2]\) und veranschaulichen Sie Ihre Vorgehensweise durch geeignete Eintragungen in die Abbildung. Entscheiden Sie, ob es im dargestellten Bereich des Graphen \(G_p\) ein Intervall gibt, in dem die mittlere Änderungsrate von \(p\) kleiner als null ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz.

    b) Erklären Sie die Bedeutung des Grenzwerts \(\lim \limits_{x\,\to\,-2}\dfrac{p(x) - p(-2)}{x + 2}\). Veranschaulichen Sie diesen in der Abbildung und bestimmen Sie damit näherungsweise den Grenzwert.

  • Aufgabe 1

    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion \(f\)mit \(f(x) = 0{,}5x^2 + 3x\) an der Stelle \(x = -2\) mithilfe des Differentialquotienten. Tipp: Verwenden Sie die h-Methode.

     

    Aufgabe 2

    Abbildung Aufgabe 5 Klausur Q11/2-005

    Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(p\).

    a) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung die mittlere Änderungsrate von \(p\) im Intervall \([-2;2]\) und veranschaulichen Sie Ihre Vorgehensweise durch geeignete Eintragungen in die Abbildung. Entscheiden Sie, ob es im dargestellten Bereich des Graphen \(G_p\) ein Intervall gibt, in dem die mittlere Änderungsrate von \(p\) kleiner als null ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz.

    b) Erklären Sie die Bedeutung des Grenzwerts \(\lim \limits_{x\,\to\,-2}\dfrac{p(x) - p(-2)}{x + 2}\). Veranschaulichen Sie diesen in der Abbildung und bestimmen Sie damit näherungsweise den Grenzwert.

     

    Aufgabe 3

    Abbildung Aufgabe 3 Klausur Q11/2-005, Graph einer Funktion k

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_k\) einer Funktion \(k\).

    a) Begründen Sie, dass \(k\) an der Stelle \(x = 6\) nicht differenzierbar ist, indem Sie mithilfe der Abbildung zugehörige Grenzwerte angeben und daraus schlussfolgern.

    b) Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen der Ableitungsfunktion \(k'\). Achten Sie auf ausreichende Genauigkeit.

     

    Aufgabe 4

    Die Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) mit \(f(x) = 0{,}5x^2\) im Punkt \(P(2|f(2))\) und die Normale bilden mit der \(x\)-Achse das Dreieck \(PQR\).

    a) Veranschaulichen Sie den Sachverhalt in einer Skizze.

    b) Berechnen Sie den Flächeninhalt sowie die Innenwinkel des Dreiecks.

     

    Aufgabe 5

    Abbildung Klausur Q11/2-005 Aufgabe5, modellhafter Verlauf einer Wasserrrutsche 

    Die Abbildung zeigt modellhaft den Verlauf einer Wasserrutsche, der näherungsweise durch die Funktion \(f \colon x \mapsto 0{,}01x^3 -0{,}3x^2 + 2{,}25x\) mit \(D_f = [0:14]\) beschrieben wird. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 0,5 m in der Realität.

    a) Bestimmen Sie die maximale Höhe der Rutsche durch Rechnung.

    b) Berechnen Sie das mittlere Gefälle der Rutsche im Intervall \([6;10]\).

    c) Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, um die steilste Stelle der Rutsche im Intervall \([5;14]\) rechnerisch zu ermitteln.

     

    Aufgabe 6

    Die Graphen der Funktionen \(f \colon x \mapsto 0{,}5x^2 - 3x + 4\) und \(g \colon x \mapsto x^3 - x+1\) besitzen genau einen gemeinsamen Punkt. Berechnen Sie die \(x\)-Koordinate dieses Punktes mit dem Newton-Verfahren auf zwei Dezimalen genau. Wählen Sie als Startwert \(x_0 = 1\).

    (Zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate des gemeinsamen Punktes: \(\approx 1{,}11617\))

  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2x^{2} \cdot \sin{x}\).

    Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\).

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

     

    a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

    b) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) von \(f\) sowie die Lage und Art des/der Extrempunkte(s) von \(G_{f}\).

    c) Ermitteln Sie die Gleichung der Normale \(N\) im Punkt P\((0|f(0))\).

