Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Fenster bei seiner Drehung am Möbelstück anstoßen kann.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe g

 

1. Lösungsansatz mit Hilfsebene

2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts

3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung

4. Lösungsansatz: Betrachtung einer Projektion in die \(x_2x_3\)-Ebene

 

Kritische Stellung des Fensters senkrecht zur vorderen Oberkante des Möbelstücks

Damit das Fenster bei seiner Drehung nicht am Möbelstück anstößt, muss die Länge der Strecke \(\,[MH]\,\) kleiner sein als der Abstand \(\,d\,(M;k)\,\) des Punktes \(\,M\,\) von der Geraden \(\,k\,\).

 

Abstand eines Punktes von einer Geraden

 

\[M\,(2|5|1{,}5)\,, \qquad k \, \colon \enspace \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,, \quad \lambda \in \mathbb R\]

 

1. Lösungsansatz mit Hilfsebene

Abstand Punkt - Gerade, Ansatz: Hilfsebene aufstellen

Abstand Punkt - Gerade, Ansatz: Hilfsebene aufstellen

\[P\,(p_1|p_2|p_3)\,, \quad g \colon \overrightarrow X = \overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow u\,; \quad \lambda \in \mathbb R\]

1. Hilfsebene \(H\) mit den Eigenschaften \(P \in H\) und \(H \perp g\) bestimmen:

\[H \colon \overrightarrow{n}_H \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow P \right) = 0\,; \quad \overrightarrow{n}_H = \overrightarrow u\]

2. Schnittpunkt \(S\) der Ebene \(H\) mit der Geraden \(g\) ermitteln:

\(H \cap g \colon \overrightarrow{n}_H \circ \left( \overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow u - \overrightarrow P \right) = 0 \quad \Longrightarrow \quad\) Wert für Parameter \(\lambda\)

\[S \in g \colon \overrightarrow S = \overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow u\]

3. Länge der Strecke \([PS]\) berechnen:

\[d\,(P; g) = \overline{PS} = \vert \overrightarrow P - \overrightarrow S \vert\]

Hilfsebene \(Z\) mit den Eigenschaften \(M \in Z\) und \(Z \perp k\) bestimmen:

 

\[\overrightarrow{n}_Z = \overrightarrow{u}_k = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

\[Z \, \colon \enspace \overrightarrow {n}_Z \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow M \right) = 0\]

\[Z \, \colon \; \begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1{,}5 \end {pmatrix} \right] = 0\]

 

Lage der Hilfsebene \(Z\)

 

Die Hilfsebene Z mit den Eigenschaften Z ⊥ k und M ∈ Z schneidet die Gerade k im Lotfußpunkt des Lotes von M auf k

Schnittpunkt \(S_k\) der Geraden \(k\) mit der Hilfsebene \(Z\) ermitteln:

Zur Berechnung des Schnitpunktes \(S_k\) setzt man die Koordinaten des Ortsvektors \(\overrightarrow{X}\) der Geradengleichung von \(k\) in die Normalengleichung der Hilfsebene \(Z\) ein und löst die Gleichung nach dem Parameter \(\lambda\) auf.

 

\[k \, \colon \enspace \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[Z \, \colon \; \begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1{,}5 \end {pmatrix} \right] = 0\]

Skalarprodukt

Skalarprodukt

Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]

\[\begin{align*} k \cap Z \, \colon \enspace \begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin {pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1{,}5 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] \begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} -2 \\ 0{,}5 \\ -1{,}1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 1 \cdot (-2 + \lambda) + 0 \cdot 0{,}5 + 0 \cdot -1{,}1 &= 0 \\[0.8em] -2 + \lambda &= 0 & &| + 2 \\[0.8em] \lambda &= 2 \end{align*}\]

 

Parameterwert \(\lambda = 2\) in \(k\) einsetzen:

 

\[S_k \in k \, \colon \enspace \overrightarrow{S}_k = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix}\]

 

Länge der Strecke \([MS_k]\) berechnen:

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*} \overline{MS_k} &= \vert \overrightarrow{MS_k} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{S}_k - \overrightarrow{M} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0{,}5 \\ -1{,}1 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{0^2 + 0{,}5^2 + 1{,}1^2} \\[0.8em] &= \sqrt{1{,}46} \approx 1{,}21 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad d\,(M;k) = d\,(M;S_k) \approx 1{,}21 \]

 

\(\displaystyle \overline{MH}= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \approx 1{,}12\;\) (siehe Teilaufgabe e)

 

\[\Longrightarrow \quad \overline{MH} < d\,(M;k)\]

\(\Longrightarrow \quad\) Das Fenster kann bei seiner Drehung nicht am Möbelstück anstoßen.

