Die Ableitungen der elementaren Funktionen lassen sich mithilfe des Differentialquotienten (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Differentialquotient) nachweisen.

 

Ableitungen elementarer Grundfunktionen und Ableitungsregeln

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Ableitungen der Grundfunktionen

\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]

\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]

\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]

\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]

 

\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]

\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]

\[\left( e^x \right)' = e^x\]

\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]

vgl. Merkhilfe

Faktorregel

\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]

Summenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

Produktregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

 

Quotientenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]

Kettenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

vgl. Merkhilfe

 

Beispielaufgaben

1. Beispielaufgabe

Bestimmen Sie die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f \colon \mapsto \dfrac{1 - x^{2}}{2x^{2} - 1}\).

 

\[f(x) = \frac{1 - x^{2}}{2x^{2} - 1} = \frac{u(x)}{v(x)}\]

 

Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) wird mithilfe der Quotientenregel bestimmt, wobei für die Ableitung des Zähler- bzw. Nennerterms die Faktorregel und die Summenregel, sowie die Ableitung einer konstanten Funktion und die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt wird.

\[\begin{align*} u(x) &= 1 - x^{2} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad u'(x) &= 0 - 2x \\[0.8em] &= -2x \end{align*}\]

\[\begin{align*} v(x) &= 2x^{2} - 1 \\[0.8em] \Longrightarrow \quad v'(x) &= 2 \cdot 2x - 0 \\[0.8em] &= 4x \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^{2}} \\[0.8em] &= \frac{-2x \cdot (2x^{2} - 1) - (1 - x^{2}) \cdot 4x}{(2x^{2} - 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{-4x^{3} + 2x - 4x + 4x^{3}}{(2x^{2} - 1)^{2}} \\[0.8em] &= -\frac{2x}{(2x^{2} - 1)^{2}} \end{align*}\]

 

2.Beispielaufgabe

Bestimmen Sie die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f \colon x \mapsto x^{2} \cdot e^{4x - 1}\).

 

\[f(x) = x^{2} \cdot e^{4x - 1} = u(x) \cdot v(x)\]

 

Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) wird mithilfe der Produktregel bestimmt, wobei auf den Faktor \(u(x) = x^{2}\) die Ableitung einer Potenzfunktion anzuwenden ist, und für den Faktor \(v(x) = e^{4x - 1}\) die Ableitung der \(e\)-Funktion sowie die Kettenregel benötigt wird.

\[\begin{align*} u(x) &= x^{2} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad u'(x) &= 2x \end{align*}\]

\[\begin{align*}v(x) &= e^{4x - 1} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad v'(x) &= e^{4x - 1} \cdot (4 - 0) \\[0.8em] &= 4e^{4x - 1} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} f'(x) &= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \\[0.8em] &= 2x \cdot e^{4x - 1} + x^{2} \cdot 4e^{4x - 1} \\[0.8em] &= e^{4x - 1} \cdot (4x^{2} + 2x) \\[0.8em] &= 2x \cdot e^{4x - 1} \cdot (2x + 1) \end{align*}\]