  • Aufgabe 1

    Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{6 - x^{2}}{x^{2} - 9}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge \(D_{f}\) der Funktion \(f\).

    b) Berechnen Sie die Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen.

    c) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\).

    d) Untersuchen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern von \(D_{f}\).

    e) Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

    f) Skizzieren Sie \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

     

    Aufgabe 2

    Bilden Sie die erste Ableitung folgender Funktionen und vereinfachen Sie den Funktionsterm der Ableitung soweit wie möglich:

    a) \(f(x) = \dfrac{1}{x - 3}\)

    b) \(g(x) = -(x^{2} - 6x + 3) (x - 2)\)

     

    Aufgabe 3

    Abbildung zu Aufgabe 3 Klausur Q11/1-001

    Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) einer auf \(\mathbb R\) differenzierbaren Funktion \(f\).

    a) Geben Sie das Monotonieverhalten und die Extremstelle(n) von \(f\) an.

    b) Ermitteln Sie den Funktionsterm der Funktion \(f\), deren Graph \(G_{f}\) durch den Punkt \(P(1|-1)\) verläuft und skizzieren Sie \(G_{f}\).

     

    Aufgabe 4

    Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\) an und erläutern Sie kurz, was man unter dem Begriff „Stammfunktion" versteht.

     

    Aufgabe 5

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{32}x^{4} - \dfrac{1}{4}x^{2} + 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(f\).

    b) Untersuchen Sie das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\).

    c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) im Punkt \(P(1|f(1))\). 

    d) Berechnen Sie den Schnittpunkt \(S_{y}\) des Graphen der Funktion \(f\) mit der \(y\)-Achse.

    e) Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art aller Extrempunkte von \(G_{f}\).

    f) Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie die Tangente \(T\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{32}x^{4} - \dfrac{1}{4}x^{2} + 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(f\).

    b) Untersuchen Sie das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\).

    c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) im Punkt \(P(1|f(1))\).

    d) Berechnen Sie den Schnittpunkt \(S_{y}\) des Graphen der Funktion \(f\) mit der \(y\)-Achse.

    e) Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art aller Extrempunkte von \(G_{f}\).

    f) Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie die Tangente \(T\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

  • Aufgabe 1

    Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion \(f'\) der Funktion \(f \colon x \mapsto (3x - 2)(x + 1) - \dfrac{1}{x}\) und vereinfachen Sie den Term.

     

    Aufgabe 2

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{3x^{2} + 3x - 6}{{(x + 1)}^{2}}\) mit dem maximalen Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Geben Sie \(D_{f}\) an.

    b) Ermitteln Sie die Koordinaten aller Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen.

    c) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

    d) Stellen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) sowie die Gleichung der Normalen \(N\) an der Stelle \(x = 1\) auf.

    e) Zeichnen Sie \(G_{f}\), die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

    f) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, welches die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) mit der \(y\)-Achse bilden.

     

    Aufgabe 3

    Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto -\dfrac{1}{8}x^{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} - \dfrac{9}{2}x\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion \(f\) und geben Sie die Lage und die Art der lokalen Extrempunkte von \(G_{f}\) an.

     

    Aufgabe 4

    Graph der Funktion f

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\).

    Ordnen Sie dem Graphen der Funktion \(f\) aus den Graphen I bis VI den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\) und einer zugehörigen Stammfunktion \(F\) zu. Begründen Sie Ihre Wahl.

    Graph I

    Graph II

    Graph III

    Graph IV

    Graph V

    Graph VI

     

    Aufgabe 5

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 3x + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bzgl. des Koordinatensystems.

    b) Geben Sie die Art und die Gleichungen aller Asymptoten der Funktion \(f\) an.

    c) Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f\) an.

     

    Aufgabe 6

    Graph einer Funktion f

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\). Die Ableitungsfunktion von \(f\) wird mit \(f'(x)\) bezeichnet, eine Stammfunktion von \(f\) wird mit \(F(x)\) bezeichnet. 