 

2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts

 

\[M\,(2|5|1{,}5)\,, \qquad k \, \colon \enspace \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,, \quad \lambda \in \mathbb R\]

Abstand Punkt - Gerade, Ansatz: Skalarprodukt anwenden

Abstand Punkt - Gerade, Ansatz: Skalarprodukt anwenden

\[P\,(p_1|p_2|p_3)\,, \quad g \colon \overrightarrow X = \overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow u\,; \quad \lambda \in \mathbb R\]

Es sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(P\) auf die Gerade \(g\).

Somit gilt: \(\enspace \overrightarrow{FP} \perp \overrightarrow{u} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{FP} \circ \overrightarrow{u} = 0\)

1. Verbindungsvektor \(\overrightarrow{FP}\) allgemein beschreiben:

\[F \in g \colon \overrightarrow F = \overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow u \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{FP} = \overrightarrow P - \left( \overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow u \right) \]

2. Koordinaten des Lotfußpunktes \(F\) bestimmen:

\[\overrightarrow{FP} \circ \overrightarrow{u} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \left[ \overrightarrow P - \left( \overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow u \right) \right] \circ \overrightarrow u = 0\]

\(\Longrightarrow \quad\) Wert für Parameter \(\lambda\)

\[F \in g \colon \overrightarrow F = \overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow u\]

3. Länge der Strecke \([FP]\) berechnen:

\[d\,(P;g) = \overline{FP} = \vert \overrightarrow P - \overrightarrow F \vert\]

Lotfußpunkt F des Lotes des Punktes M auf die Gerade k

Es sei \(\,F\,\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(\,M\,\) auf die Gerade \(\,k\,\). Der Richtungsvektur \(\,\overrightarrow{u}_k\,\) der Geraden \(\,k\,\) und er Vektor \(\,\overrightarrow{FM}\,\) stehen senkrecht zueinander.

Skalarprodukt - Orthogonale Vektoren

Anwendung des Skalarprodukts:

Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\; \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]

Somit gilt: \(\enspace \overrightarrow{FM} \perp \overrightarrow{u}_k \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{FM} \circ \overrightarrow{u}_k = 0\)

 

Vektor \(\overrightarrow{FM}\) allgemein beschreiben:

 

\[F \in k\,\colon \enspace \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} \lambda \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{FM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - \lambda \\ -0{,}5 \\ 1{,}1 \end{pmatrix}\]

 

Koordinaten des Lotfußpunktes \(F\) bestimmen:

Skalarprodukt

Skalarprodukt

Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]

\[\begin{align*} \overrightarrow{FM} \circ \overrightarrow{u}_k &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} 2 - \lambda \\ -0{,}5 \\ 1{,}1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] (2 - \lambda) \cdot 1 + (-0{,}5) \cdot 0 + 1{,}1 \cdot 0 &= 0 \\[0.8em] 2 - \lambda &= 0 & &| + \lambda \\[0.8em] \lambda &= 2 \end{align*}\]

 

Parameterwert \(\lambda = 2\) in \(k\) einsetzen:

 

\[F \in k\,\colon \enspace \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} \]

 

Länge der Strecke \([MF]\) berechnen:

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*} \overline{MF} &= \vert \overrightarrow{MF} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{F} - \overrightarrow{M} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0{,}5 \\ -1{,}1 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{0^2 + 0{,}5^2 + 1{,}1^2} \\[0.8em] &= \sqrt{1{,}46} \approx 1{,}21 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad d\,(M;k) = d\,(M;F) \approx 1{,}21 \]

 

\(\displaystyle \overline{MH}= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \approx 1{,}12\;\) (siehe Teilaufgabe e)

 

\[\Longrightarrow \quad \overline{MH} < d\,(M;k)\]

\(\Longrightarrow \quad\) Das Fenster kann bei seiner Drehung nicht am Möbelstück anstoßen.

 

3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung

 

\[M\,(2|5|1{,}5)\,, \qquad k \, \colon \enspace \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,, \quad \lambda \in \mathbb R\]

Abstand Punkt - Gerade, Ansatz: Differentialrechnung anwenden

Abstand Punkt - Gerade, Ansatz: Differentialrechnung anwenden

\[P\,(p_1|p_2|p_3)\,, \quad g \colon \overrightarrow X = \overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow u\,; \quad \lambda \in \mathbb R\]

1. Länge der Strecke \([PX]\) zwischen dem Punkt \(P\) und einem beliebigen Punkt \(X \in g\) beschreiben:

\[\overline{PX} = \vert \overrightarrow X - \overrightarrow P \vert \quad \Longrightarrow \quad \overline{PX}(\lambda) = \vert \overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow u - \overrightarrow P \vert\]

