Weisen Sie nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade \(OS\) die Ebene \(E_k\) schneidet, unabhängig von \(k\) ist.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe f
\[E_k \colon 4k \cdot x_1 + 4\sqrt{1-k^2} \cdot x_2 + 3 \cdot x_3 - 12 = 0; \;k \in [-1;1]\]
\(\textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 4k \\4\sqrt{1-k^2} \\ 3 \end{pmatrix}}\) ist ein Normalenvektor der Ebenenschar \(E_k\).
\(\textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}}\) ist ein Richtungsvektor der Gerade \(OS\).
Schnittwinkel \(\boldsymbol{\varphi}\) zwischen Gerade und Ebene
\[\cos{(90^{\circ} - \varphi)} = \frac{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \vert}{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \vert \cdot \vert \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \vert}\]
Mit \(\cos{(90^{\circ}-\varphi)} = \sin{\varphi}\) folgt:
\[\begin{align*}\sin{\varphi} &= \frac{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \vert}{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \vert \cdot \vert \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \vert} = \cdots \quad(0^{\circ} \leq \varphi \leq 90^{\circ}) \\[0.8em] \varphi &= \sin^{-1}(\cdots)\end{align*}\]
\[\begin{align*} \sin{\varphi} &= \frac{\left|\textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}} \circ \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 4k \\ 4\sqrt{1-k^2} \\ 3 \end{pmatrix}}\right|}{\left| \textcolor{#cc071e}{\begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix}} \right| \cdot \left| \textcolor{#0087c1}{\begin {pmatrix} 4k \\ 4\sqrt{1-k^2} \\ 3 \end {pmatrix}} \right|} \\[0.8em] &= \frac{3}{1 \cdot \sqrt{(4k)^2 + \left(4\sqrt{1-k^2}\right)^2 + 3^2}} \\[0.8em] &= \frac{3}{\sqrt{16k^2+16 \cdot (1-k^2) + 9}}\\[0.8em] &= \frac{3}{\sqrt{16k^2+16 - 16k^2 + 9}} = \frac{3}{\sqrt{25}} \\[0.8em] &= \frac{3}{5}\end{align*}\]
Damit ist die Größe des Schnittwinkels \(\varphi\) unabhängig vom Wert des Parameters \(k\).
