Begründen Sie, dass das Viereck \(ABA'B'\) ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3\sqrt{2}\) ist.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe c
Betrags eines Vektors, Orthogonalität zweier Vektoren
![Quadrat ABCD mit Diagonalen e und f und Diagonalenschnittpunkt M Quadrat ABCD mit Diagonalen e und f und Diagonalenschnittpunkt M](/images/stories/B2016_PT_B_G_1/B2016_PT_B_G_1_c_1.png)
Merkmale eines Quadrats:
- Alle Seiten sind gleich lang. Dieses Merkmal gilt auch für eine Raute.
- Alle Innenwinkel betragen 90°. Dieses Merkmal gilt auch für ein Rechteck.
- Die Diagonalen \(e\) und \(f\) sind gleich lang und schneiden sich rechtwinklig im Mittelpunkt \(M\) der Diagonalen.
Das Viereck \(ABA'B'\) ist ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3\sqrt{2}\), wenn beispielsweise
- drei Seiten die Länge \(3\sqrt{2}\) haben und die jeweils anliegenden Seiten einen rechten Winkel einschließen.
![Veranschaulichung des Nachweises des Quadrats ABA'B' mithilfe der Diagonalen und einer Seitenlänge Veranschaulichung des Nachweises des Quadrats ABA'B' mithilfe der Diagonalen und einer Seitenlänge](/images/stories/B2016_PT_B_G_1/B2016_PT_B_G_1_c_3.png)
- die Diagonalen \([AA']\) und \(BB'\) gleich lang sind und diese sich rechtwinklig im Mittelpunkt der Diagonalen schneiden, sowie eine Seite die Länge \(3\sqrt{2}\) hat.
Wählt man eine dieser Vorgehensweisen, müssen die Koordinaten der Bildpunkte \(A'\) und \(B'\) berechnet werden. Dies lässt sich umgehen, wenn man die besondere Lage des Punktes \(Z\) berücksichtigt.
![Veranschaulichung des Nachweises des Quadrats ABA'B' unter Berücksichtigung der Lage des Punktes Z Veranschaulichung des Nachweises des Quadrats ABA'B' unter Berücksichtigung der Lage des Punktes Z](/images/stories/B2016_PT_B_G_1/B2016_PT_B_G_1_c_4.png)
Da die Punkte \(A'\) und \(B'\) jeweils durch Spiegelung der Punkte \(A\) und \(B\) am Punkt \(Z\) hervorgehen, ist \(Z\) der Mittelpunkt der Diagonalen \([AA']\) und \([BB']\). Weist man nach, dass die Strecken \([ZA]\) und \([ZB]\) gleich lang und senkrecht zueinander sind, folgt daraus, dass sich die gleichlangen Diagonalen \([AA']\) und \([BB']\) rechtwinklig in \(Z\) schneiden. Anschließend bestätigt man, dass \(\overline{AB} = 3\sqrt{2}\) gilt und schlussfolgert daraus, dass das Viereck \(ABA'B'\) ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3\sqrt{2}\) ist.
1. Lösungsansatz: Berücksichtigung der Lage des Punktes \(Z\) (ohne Berechnung von \(A'\) und \(B'\))
Verbindungsvektoren berechnen:
![Verbindungsvektoren der Punkte Z und A, Z und B sowie A und B Verbindungsvektoren der Punkte Z und A, Z und B sowie A und B](/images/stories/B2016_PT_B_G_1/B2016_PT_B_G_1_c_5.png)
Für die Überprüfung der Längen der Strecken \([ZA]\), \([ZB]\) und \([AB]\) werden beispielsweise die Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{ZA}\), \(\overrightarrow{ZB}\) und \(\overrightarrow{AB}\) berechnet. Außerdem wird die Orthogonalität der Vektoren \(\overrightarrow{ZA}\) und \(\overrightarrow{ZB}\) überprüft.
