Verschieben von Funktionsgraphen

Innerhalb eines Jahres schwankt die CO₂-Konzentration. Für einen bestimmten Zeitraum von acht Monaten lassen sich die gemessenen Werte modellhaft durch die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto 3{,}3 \cdot \sin{\big( \frac{\pi}{6}x \big)} + 406\) beschreiben. Dabei ist \(x\) die in diesem Zeitraum vergangene Zeit in Monaten und \(k(x)\) die CO₂-Konzentration in ppm. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass jeder Monat 30 Tage hat.

Geben Sie an, wie der Graph von \(k\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(s \colon x \mapsto \sin{(x)}\) hervorgeht. Beurteilen Sie, ob die Reihenfolge der einzelnen Schritte von Bedeutung ist.

(5 BE)

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f \colon x \mapsto 2^x + 3x + 4\) und \(g \colon x \mapsto 2^{x+1} + 6x -2\).

Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion \(g\) aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch

1. eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) und
2. eine Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(-10\)

hervorgeht. Begründen Sie, dass die Reihenfolge der Schritte von Bedeutung ist.

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = -\dfrac{3}{x - 2}\).

a) Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}f(x)\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x)\). Beschreiben Sie Ihre Ergebnisse in Worten und interpretieren Sie diese graphisch.

b) Der Graph der Funktion \(g\) geht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch Verschiebung in \(x\)-Richtung und in \(y\)-Richtung hervor, wobei er die Asymptoten mit den Gleichungen \(x = 3\) und \(y = -2\) besitzt. Geben Sie die zugehörige Verschiebung in \(x\)-Richtung und in \(y\)-Richtung an sowie einen Funktionsterm von \(g\).

c) Der Graph der Funktion \(h\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch eine Streckung mit dem Faktor \(3\) in \(y\)-Richtung und eine anschließende Verschiebung um \(2\) in \(y\)-Richtung. Der Graph der Funktion \(k\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch die angegebene Streckung und Verschiebung in umgekehrter Reihenfolge. Entscheiden Sie, ob folgende Aussage richtig ist: „Die Funktionsterme von \(h\) und \(k\) unterscheiden sich." Begründen Sie ihre Entscheidung.

Aufgabe 1

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f\) und \(g\). Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und der Graph der Funktion \(g\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen der Funktion \(h \colon x \mapsto f(x) \cdot \left[ g(x) \right]^4\) bezüglich des Koordinatensystems.

 

Aufgabe 2

Geben Sie jeweils den Funktionsterm einer Funktion an, die folgende Eigenschaften besitzt:

1. Die Funktion \(f\) besitzt die Wertemenge \([-2;2]\) und \(x = -\frac{\pi}{2}\) sowie \(x = \frac{\pi}{2}\) sind zwei Nullstellen von \(f\).
2. Die Funktion \(g\) divergiert für \(x \to -\infty\) gegen \(+\infty\) und konvergiert für \(x \to +\infty\) gegen \(+3\).
3. Der Graph der Funktion \(h\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Er besitzt die Nullstelle \(x = 2\) und es gilt: \(\lim \limits_{x\, \to\, -\infty}h(x) = +\infty\).

 

Aufgabe 3

1. Beschreiben Sie mithilfe der Abbildung, wie der Graph von \(g\) aus dem Graphen von \(f\) hervorgeht. Geben Sie einen Funktionsterm von \(g\) an, indem Sie \(g\) durch \(f\) ausdrücken.
2. Beschreiben Sie, wie der Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(p\colon x \mapsto 4x^2 +8x +4\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(q\colon x \mapsto x^2\) hervorgeht.

 

Aufgabe 4

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f \colon x \mapsto 2^x + 3x + 4\) und \(g \colon x \mapsto 2^{x+1} + 6x -2\).

Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion \(g\) aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch

1. eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) und
2. eine Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(-10\)

hervorgeht. Begründen Sie, dass die Reihenfolge der Schritte von Bedeutung ist.

 

Aufgabe 5

Gegeben ist die Funktion \(h\) mit

\[h \colon x \mapsto \begin{cases} \begin{align*} -2^{-x+1}+3 \enspace \text{für} \enspace x &\leq 2 \\[0.8em] \sin{(x-1)+0{,}5} \enspace \text{für} \enspace x &>2\end{align*} \end{cases}\]

auf ihrem maximalen Definitionsbereich \(D_h = \mathbb R\).

Untersuchen Sie die Funktion \(h\) auf Stetigkeit.

 

Aufgabe 6

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{2x^2 - 8}{x^2 + x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f\).

1. Bestimmen Sie \(D_f\) sowie die Nullstelle(n) von \(f\) und geben Sie die Gleichung(en) der senkrechten Asymptote(n) des Graphen von \(f\) an.
2. Begründen Sie, dass \(y = 2\) die Gleichung der waagerechten Asymptote des Graphen von \(f\) ist.

 

Aufgabe 7

Geben Sie den Term einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) an,

1. deren Graph die senkrechten Asymptoten mit den Gleichungen \(x = -2\) und \(x = 3\), die doppelte Nullstelle \(x = 1\) sowie die waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(y = 0\) besitzt.
2. die in \(\mathbb R\) definiert ist und deren Graph die waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(y = 1\) besitzt sowie die \(y\)-Achse bei \(3\) schneidet.

 

Aufgabe 8

Begründen oder widerlegen Sie folgende Aussage:

Wenn der Graph \(G_f\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, so hat \(f\) mindestens zwei Definitionslücken.