    Entscheiden Sie jeweils, ob die nachfolgenden Aussagen richtig oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidung.

    a) \(f'(x)\) hat genau zwei Nullstellen.

    b) \(f'(x) < 0\) für \(5{,}5 < x < 6{,}5\)

    c) \(f'(6) > f'(7)\)

    d) \(f'(4) \approx f'(6)\)

    e) Der Graph von \(F(x)\) hat an der Stelle \(x = 6\) in etwa die Steigung \(-1\).

    f) Der Graph von \(F(x)\) hat an der Stelle \(x = 7\) einen Terrassenpunkt.

  • Graph der Funktion f

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\).

    Ordnen Sie dem Graphen der Funktion \(f\) aus den Graphen I bis VI den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\) und einer zugehörigen Stammfunktion \(F\) zu. Begründen Sie Ihre Wahl.

    Graph I

    Graph II

    Graph III

    Graph IV

    Graph V

    Graph VI

  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{3x^{2} + 3x - 6}{{(x + 1)}^{2}}\) mit dem maximalen Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Geben Sie \(D_{f}\) an.

    b) Ermitteln Sie die Koordinaten aller Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen.

    c) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

    d) Stellen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) sowie die Gleichung der Normalen \(N\) an der Stelle \(x = 1\) auf.

    e) Zeichnen Sie \(G_{f}\), die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

    f) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, welches die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) mit der \(y\)-Achse bilden.

  • Graph einer Funktion f

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\). Die Ableitungsfunktion von \(f\) wird mit \(f'(x)\) bezeichnet, eine Stammfunktion von \(f\) wird mit \(F(x)\) bezeichnet. 

    Entscheiden Sie jeweils, ob die nachfolgenden Aussagen richtig oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidung.

    a) \(f'(x)\) hat genau zwei Nullstellen.

    b) \(f'(x) < 0\) für \(5{,}5 < x < 6{,}5\)

    c) \(f'(6) > f'(7)\)

    d) \(f'(4) \approx f'(6)\)

    e) Der Graph von \(F(x)\) hat an der Stelle \(x = 6\) in etwa die Steigung \(-1\).

    f) Der Graph von \(F(x)\) hat an der Stelle \(x = 7\) einen Terrassenpunkt.

  • Aufgabe 1

    Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion \(f\) an, deren Graph die Asymptote mit der Gleichung \(y = 2x - 1\) sowie die Nullstelle \(x = 2\) besitzt.

     

    Aufgabe 2

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x + 4}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

     

    a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge sowie die Nullstelle(n) und die Polstelle(n) der Funktion \(f\) an. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen der Funktion \(f\).

    b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

    c) Leiten Sie die Funktion \(f\) sowohl mit der Produkt- als auch der Quotientenregel ab.

    (Zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{-4x - 8}{x^{3}}\))

    d) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) der Ableitungsfunktion und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

    e) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 2\).

     

    Aufgabe 3

    a) Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen mithilfe der Ableitungsregeln ohne anschließend zu vereinfachen.

     

    α) \(f(x) = 3x^{4} - \dfrac{3}{x} + 6\)

    β) \(g(x) = (2x - 3)(x^{2} - t)\)

    γ) \(h(x) = \dfrac{3x - 5}{3 - x^{3}}\)

     

    b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{4} + \dfrac{3}{x^{3}} - 4\).

     

    Aufgabe 4

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 4x^{2} - 1\).

     

    a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall \([1;3]\).

    b) Bestimmen Sie \(f'(2)\) unter Verwendung des Differentialquotienten.

     

    Aufgabe 5

    Florian behauptet: „Sind die Ableitungen von zwei Funktionen gleich, so sind auch die Funktionen selbst gleich."

    Nehmen Sie zu Florians Aussage begründend Stellung.

     

    Aufgabe 6

    Ordnen Sie die Graphen I bis VI den freien Feldern der Tabelle so zu, dass unter einem Funktionsgraphen jeweils der Graph seiner Ableitung zu sehen ist und beschriften Sie die Felder entsprechend. Begründen Sie Ihre Wahl für die erste Spalte.

    Hinweis: Die Skalierung der Koordinatenachsen ist für alle abgebildeten Graphen dieselbe.