\(A(6|3|3)\), \(B(3|6|3)\), \(Z(3|3|3)\)
\[\overrightarrow{ZA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{Z} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{ZB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{Z} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]
Längen der Strecken \([ZA]\), \([ZB]\) und \([AB]\) berechnen:
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\(\overrightarrow{ZA} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{ZB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)
\[\overline{ZA} = \vert \overrightarrow{ZA} \vert = \left| \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{3^{2} + 0^{2} + 0^{2}} = 3\]
\[\overline{ZB} = \vert \overrightarrow{ZB} \vert = \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = 3\]
\[\overline{AB} = \vert \overrightarrow{AB} \vert = \left| \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(-3)^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]
\[\Longrightarrow \quad \overline{ZA} = \overline{ZB} = 3 \quad \Longrightarrow \quad \overline{AA'} = \overline{BB'} = 6\]
Die Diagonalen \([AA']\) und \([BB']\) des Vierecks \(ABA'B'\) sind gleich lang.
Ortogonalität der Vektoren \(\overrightarrow{ZA}\) und \(\overrightarrow{ZB}\) prüfen:
Anwendung des Skalarprodukts:
Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \; \Leftrightarrow \; \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\; \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]
\(\overrightarrow{ZA} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{ZB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)
\[\overrightarrow{ZA} \circ \overrightarrow{ZB} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{ZA} \perp \overrightarrow{ZB}\]
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]
\[\overrightarrow{ZA} \circ \overrightarrow{ZB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 0\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{ZA} \perp \overrightarrow{ZB} \quad \Longrightarrow \quad [AA'] \perp [BB']\]
Die Diagonalen \([AA']\) und \([BB']\) des Vierecks \(ABA'B'\) sind zueinander senkrecht.
Schlussfolgerung:
![Veranschaulichung des Nachweises des Quadrats ABA'B' mithilfe der Diagonalen und einer Seitenlänge Veranschaulichung des Nachweises des Quadrats ABA'B' mithilfe der Diagonalen und einer Seitenlänge](/images/stories/B2016_PT_B_G_1/B2016_PT_B_G_1_c_3.png)
\[\left. \begin{align*} &\overline{AA'} = \overline{BB'} \\[0.8em] &[AA'] \perp [BB'] \\[0.8em] &\overline{AB} = 3\sqrt{2} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Quadrat}\; ABA'B' \; \text{mit Seitenlänge} \; 3\sqrt{2}\]
Das Viereck \(ABA'B'\) ist ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3\sqrt{2}\).
2. Lösungsansatz: Drei gleich lange Seiten und Orthogonalität der anliegenden Seiten (mit Berechnung von \(A'\) und \(B'\))
![Verbindungsvektoren der Punkte A und B, A und B' sowie B und A' Verbindungsvektoren der Punkte A und B, A und B' sowie B und A'](/images/stories/B2016_PT_B_G_1/B2016_PT_B_G_1_c_6.png)
Um die Längen dreier Seiten sowie die Orthogonalität je zweier anliegender Seiten des Vierecks \(ABA'B'\) überprüfen zu können, werden beispielsweise die Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AB'}\) und \(\overrightarrow{BA'}\) bestimmt.
Hierfür müssen zunächst die Koordinaten der Bildpunkte \(A'\) und \(B'\) berechnet werden.
Berechnung der Koordinaten der Bildpunkte \(A'\) und \(B'\):
![Veranschaulichung der Berechnung der Bildpunkte A' und B' durch Vektoraddition Veranschaulichung der Berechnung der Bildpunkte A' und B' durch Vektoraddition](/images/stories/B2016_PT_B_G_1/B2016_PT_B_G_1_c_7.png)
Der Bildpunkt \(A'\) bzw. \(B'\) geht durch Spiegelung des Punktes \(A\) bzw. \(B\) am Punkt \(Z\) hervor. Die Koordinaten der Ortsvektoren \(\overrightarrow{A'}\) bzw. \(\overrightarrow{B'}\) lassen sich durch Vektoraddition berechnen.
