Der Körper \(ABA'B'CC'\) ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat \(ABA'B'\) als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen \(C\) bzw. \(C'\).
Weisen Sie nach, dass das Oktaeder das Volumen 36 besitzt.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe d
Volumen einer Pyramide, Spatprodukt anwenden
1. Lösungsansatz: \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\)
Volumen einer Pyramide
\[V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\]
\(G\): Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide
\(h\): Höhe der Pyramide
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}V_{\text{Oktaeder}} &= 2 \cdot V_{\text{Pyramide}} \\[0.8em] V_{ABA'B'CC'} &= 2 \cdot V_{ABA'B'C} \\[0.8em] &= 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot A_{ABA'B'} \cdot h \end{align*}\]
Aus Teilaufgabe c ist bekannt:
Das Viereck \(ABA'B'\) ist ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3\sqrt{2}\).
Höhe \(h\) der Pyramide \(ABA'B'C\):
Oktaeder \(ABA'B'CC'\) und Pyramide \(ABA'B'C\) mit Höhe \(h\) sowie die Ebene, in der die Punkte \(A\), \(B\) und \(Z\) liegen
Aus Teilaufgabe b ist bekannt, dass die Ebene, in der die Punkte \(A\), \(B\) und \(Z\) liegen, im Abstand 3 LE (Längeneinheiten) parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene verläuft, und dass die Strecke \([CC']\) senkrecht auf dieser Ebene steht.
Folglich beschreibt die Länge der Strecke \([CZ]\) die Höhe \(h\) der Pyramide \(ABA'B'C\).
Höhe \(h\) der Pyramide \(ABA'B'C\) berechnen:
\(C(3|3|6)\), \(Z(3|3|3)\)
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}h &= \overline{CZ} \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{CZ} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{C} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{0^{2} + 0^{2} + (-3)^{2}} \\[0.8em] &= 3 \end{align*}\]
Die Höhe \(h\) der Pyramide \(ABA'B'C\) beträgt 3 LE.
Volumen des Oktaeders \(ABA'B'CC'\) berechnen:
\[\begin{align*}V_{ABA'B'CC'} &= 2 \cdot V_{ABA'B'C} \\[0.8em] &= 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot A_{ABA'B'} \cdot h \\[0.8em] &= 2 \cdot \frac{1}{\cancel{3}} \cdot \left( 3\sqrt{2} \right)^{2} \cdot \cancel{3} \\[0.8em] &= 2 \cdot 18 \\[0.8em] &= 36 \end{align*}\]
Der Volumeninhalt des Oktaeders \(ABA'B'CC'\) beträgt 36 VE (Volumeneinheiten).
2. Lösungsansatz: Spatprodukt anwenden
Ohne Berücksichtigung der Ergebnisse aus den Teilaufgaben b,c kann das Volumen des Oktaeders \(ABA'B'CC'\) berechnet werden, indem man das Spatprodukt anwendet.
Oktaeder \(ABA'B'CC'\) und Pyramide \(ABZC\) sowie die drei linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AZ}\) und \(\overrightarrow{AC}\)
Aus Teilaufgabe c ist bekannt:
Das Viereck \(ABA'B'\) ist ein Quadrat.
Daher beträgt der Volumeninhalt der Pyramide \(ABZC\) ein Viertel des Volumeninhalts der Pyramide \(ABA'B'C\) und somit ein Achtel des Volumeninhalts des Oktaeders \(ABA'B'CC'\).
\[V_{ABA'B'CC'} = 8 \cdot V_{ABZC}\]
Der Volumeninhalt der Pyramide \(ABZC\) lässt sich mithilfe des Spatprodukts berechnen. Hierfür wählt man beispielsweise die drei linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AZ}\) und \(\overrightarrow{AC}\).
Anwendung des Vekorprodukts - Spatprodukt (vgl. Merkhilfe)
Volumen eines Spats
\[V_{\text{Spat}} = \left| \left( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \right) \circ \overrightarrow{c} \; \right|\]
Volumen einer dreiseitigen Pyramide
\[V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{6} \left| \left( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \right) \circ \overrightarrow{c} \; \right|\]
\[V_{ABZC} = \frac{1}{6} \cdot \left| \overrightarrow{AC} \circ \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AZ} \right) \right|\]
Verbindungsvektoren berechnen (soweit nicht bereits aus Teilaufgabe a bekannt):
\(A(6|3|3)\), \(B(3|6|3)\), \(C(3|3|6)\), \(Z(3|3|3)\)
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{AZ} = \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]
Volumen des Oktaeders \(ABA'B'CC'\) berechnen:
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) erzeugt einen neuen Vektor \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) mit den Eigenschaften:
\(\overrightarrow{c}\) ist sowohl zu \(\overrightarrow{a}\) als auch zu \(\overrightarrow{b}\) senkrecht.
\[\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a}, \enspace \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{b}\]
Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Rechtehandregel: Weist \(\overrightarrow{a}\) in Richtung des Daumens und \(\overrightarrow{b}\) in Richtung des Zeigefingers, dann weist \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) in Richtung des Mittelfingers.
Berechnung eines Vektorprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end {pmatrix}\]
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]
\[\begin{align*}V_{ABA'B'CC'} &= 8 \cdot V_{ABZC} \\[0.8em] &= 8 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left| \overrightarrow{AC} \circ \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AZ} \right) \right| \\[0.8em] &= \frac{4}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \right| \\[0.8em] &= \frac{4}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 3 & \cdot & 0 & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & (-3) & - & (-3) & \cdot & 0 \\ (-3) & \cdot & 0 & - & 3 & \cdot & (-3) \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{4}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{4}{3} \cdot \vert (-3) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 3 \cdot 9 \vert \\[0.8em] &= \frac{4}{3} \cdot 27 \\[0.8em] &= 36 \end{align*}\]
Der Volumeninhalt des Oktaeders \(ABA'B'CC'\) beträgt 36 VE (Volumeneinheiten).
