Weisen Sie nach, dass \(f(x) = \dfrac{x^2-4}{x+3}\) gilt, indem Sie den Term \(x -3 + \dfrac{5}{x+3}\) geeignet umformen, und begründen Sie, dass \(f\) genau die Nullstellen \(-2\) und \(2\) hat.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

\[f(x) = x -3 + \frac{5}{x+3}; \; D_f = \mathbb R \backslash \{-3\}\]

 

Nachweis, dass \(f(x) = \dfrac{x^2-4}{x+3}\) gilt

 

\[\begin{align*}f(x) &= x -3 + \frac{5}{x+3} &&| \; \text{gemeinsamer Hauptnenner:}\; \textcolor{#e9b509}{x+3} \\[0.8em] &= \frac{(x-3)(\textcolor{#e9b509}{x+3})}{\textcolor{#e9b509}{x+3}} + \frac{5}{\textcolor{#e9b509}{x+3}} \\[0.8em] &= \frac{(x-3)(x+3) + 5}{x+3} &&|\; \text{3. Binomische Formel anwenden} \\[0.8em] &= \frac{x^2 - 9 + 5}{x+3} \\[0.8em] &= \frac{x^2-4}{x+3}\end{align*}\]

 

Begründung, dass \(f\) genau die Nullstellen \(-2\) und \(2\) hat

Für die Untersuchung der Nullstellen von \(f\) ist der Funktionsterm \(f(x) = \dfrac{x^2-4}{x+3}\) günstiger. Die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion \(f\) sind alle Nullstellen des Zählers \(x^2-4\), die nicht zugleich Nullstellen des Nenners \(x + 3\) sind.

Nullstellen einer Funktion bestimmen

Nullstelle(n) einer Funktion bestimmen

Eine Nullstelle ist die \(x\)-Koordinate eines gemeinsamen Punktes des Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\) mit der \(x\)-Achse. An einer Nullstelle gilt: \(f(x) = 0\).

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Produkt von Funktionen

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

\(f(x) \cdot g(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\) oder \(g(x) = 0\)

Quotient von Funktionen

Ein Quotient von Funktionen ist genau dann null, wenn die Zählerfunktion null ist.

\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\; (g(x) \neq 0)\)

Quadratische Funktion

Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel, vgl. Merkhilfe)

 

\[\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x + \textcolor{#e9b509}{c} = 0 \enspace \Leftrightarrow \enspace x_{1,2} = \frac{-\textcolor{#0087c1}{b} \pm \sqrt{\textcolor{#0087c1}{b}^2 - 4\textcolor{#cc071e}{a}\textcolor{#e9b509}{c}}}{2\textcolor{#cc071e}{a}}\]

 

Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):

\(D < 0\,\): keine Lösung

\(D = 0\,\): genau eine Lösung

\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen

 

Folgende Fälle lassen sich einfacher durch Umformung lösen:

 

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x &= 0 &&| \; x\; \text{ausklammern (Produkt formulieren)} \\[0.8em] x \cdot (ax + b) &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace x = 0 \vee ax + b &= 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#e9b509}{c} &= 0 &&| -c \enspace (c \neq 0) \\[0.8em] ax^2 &= -c &&| : a \\[0.8em] x^2 &= -\frac{c}{a} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{align*}\]

Zwei Lösungen, falls \(-\dfrac{c}{a} > 0\), keine Lösung, falls \(-\dfrac{c}{a} < 0\)

Ganzrationale Funktion

Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3:

Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3

vgl. Abiturskript - 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Nullstellen

Gebrochenrationale Funktion

Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x) = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{z(x)}}{n(x)}\) sind alle Nullstellen des Zählerpolynoms \(\textcolor{#0087c1}{z(x)}\), die nicht zugleich Nullstellen des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\) sind.

Ist \(x_0\) eine Nullstelle des Zählerpolynoms \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine vollständig kürzbare Nullstelle des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt die gebrochenrationale Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.

(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)

Wurzelfunktion

Eine Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{\textcolor{#cc071e}{g(x)}}\) nimmt genau dann den Wert null an, wenn der Radikand (Term unter der Wurzel) null ist.

Sinus- und Kosinusfunktion

\[\sin{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]

\[\cos{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]

Nullstellen der Sinusfunktion x ↦ sin x und der Kosinusfunktion x ↦ cos x

Natürliche Logarithmusfunktion

Nullstelle x = 1 der natürlichen Logarithmusfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(\boldsymbol{x = 1}\).

\[\ln{\left( \textcolor{#0087c1}{f(x)} \right)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{f(x) = 1}\]

Natürliche Exponentialfunktion

Graph der natürlichen Exponentialfunktion x → eˣ

Die natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) sowie jede verkettete Funktion \(x \mapsto e^{f(x)}\) besitzt keine Nullstelle!

\[\begin{align*} f(x) = 0 \;\Rightarrow\; x^2 - 4 &= 0 &&| + 4 \\[0.8em] x^2 &= 4 &&| \; \sqrt{\enspace} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm 2\end{align*}\]

\[\begin{align*} f(x) = 0 \;\Rightarrow \;x^2 - 4 &= 0 &&|\;\text{3. Binom. Formel} \\[0.8em] (x-2)(x+2) &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \; x_1 = -2; \; x_2 &= 2 \end{align*}\]

 

Somit hat \(f\) genau die Nullstellen \(-2\) und \(2\). 

 

Anmerkung

Ist eine Nullstelle des Zählerpolynoms \(p(x)\) einer gebrochenrationalen Funktion \(x \mapsto \dfrac{p(x)}{q(x)}\) zugleich Nullstelle des Nennerpolynoms \(q(x)\), lässt sich der gebrochenrationale Term entweder durch Kürzen vereinfachen oder es liegt ggf. eine hebbare Definitionslücke vor (vollständig kürzbare Nennernullstelle).