Begründen Sie für \(c > 0\) anhand einer geeigneten Skizze, dass \(\displaystyle \int_0^3 g_c(x)\,dx = \int_0^3 f(x)\,dx + 3c\) gilt.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2c
\[ \int_0^3 g_c(x)\,dx = \int_0^3 f(x)\,dx + 3c\,; \quad c > 0\]
\[g_c(x) = f(x) + c\]
Der Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_0^3 g_c(x)\,dx\) ist gleich dem Flächeninhalt des Flächenstücks, das der Graph von \(g_c\) im Intervall \([0;3]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.
![Skizze zu Teiaufgabe 2c: Flächeninhalt A₁ des Flächenstücks, das der Graph von f im Intervall [0;3] mit der x-Achse einschließt. Flächeninhalt A₁ + A₂ des Flächenstücks, welches der Graph von gc im Intervall [0;3] mit der x-Achse einschließt.](/images/stories/B2013_A_I/B2013_A_I_T2_2c.png "Skizze zu Teiaufgabe 2c: Flächeninhalt A₁ des Flächenstücks, das der Graph von f im Intervall [0;3] mit der x-Achse einschließt. Flächeninhalt A₁ + A₂ des Flächenstücks, welches der Graph von gc im Intervall [0;3] mit der x-Achse einschließt.")
Flächeninhalt \(A_1\) des Flächenstücks, das \(G_f\) im Intervall \([0;3]\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Flächeninhalt \(A_1 + A_2\) des Flächenstücks, welches \(G_{g_c}\) im Intervall \([0;3]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.
\[A_1 = \int_0^3 f(x)\,dx\]
\[A_2 = A_{\text{Rechteck}} = x \cdot y = 3 \cdot c\]
\[A_1 + A_2 = \int_0^3 f(x)\,dx + 3c = \int_0^3 g_c(x)\,dx\]