     

    Funktionsgraph links oben der Tabelle zu Aufgabe 6    
      Funktionsgraph mittig der Tabelle zu Aufgabe 6   
        Funktionsgraph rechts unten der Tabelle zu Aufgabe 6 

     

    Graphen I bis VI:

    Graph I Graph II Graph III
    Graph IV Graph V Graph VI
  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x + 4}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

     

    a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge sowie die Nullstelle(n) und die Polstelle(n) der Funktion \(f\) an. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen der Funktion \(f\).

    b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

    c) Leiten Sie die Funktion \(f\) sowohl mit der Produkt- als auch der Quotientenregel ab.

    (Zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{-4x - 8}{x^{3}}\))

    d) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) der Ableitungsfunktion und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

    e) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 2\).

  • Aufgabe 1

    Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen:

     

    a) \(f(x) = (3x + 2) \cdot \sqrt{\dfrac{1}{x} + 2}; \; x \neq 0\)

    b) \(g(x) = e^{\frac{\cos{x}}{x}}; \; x \neq 0\)

     

    Aufgabe 2

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2x^{2} \cdot \sin{x}\).

    Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\).

     

    Aufgabe 3

    Gegeben ist die Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto x \cdot \sqrt{k - 2x}\) mit \(k \in \mathbb R^{+}\).

     

    a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge von \(f_{k}\) in Abhängigkeit des Parameters \(k\) an.

    b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten der Kurvenschar von \(f_{k}\) bezüglich des Koordinatensystems.

    c) Untersuchen Sie das Verhalten von \(f_{k}\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

    d) Weisen Sie nach, dass für die Ableitung von \(f_{k}\) gilt: \(f'_{k}(x) = \dfrac{k - 3x}{\sqrt{k - 2x}}\).

    Im Folgenden sei \(k = 4\). Der Graph der Funktion \(f_{4}\) wird mit \(G_{f_{4}}\) bezeichnet.

    e) Mithilfe des Ansatzes \(x = f_{4}(x)\) lässt sich der Schnittpunkt des Graphen \(G_{f_{4}}\) mit dem Graphen der Umkehrfunktion von \(f_{4}\) ermitteln. Beschreiben Sie die Idee dieses Ansatzes. Eine Berechnung ist nicht erforderlich!

    f) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von \(f_{4}\) unter Berücksichtigung des maximalen Definitionsbereichs und bestimmen Sie die Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f_{4}}\).

     

    Aufgabe 4

    Gegeben sind die Punkte \(A(4|-2|-1)\), \(B(2|4|5)\) und \(C(5|-6|3)\).

     

    a) Ermitteln Sie die Größe des Innenwinkels \(\alpha\) des Dreiecks \(ABC\).

    b) Geben Sie die Gleichung der Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(C\) in Koordinatendarstellung an, auf deren Oberfläche der Punkt \(A\) liegt. Untersuchen Sie mithilfe der Kugelgleichung, ob der Punkt \(B\) innerhalb der Kugel \(K\), auf der Kugeloberfläche von \(K\) oder außerhalb von \(K\) liegt.

     

    Aufgabe 5

    Ein Unternehmen fertigt in großer Stückzahl ein elektronisches Bauteil. Bei der Herstellung können zwei Arten von Fehlern auftreten, ein elektrischer Fehler und ein optischer Fehler. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

    \(E\): „Ein zufällig ausgewähltes Bauteil weist einen elektrischen Fehler auf."

    \(O\): „Ein zufällig ausgewähltes Bauteil weist einen optischen Fehler auf."

    Aus laufender Qualitätskontrolle ist bekannt, dass 5 % der gefertigten Bauteile einen elektrischen Fehler aufweisen. Zudem haben 3 % einen elektrischen, aber keinen optischen Fehler sowie 4 % einen optischen, aber keinen elektrischen Fehler.

     

    a) Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{E \cup O}\) im Sachzusammenhang.

    b) Erstellen Sie eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel und geben Sie daraus an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewähltes Bauteil

    α) genau einen der beiden Fehler aufweist.

    β) höchstens einen der beiden Fehler aufweist.

    c) Untersuchen Sie die Ereignisse \(E\) und \(O\) auf Unabhängigkeit.

    d) Wie viele Bauteile müssen mindestens zufällig ausgewählt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein Bauteil zu erhalten, das einen elektrischen Fehler aufweist?

