Das Glücksrad wird zehnmal gedreht. Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass der blaue Sektor genau zweimal getroffen wird.

(1 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Binomialverteilte Zufallsgröße, Binomialverteilung, Wahrscheinlichkeitsberechnung nach dem Urnenmodell - Ziehen mit Zurücklegen

 

Anmerkung:

Der Term ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung kann entfallen.

 

\[\binom{10}{2} \cdot p^{2} \cdot (1 - p)^{8}\]

 

Begründung:

Es handelt sich um ein Bernoulli-Exoeriment. Das Zufallsexperiment unterscheidet nur die beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignisse „Blauer Sektor wird getroffen" und „Blauer Sektor wird nicht getroffen" Das betrachtete Ereignis „Blauer Sektor wird getroffen" ist bei jeder Drehung des Glücksrads mit \(p\) konstant (vgl. Angabe). Das Glücksrad wird zehnmal gedreht. Die Länge der Bernoullikette ist also \(n = 10\).

Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette

Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei verschiedene sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können, heißt Bernoulli-Experiment.

Das Eintreten des Ereignisses \(A\) wird als Treffer und das Eintreten des Gegeneignisses \(\overline{A}\) wird als Niete bezeichnet. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(P(A)\) bezeichnet man mit \(\boldsymbol{p}\) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit \(q = 1- p\). Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \(\boldsymbol{n}\). Dabei müssen die einzelnen Wiederholungen unabhängig voneinander erfolgen. Das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt konstant.

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl beschreibt, wie oft das Ereignis „Blauer Sektor wird getroffen" eintritt.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(10;p)\) binomialverteilt.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße \(X\) den Wert \(2\) annimmt, das heißt, dass der blaue Sektor genau zweimal getroffen wird, lässt sich wie folgt berechnen:

Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße

Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:

Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)

\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]

Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).

Voraussetzung für eine Binomialverteilung

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).

\[P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot p^{2} \cdot (1 - p)^{8}\]

 

Alternative Begründung:

Das Zufallsexperiment kann mit dem Urnenmodell „Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge" beschrieben werden.

Aus einer Urne, in der der Anteil schwarzer Kugeln \(p\) ist, werden zehn Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei Kugeln schwarz sind, ergibt sich zu (vgl. Merkhilfe):

Urnenmodell: „Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge"

Urnenmodell: „Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge"

Werden aus einer Urne, in der der Anteil schwarzer Kugeln \(p\) ist, \(n\) Kugeln mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen, so gilt für die Wahrscheinlichkeit, genau \(k\) schwarze Kugeln zu ziehen:

\[P(\text{„genau}\,k\,\text{schwarze Kugeln"}) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[P(\text{„genau 2 schwarze Kugeln"}) = \binom{10}{2} \cdot p^{2} \cdot (1 - p)^{8}\]