\(A(6|3|3)\), \(B(3|6|3)\), \(Z(3|3|3)\)
\[\begin{align*} \overrightarrow{A'} &= \overrightarrow{Z} + \overrightarrow{ZA'} & &| \; \overrightarrow{ZA'} = \overrightarrow{AZ} \\[0.8em] &= \overrightarrow{Z} + \overrightarrow{AZ} \\[0.8em] &= \overrightarrow{Z} + \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{A} \\[0.8em] &= 2 \cdot \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{A} \\[0.8em] &= 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad A'(0|3|3)\]
\[\begin{align*} \overrightarrow{B'} &= \overrightarrow{Z} + \overrightarrow{ZB'} & &| \; \overrightarrow{ZB'} = \overrightarrow{BZ} \\[0.8em] &= \overrightarrow{Z} + \overrightarrow{BZ} \\[0.8em] &= \overrightarrow{Z} + \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{B} \\[0.8em] &= 2 \cdot \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{B} \\[0.8em] &= 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad B'(3|0|3)\]
oder
![Veranschaulichung der Berechnung der Bildpunkte A' und B' durch Vektoraddition Veranschaulichung der Berechnung der Bildpunkte A' und B' durch Vektoraddition](/images/stories/B2016_PT_B_G_1/B2016_PT_B_G_1_c_8.png)
\[\begin{align*} \overrightarrow{A'} &= \overrightarrow{A} + 2 \cdot \overrightarrow{AZ} \\[0.8em] &= \overrightarrow{A} + 2 \cdot \left( \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{A} \right) \\[0.8em] &= \overrightarrow{A} + 2 \cdot \overrightarrow{Z} - 2 \cdot \overrightarrow{A} \\[0.8em] &= 2 \cdot \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{A} \\[0.8em] &= 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad A'(0|3|3)\]
\[\begin{align*} \overrightarrow{B'} &= \overrightarrow{B} + 2 \cdot \overrightarrow{BZ} \\[0.8em] &= \overrightarrow{B} + 2 \cdot \left( \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{B} \right) \\[0.8em] &= \overrightarrow{B} + 2 \cdot \overrightarrow{Z} - 2 \cdot \overrightarrow{B} \\[0.8em] &= 2 \cdot \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{B} \\[0.8em] &= 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad B'(3|0|3)\]
Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AB'}\) und \(\overrightarrow{BA'}\) berechnen:
\(A(6|3|3)\), \(B(3|6|3)\), \(A'(0|3|3)\), \(B'(3|0|3)\)
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{B'} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{BA'} = \overrightarrow{A'} - \overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{BA'}\]
Längen der Strecken \([AB]\), \([AB']\) und \([BA']\) berechnen:
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AB'} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BA'} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\)
\[\overline{AB} = \vert \overrightarrow{AB} \vert = \left| \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(-3)^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]
\[\begin{align*}\overline{AB'} = \overline{BA'} &= \vert \overrightarrow{BA'} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(-3)^{2} + (-3)^{2} + 0^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{18} \\[0.8em] &= 3\sqrt{2} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \overline{AB} = \overline{AB'} = \overline{BA'} = 3\sqrt{2}\]
Die Seiten \([AB]\), \([AB']\) und \([BA']\) des Vierecks \(ABA'B'\) sind gleich lang.
Ortogonalität der Vektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AB'}\) sowie \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{BA'}\) prüfen:
Anwendung des Skalarprodukts:
Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \; \Leftrightarrow \; \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\; \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{BA'} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\)
![Verbindungsvektoren der Punkte A und B, A und B' sowie B und A' Verbindungsvektoren der Punkte A und B, A und B' sowie B und A'](/images/stories/B2016_PT_B_G_1/B2016_PT_B_G_1_c_6.png)
Da \(\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{BA'}\) gilt, reicht es aus, die Orthogonalität der Vektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AB'}\) zu prüfen.
\[\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AB'} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AB'}\]
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]
\[\begin{align*}\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AB'} &= \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= (-3) \cdot (-3) + 3 \cdot (-3) + 0 \cdot 0 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AB'} \quad \Longrightarrow \quad [AB] \perp [AB'], \, [AB] \perp [BA']\]
Die Seiten \([AB]\) und \([AB']\) sowie \([AB]\) und \([BA']\) des Vierecks \(ABA'B'\) sind zueinander senkrecht.
Schlussfolgerung:
![Verbindungsvektoren der Punkte A und B, A und B' sowie B und A' Verbindungsvektoren der Punkte A und B, A und B' sowie B und A'](/images/stories/B2016_PT_B_G_1/B2016_PT_B_G_1_c_6.png)
\[\left. \begin{align*} &\overline{AB} = \overline{AB'} = \overline{BA'} = 3\sqrt{2} \\[0.8em] &[AB] \perp [AB'], \, [AB] \perp [BA'] \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Quadrat}\; ABA'B' \; \text{mit Seitenlänge} \; 3\sqrt{2}\]
Das Viereck \(ABA'B'\) ist ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3\sqrt{2}\).