  • Aufgabe 1

    Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an. Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der Funktion und vereinfachen Sie den Term der Ableitungsfunktion soweit wie möglich.

     

    a) \(f(x) = -2\cos{(3- x)}\)

    b) \(g(x) = \ln{\left( 2 - x^{2} \right)}\)

    c) \(h(x) = \dfrac{-2 + e^{x}}{e^{x} - 1}\)

     

    Aufgabe 2

    Geben Sie zu jeder der folgenden Funktionen eine Stammfunktion an.

     

    a) \(f(x) = \dfrac{2}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\)

    b) \(g(x) = -\dfrac{1}{3}\sin(3x - 2); \; D_{g} = \mathbb R\)

     

    Aufgabe 3

    Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x^{2} + 9} - 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet

     

    a) Bestimmen Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion \(f\).

    b) Untersuchen Sie die Umkehrbarkeit der Funktion \(f\).

    c) Ermitteln sie die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Funktion \(f\) mit \(D_{f} = \mathbb R^{+}\) und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion an.

    d) Geben Sie an, welche Eigenschaft alle Schnittpunkte des Graphen der Funktion \(f\) und des Graphen der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) haben und begründen Sie Ihre Aussage.

     

    Aufgabe 4

    Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

     

    a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

    b) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) von \(f\) sowie die Lage und Art des/der Extrempunkte(s) von \(G_{f}\).

    c) Ermitteln Sie die Gleichung der Normale \(N\) im Punkt P\((0|f(0))\).

     

    Aufgabe 5

    Die Punkte \(A(3|-1|5)\), \(B(5|3|1)\) und \(C(7|-3|9)\) legen das Dreieck \(ABC\) fest.

     

    a) Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist.

    b) Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks \(ABC\).

    c) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes \(D\), der das Dreieck \(ABC\) zu einer Raute ergänzt.

    d) Berechnen Sie den Winkel \(\measuredangle{DBA} = \varphi\).

    e) Der Punkt \(S(4,6,10)\) ist die Spitze der Pyramide \(ABCS\), deren Grundfläche das Dreieck \(ABC\) ist. Weisen Sie nach, dass die Strecke \([MS]\) des Mittelpunkts \(M\) der Grundkante \([BC]\) und der Pyramidenspitze \(S\) die Höhe der Pyramide \(ABCS\) ist.

    f) Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens der Pyramide \(ABCS\).

  • Aufgabe 1

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{8x}{x^{2} + 4}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

     

    a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

    b) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktion \(f\) und ermitteln Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

    c) Weisen Sie nach, dass der Graph \(G_{f}\) durch den Koordinatenursprung \(O(0|0)\) verläuft und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(G_{f}\) die \(x\)-Achse schneidet.

    (Teilergebnis: \(f'(x) = -\dfrac{8(x^{2} - 4)}{(x^{2} + 4)^{2}}\))

    d) Bestimmen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).

    e) Zeichnen Sie den Graphen \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

     

    Aufgabe 2

    Der Graph \(G_{f}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat folgende Eigenschaften:

    \(G_{f}\) hat genau die zwei Nullstellen \(x = 0\) und \(x = 4\).

    \(G_{f}\) hat genau die zwei Polstellen mit Vorzeichenwechsel \(x = -1\) und \(x = 2\).

    \(G_{f}\) hat eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(y = 2\).

     

    a) Geben Sie einen möglichen Funktionsterm der Funktion \(f\) an und skizzieren Sie den Graphen der Funktion \(f\).

    b) „Der Funktionsterm \(f(x)\) ist durch die genannten Eigenschaften eindeutig bestimmt." Nehmen Sie zu dieser Aussage begründend Stellung.

     

    Aufgabe 3

    Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte  Funktionenschar \(f_{a}(x) = x^{3} - ax + 3\) mit \(a \in \mathbb R\). Die Kurvenschar der Funktionenschar \(f_{a}\) wird mit \(G_{f_{a}}\) bezeichnet.

     

    Bestimmen Sie den Wert des Parameters \(a\) so, dass der zugehörige Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\)

    a) zwei Extrempunkte

    b) einen Terrassenpunkt

    besitzt.

