Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(f\). Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Rechnerische Untersuchung des Monotonieverhaltens von \(f\)

Gemäß dem Monotoniekriterium wird das Vorzeichen von \(f'\) betrachtet.

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \enspace \Rightarrow \enspace G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \enspace \Rightarrow \enspace G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*}f'(x) &= \textcolor{#89ba17}{(1 - x^2)} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}} &&| \;\text{3. Bin. Formel anwenden} \\[0.8em] &= \textcolor{#89ba17}{(1 - x)(1 + x)} \cdot \textcolor{#e9b509}{\underbrace{e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}}_{>\,0}} \end{align*}\]

 

Der Faktor \(\textcolor{#89ba17}{(1 - x^2)}\) mit den einfachen Nullstellen \(\textcolor{#89ba17}{x = -1}\) und \(\textcolor{#89ba17}{x = 1}\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(\boldsymbol{f'}\).

Der quadratische Term \(\textcolor{#89ba17}{1 - x^2}\) lässt sich als nach unten geöffnete Normalparabel veranschaulichen, welche zwischen den Nullstellen oberhalb der \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Achse verläuft.

Veranschaulichung des quadratische Terms 1 - x² als nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen x = -1 und x = 1

Somit folgt:

Da \(f'(x) \textcolor{#0087c1}{>} 0\) für \(\textcolor{#0087c1}{-1 < x < 1}\) gilt, ist \(f\) im Intervall \(\textcolor{#0087c1}{[-1;1]}\) streng monoton zunehmend.

Da \(f'(x) \textcolor{#cc071e}{<} 0\) für \(\textcolor{#cc071e}{x < -1}\) und \(\textcolor{#cc071e}{x > 1}\) gilt, ist \(f\) in den Intervallen \(\textcolor{#cc071e}{]-\infty;-1]}\) und \(\textcolor{#cc071e}{[1;+\infty[}\) streng monoton abnehmend.

 

Veranschaulichung mithilfe einer Monotonietabelle:

\(x\) \(]-\infty;-1]\) \(-1\) \([-1;1]\) \(1\) \([1;+\infty[\)
\(\textcolor{#89ba17}{(1 - x)}\) \(\textcolor{#0087c1}{+}\)   \(\textcolor{#0087c1}{+}\) \(0\) \(\textcolor{#cc071e}{-}\)
\(\textcolor{#89ba17}{(1 + x)}\) \(\textcolor{#cc071e}{-}\) \(0\) \(\textcolor{#0087c1}{+}\)   \(\textcolor{#0087c1}{+}\)
\(f'(x)\) \(\textcolor{#cc071e}{-}\) \(0\) \(\textcolor{#0087c1}{+}\) \(0\) \(\textcolor{#cc071e}{-}\)
\(G_f\) \(\textcolor{#cc071e}{\searrow}\) \(TiP\) \(\textcolor{#0087c1}{\nearrow}\) \(HoP\) \(\textcolor{#cc071e}{\searrow}\)

 

Ergänzung und Skalierung der Koordinatenachsen in Abbildung 1

Aus dem Monotonieverhalten von \(f\) folgt, das \(G_f\) den Tiefpunkt \((-1|f(-1))\) und den Hochpunkt \((1|f(1))\) besitzt. Da \(G_f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist (vgl. Teilaufgabe 1a) genügt es, einen der Funktionswerte \(f(-1)\) oder \(f(1)\) zu berechnen.

 

\[f(\textcolor{#e9b509}{1}) = \textcolor{#e9b509}{1} \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{1}^2 + \frac{1}{2}} = e^0 = 1\]

\[\Rightarrow \enspace f(-1) = -1\]

 

Damit lassen sich die Koordinatenachsen eindeutig in Abbildung 1 ergänzen und skalieren.

Ergänzung und Skalierung der Koordinatenachsen in Abbildung 1Abb. 1