Abiturlösungen Mathematik Bayern 2016

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

2.4.4 Abstand Punkt - Ebene

2.4.4 Abstand Punkt - Ebene

Der Punkt \(P\) liegt auf der Kante \([FB]\) des Würfels und hat vom Punkt \(H\) den Abstand 3. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts \(P\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Abstand zweier Punkte, Länge eines Vektors

 

\[P \in [FB]\]

\[d(P;H) = 3\]

 

Punkt P ∈ [FB], Strecke [HP]

Punkt \(P \in [FB]\) und Strecke \([HP]\)

  

Der Punkt \(P\) liegt auf der Kante \([FB]\). Die Koordinaten der Punkte \(F\) und \(B\) sind bekannt. Damit lässt sich die Lage des Punktes \(P\) wie folgt angeben:

 

\(F(2|2|0)\), \(B(2|2|-2)\)

 

\(P \in [FB] \quad \Longrightarrow \quad P(2|2|p_{3}), \; p_{3} \in [-2;0]\)

 

Abstand \(d(P;H)\) des Punktes \(P\) vom Punkt \(H\) in Abhängigkeit der \(x_{3}\)-Koordinate des Punktes \(P\) beschreiben:

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*} d(P;H) &= \vert \overrightarrow{HP} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{P} - \overrightarrow{H} \vert &&| \overrightarrow{H} = \overrightarrow{0} \; \text{(Ursprung)} \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{P} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ p_{3} \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{2^{2} + 2^{2} + p_{3}^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{8 + p_{3}^{2}} \end{align*}\]

 

\(x_{3}\)-Koordinate des Punktes \(P\) unter der Bedingung \(d(P;H) = 3\) berechnen:

 

\[\begin{align*} d(P;H) &= 3 \\[0.8em] \sqrt{8 + p_{3}^{2}} &= 3 & &| \; (\dots)^{2} \enspace \text{(Quadrieren)} \\[0.8em] 8 + p_{3}^{2} &= 9 & &| - 8 \\[0.8em] p_{3}^{2} &= 1 & &| \; \sqrt{\enspace} \enspace p_{3} \in [-2;0] \\[0.8em] p_{3} &= -1 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad P(2|2|-1)\]