2. Parameterwert \(\lambda_{min}\) für minimale Länge bestimmen:

\[\left. \begin{align*} &\overline{PX}^{\;\prime}(\lambda_{min}) \enspace = \enspace 0 \\ \\ &\overline{PX}^{\;\prime \prime}(\lambda_{min}) \; > \enspace 0 \end{align*} \right\} \quad \Longrightarrow \quad \lambda_{min} \]

3. Minimale Länge berechnen:

\[\overline{PX}(\lambda_{min}) = d\,(P;g)\]

Länge der Strecke zwischen dem Punkt M und einem beliebigen Punkt X ∈ k in Abhängigkeit des Parameterwertes λ der Geradengleichung von k

Die Länge der Strecke \(\,[MX]\,\) zwischen dem Punkt \(\,M\,\) und einem beliebigen Punkt \(\,X \in k\,\) lässt sich in Abhängigkeit des Parameterwertes \(\,\lambda\,\) der Geradengleichung von \(\,k\,\) beschreiben.

 

Länge der Strecke \([MX]\) in Abhängigkeit von \(\lambda\,\):

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\overline{MX} = \vert \overrightarrow{X} - \overrightarrow{M} \vert\]

\[\begin{align*} \overline{MX}(\lambda) &= \left| \begin{pmatrix} \lambda \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} \lambda - 2 \\ 0{,}5 \\ -1{,}1 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(\lambda - 2)^2 + 0{,}5^2 + (-1{,}1)^2} \\[0.8em] &= \sqrt{\lambda^2 - 4\lambda + 4 + 0{,}25 + 1{,}21} \\[0.8em] &= \sqrt{\lambda^2 - 4\lambda +5{,}46} \end{align*}\]

 

Parameterwert \(\lambda_{min}\) für minimale Länge bestimmen:

 

\(\overline{MX}(\lambda)\) ist minimal, wenn der Wert des Radikanden minimal ist.

Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen

Anwendung der Differentialrechnung:

Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) > 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) < 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Maximum (Hochpunkt).

\[\big( \lambda^2 - 4\lambda + 5{,}46 \big)' \overset{!}{=} 0\]

 

Erste Ableitung des Radikanden bilden:

Ableitung einer Potenzfunktion

Ableitung einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\big( \lambda^2 - 4\lambda + 5{,}46 \big)' = 2\lambda - 4\]

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad 2\lambda - 4 &= 0 & &| + 4 \\[0.8em] 2\lambda &= 4 & &| : 2 \\[0.8em] \lambda &= 2 \end{align*}\]

 

Art der Extremstelle:

 

\[\big( \lambda^2 - 4\lambda +5{,}46 \big)'' = (2\lambda - 4)' = 2\]

\[\Longrightarrow \quad \big( \lambda^2 - 4\lambda +5{,}46 \big)'' > 0 \]

 

\(\Longrightarrow \quad \overline{MX}(\lambda)\) ist für \(\lambda_{min} = 2\) minimal.

 

Minimale Länge berechnen:

 

\[d\,(M;k) = \overline{MX}(\lambda_{min}) = \sqrt{2^2 - 4 \cdot 2 + 5{,}46} = \sqrt{1{,}46} \approx 1{,}21\]

 

\(\displaystyle \overline{MH}= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \approx 1{,}12\;\) (siehe Teilaufgabe e)

 

\[\Longrightarrow \quad \overline{MH} < d\,(M;k)\]

\(\Longrightarrow \quad\) Das Fenster kann bei seiner Drehung nicht am Möbelstück anstoßen.

 

4. Lösungsansatz: Betrachtung einer Projektion in die \(x_2x_3\)-Ebene

 

\[M\,(2|5|1{,}5)\,, \qquad k \, \colon \enspace \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,, \quad \lambda \in \mathbb R\]

 

Projektion in die x₂x₃-Ebene

 

Der Aufpunkt \((0|5{,}5|0{,}4)\) der Geraden \(k\) liegt in der \(x_2x_3\)-Ebene.

 

Es sei \(M'\) die Projektion des Punktes \(M\) in die \(x_2x_3\)-Ebene.

\[\Longrightarrow \quad M'\,(0|5|1{,}5)\]

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*}d\,(M;k) &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ -0{,}5 \\ 1{,}1 \end{pmatrix}\right| \\[0.8em] &= \sqrt{0^2 + (-0{,}5)^2 + 1{,}1^2} \\[0.8em] &= \sqrt{1{,}46} \approx 1{,}21 \end{align*}\]

 

\(\displaystyle \overline{MH}= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \approx 1{,}12\;\) (siehe Teilaufgabe e)

 

\[\Longrightarrow \quad \overline{MH} < d\,(M;k)\]

\(\Longrightarrow \quad\) Das Fenster kann bei seiner Drehung nicht am Möbelstück anstoßen.