Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei oder drei Retouren entnommen werden.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1f
\[\frac{\displaystyle \binom{6}{2} \cdot \binom{19}{8} + \binom{6}{3} \cdot \binom{19}{7}}{ \displaystyle \binom{25}{10}} \approx 0{,}655 = 65{,}5\,\%\]
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
Im Gegensatz zu Teilaufgabe 1e spielt die Reihenfolge der Retouren unter den zehn entnommenen Paketen keine Rolle. Das Zufallsexperiment entspricht dem Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge".
Urnenmodell: „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge"
Werden aus einer Urne mit \(N\) Kugeln, von denen \(K\) Kugeln schwarz sind, \(n\) Kugeln mit einem Griff, d.h. ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen, so gilt für die Wahrscheinlichkeit, genau \(k\) schwarze Kugeln zu ziehen:
\[P(\text{„genau}\,k\,\text{schwarze Kugeln"}) = \frac{\displaystyle \binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\displaystyle \binom{N}{n}}\]
(vgl. Merkhilfe)
Das Ereignis „Es werden zwei oder drei Retouren entnommen." enthält die Ergebnisse „Es werden zwei Retouren entnommen." und „Es werden drei Retouren entnommen.". Um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu berechnen, werden die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse addiert (Summenregel).
\[\begin{align*}& \quad \enspace P(\text{„Es werden zwei oder drei Retouren entnommen."}) = \\[1.6em] &= \frac{\displaystyle \textcolor{#cc071e}{\overset{\large{\text{2 von 6 Retouren}}}{\binom{6}{2}}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\overset{\large{\text{keine Retouren}}}{\binom{19}{8}}}}{\displaystyle \textcolor{#0087c1}{\underset{\large{\text{10 von 25 Paketen}}}{\binom{25}{10}}}} + \frac{\displaystyle \textcolor{#cc071e}{\overset{\large{\text{3 von 6 Retouren}}}{\binom{6}{3}}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\overset{\large{\text{keine Retouren}}}{\binom{19}{7}}}}{\displaystyle \textcolor{#0087c1}{\underset{\large{\text{10 von 25 Paketen}}}{\binom{25}{10}}}} \\[1.6em] &= \frac{\displaystyle \binom{6}{2} \cdot \binom{19}{8} + \binom{6}{3} \cdot \binom{19}{7}}{ \displaystyle \binom{25}{10}} \\[1.6em] &\approx 0{,}655 = 65{,}5\,\% \end{align*}\]