     

    Aufgabe 4

    Abbildung zu Aufgabe 4 Klausur Q11/1-004

    Nach der Einnahme eines Medikaments wird die Konzentration \(K\) des Medikaments im Blut eines Patienten gemessen.

    Die Funktion \(K \colon t \mapsto \dfrac{100t}{t^{2} + 25}\) mit \(t \geq 0\) beschreibt näherungsweise den Verlauf \(K(t)\) der Konzentration des Medikaments in Milligramm pro Liter in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Stunden (vgl. Abbildung).

     

    a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikaments, zu dem die Konzentration \(K\) des Medikaments im Blut des Patienten noch 10 % der maximalen Konzentration beträgt auf Minuten genau.

    (Teilergebnis: \(K'(t) = -\dfrac{100(t^{2} - 25)}{(t^{2} + 25)^{2}}\))

    b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Konzentration \(K\) im Zeitintervall \([10;20]\) und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

     

    Aufgabe 5

    Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto f(x)\) mit

     

    \[f(x) = \vert 2x - 4 \vert = \begin{cases} \begin{align*} 2x - 4 \; \text{falls} \; &x \geq 0 \\[0.8em] -(2x - 4) \; \text{falls} \; &x < 0 \end{align*} \end{cases}\]

     

    Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

     

    a) Skizzieren Sie \(G_{f}\) in ein geeignetes Koordinatensystem und begründen Sie geometrisch, dass die Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) nicht differenzierbar ist.

    b) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) nicht differenzierbar ist.

  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{8x}{x^{2} + 4}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

     

    a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

    b) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktion \(f\) und ermitteln Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

    c) Weisen Sie nach, dass der Graph \(G_{f}\) durch den Koordinatenursprung \(O(0|0)\) verläuft und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(G_{f}\) die \(x\)-Achse schneidet.

    (Teilergebnis: \(f'(x) = -\dfrac{8(x^{2} - 4)}{(x^{2} + 4)^{2}}\))

    d) Bestimmen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).

    e) Zeichnen Sie den Graphen \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

  • Aufgabe 1

    Gegeben sind die Funktionen \(f\colon x \mapsto e^{x}\) und \(g\colon x \mapsto \ln{x}\) sowie die Funktion \(h\colon x \mapsto x \cdot e^{x} - 1\).

    Es gibt eine Stelle \(x_{T}\), an der der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{g}\) der Funktion \(g\) dieselbe Steigung besitzen.

    a) Skizzieren Sie \(G_{f}\) und \(G_{g}\) und Veranschaulichen Sie die Stelle \(x_{T}\) durch Eintragung geeigneter geometrischer Elemente. 

    b) Begründen Sie rechnerisch, dass \(h(x) = 0\) ein geeigneter Lösungsansatz zur Berechnung von \(x_{T}\) ist. Versuchen Sie nicht, die Gleichung zu lösen!

    c) Die Gleichung \(h(x) = 0\) lässt sich näherungsweise mithilfe des Newton-Verfahrens lösen. Begründen Sie, dass \(x_{0} \in [0{,}3;0{,}7]\) ein geeigneter Startwert für die Anwendung des Newton-Verfahrens ist.

    d) Berechnen Sie näherungsweise die Stelle \(x_{T}\) gleicher Steigung von \(G_{f}\) und \(G_{g}\), indem Sie den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \(x_{0} = 0{,}5\) durchführen.

    e) Die Gerade \(x = x_{T}\) schneidet \(G_{f}\) im Punkt \(P\) und \(G_{g}\) im Punkt \(Q\). Die Normale \(N_{f}\) durch Punkt \(P\) sowie die Normale \(N_{g}\) durch Punkt \(Q\) schließen mit den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Die Gerade \(x = x_{T}\) teilt dieses Flächenstück in zwei gleich große Teilflächen.

    Ergänzen Sie Ihre Skizze aus Teilaufgabe a um die Gerade \(x = x_{T}\) sowie die Normalen \(N_{f}\) und \(N_{g}\) und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Beschreiben Sie sodann die wesentlichen Schritte zur Berechnung des Flächeninhalts \(A\).

     

    Aufgabe 2

    Ein Test besteht aus zwölf Fragen, zu denen es jeweils gleich viele Antwortmöglichkeiten gibt. Pro Frage ist genau eine Antwort richtig.

    Wie viele Antwortmöglichkeiten darf der Test höchstens nennen, damit ein ratender Teilnehmer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens eine Frage richtig beantwortet.

     

    Aufgabe 3

    Abbildung Klausur Q12/2-002 Aufgabe 3, Wahrscheinlichkeitsverteilung einer nach B(n;p) binomialverteilten Zufallsgröße X

    Die Abbildung zeigt die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung einer nach \(B(n;p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) und kennzeichnet die Lage des Erwartungswerts \(\mu = E(X)\).

    Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung und unter Verwendung des Stochastischen Tafelwerks die Werte der Parameter \(n\) und \(p\). Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

     

    Aufgabe 4

    Die Punkte \(O(0|0|0)\), \(P(5|2|2)\) und \(Q(-2|4|-2)\) legen die Grundfläche \(OPQ\) der Pyramide \(OPQS\) mit dem Volumeninhalt 20 VE (Volumeneinheiten) fest. Die Spitze \(S\) der Pyramide \(OPQS\) liegt auf der positiven \(x_{3}\)-Achse.

    a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform, in der die Grundfläche \(OPQ\) liegt.

    (mögliches Ergebnis: \(E \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} = 0\))

    b) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Grudfläche \(QPS\) gegenüber der Horizontalen.

    c) Berechnen Sie die Koordinaten der Pyramidenspitze \(S\).

    d) Die Menge aller Pyramidenspitzen \(S^{*}\), sodass der Volumeninhalt der Pyramiden \(OPQS^{*}\) stets 20 VE beträgt, ist gegeben durch die Ebene \(F\). Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform.

     

    Aufgabe 5

    Gegeben ist die Gerade \(g\) mit der Gleichung \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) sowie die Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M(3|4|5)\) und dem Radius \(r = 3\).

    Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Gerade \(g\) die Kugel \(K\) tangiert.

  • Gegeben sind die Funktionen \(f\colon x \mapsto e^{x}\) und \(g\colon x \mapsto \ln{x}\) sowie die Funktion \(h\colon x \mapsto x \cdot e^{x} - 1\).

    Es gibt eine Stelle \(x_{T}\), an der der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{g}\) der Funktion \(g\) dieselbe Steigung besitzen.

    a) Skizzieren Sie \(G_{f}\) und \(G_{g}\) und Veranschaulichen Sie die Stelle \(x_{T}\) durch Eintragung geeigneter geometrischer Elemente. 

    b) Begründen Sie rechnerisch, dass \(h(x) = 0\) ein geeigneter Lösungsansatz zur Berechnung von \(x_{T}\) ist. Versuchen Sie nicht, die Gleichung zu lösen!

    c) Die Gleichung \(h(x) = 0\) lässt sich näherungsweise mithilfe des Newton-Verfahrens lösen. Begründen Sie, dass \(x_{0} \in [0{,}3;0{,}7]\) ein geeigneter Startwert für die Anwendung des Newton-Verfahrens ist.

    d) Berechnen Sie näherungsweise die Stelle \(x_{T}\) gleicher Steigung von \(G_{f}\) und \(G_{g}\), indem Sie den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \(x_{0} = 0{,}5\) durchführen.

    e) Die Gerade \(x = x_{T}\) schneidet \(G_{f}\) im Punkt \(P\) und \(G_{g}\) im Punkt \(Q\). Die Normale \(N_{f}\) durch Punkt \(P\) sowie die Normale \(N_{g}\) durch Punkt \(Q\) schließen mit den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Die Gerade \(x = x_{T}\) teilt dieses Flächenstück in zwei gleich große Teilflächen.

    Ergänzen Sie Ihre Skizze aus Teilaufgabe a um die Gerade \(x = x_{T}\) sowie die Normalen \(N_{f}\) und \(N_{g}\) und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Beschreiben Sie sodann die wesentlichen Schritte zur Berechnung des Flächeninhalts \(A\).

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