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = -\dfrac{3}{x - 2}\).

a) Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}f(x)\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x)\). Beschreiben Sie Ihre Ergebnisse in Worten und interpretieren Sie diese graphisch.

b) Der Graph der Funktion \(g\) geht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch Verschiebung in \(x\)-Richtung und in \(y\)-Richtung hervor, wobei er die Asymptoten mit den Gleichungen \(x = 3\) und \(y = -2\) besitzt. Geben Sie die zugehörige Verschiebung in \(x\)-Richtung und in \(y\)-Richtung an sowie einen Funktionsterm von \(g\).

c) Der Graph der Funktion \(h\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch eine Streckung mit dem Faktor 3 in \(y\)-Richtung und eine anschließende Verschiebung um 2 in \(y\)-Richtung. Der Graph der Funktion \(k\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch die angegebene Streckung und Verschiebung in umgekehrter Reihenfolge. Entscheiden Sie, ob folgende Aussage richtig ist: „Die Funktionsterme von \(h\) und \(k\) unterscheiden sich." Begründen Sie ihre Entscheidung.

 

Aufgabe 2

a) Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). Erläutern Sie anhand des Graphen, ob die Funktion \(f\) an den Stellen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) jeweils stetig ist.

b) Gegeben ist die Funktion

\[g \colon x \mapsto \begin{cases} \begin{align*} &ax + a &&\text{für} \; x < 1 \\[0.8em] &-2 &&\text{für}\;1 \leq x < 5 \\[0.8em] &b \cdot (x^3 - 10x^2 + 25x)-2 &&\text{für}\;x \geq 5 \end{align*} \end{cases}\enspace\text{mit}\;a, b \in \mathbb R\]

Bestimmen Sie den Wert von \(a\) so, dass \(g\) an der Stelle \(x = 1\) stetig ist und zeigen Sie, dass \(g\) an der Stelle \(x = 5\) unabhängig vom Wert von \(b\) stetig ist.

  

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x(x-3)}{(x-2)^2}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f\).

a) Geben Sie \(D_f\) an und entscheiden Sie, welcher der Graphen I bis IV den Graphen der Funktion \(f\) darstellt. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

 

b) Graph IV zeigt den Graphen einer gebrochenrationalen Funktion \(g\), der eine schräge Asymptote mit der Gleichung \(y = -x + 4\) besitzt. Die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von \(g\) mit den Koordinatenachsen sowie die Polstelle von \(g\) sind ganzzahlig.

Geben Sie an, welcher der folgenden Funktionsterme die Funktion \(g\) beschreibt.

 

Aufgabe 4

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{-2x-4}{x^3+6x^2+9x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

a) Geben Sie die Nullstelle von \(f\) an. Untersuchen Sie \(f\) auf Polstellen und geben Sie \(D_f\) an. Bestimmen Sie das Verhalten von \(G_f\) an den Definitionslücken.

b) Untersuchen Sie \(G_f\) auf schräge oder waagrechte Asymptoten.

c) Berechnen Sie \(f(-4)\) und \(f(1)\) und zeichnen Sie \(G_f\) im Bereich \(-7 < x < 4\) in ein Koordinatensystem.

 

Aufgabe 5

a) Bestimmen Sie den Grenzwert \(\lim \limits_{x\,\to\,2} f(x)\) mit \(f(x) = \dfrac{4x^2-6x-4}{x-2}\).

(Zwischenergebnis: \(x = 2\) ist Nullstelle von \(f\))

b) Die Grenzwertbetrachtung lässt auf eine besondere Eigenschaft der gebrochrationalen Funktion \(f\) schließen. Geben sie diese an und beschreiben Sie kurz wie sich der Graph von \(f\) an der Stelle \(x = 2\) verhält.

 

Aufgabe 6

Beim Fernsehsender „Sport TV" treten bei Live-Übertragungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % Bildstörungen auf. Wenn das Bild gestört ist, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % auch zu Tonstörungen. Bei 13,6 % der Übertragungen kommt es zu Bild- oder Tonstörungen.

Betrachte werden folgende Ereignisse:

\(B\): „Es tritt eine Bildstörung bei der Live-Übertragung auf",

\(T\): „Es tritt eine Tonstörung bei der Live-Übertragung auf".

a) Zeigen Sie, dass bei 12 % aller Live-Übertragungen Tonstörungen auftreten.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Live-Übertragung

1. ein einwandfreies Bild empfangen wird, falls der Ton gestört ist.
2. Bild oder Ton einwandfrei empfangen werden.

c) Untersuchen Sie, ob die Ereignisse \(B\) und \(T\) stochastisch unabhängig sind.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) einer auf \(\mathbb R\) differenzierbaren Funktion \(f\).

a) Geben Sie das Monotonieverhalten und die Extremstelle(n) von \(f\) an.

b) Ermitteln Sie den Funktionsterm der Funktion \(f\), deren Graph \(G_{f}\) durch den Punkt \(P(1|-1)\) verläuft und skizzieren Sie \(G_{f}\).

Die Abbildung zeigt je einen Ausschnitt des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x + 2} - 2\) und des Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g \colon x \mapsto -\sqrt{4 - x} + 4\).

a) Beschreiben Sie schrittweise wie der Graph \(G_{f}\) und der Graph \(G_{g}\) jeweils aus dem Graphen der Funktion \(x \mapsto \sqrt{x}\) hervorgeht und bestimmen Sie jeweils die maximale Definitionsmenge der Funktionen \(f\) und \(g\) durch Rechnung.

Betrachtet wird die Strecke \([PQ]\) der Punkte \(P(x|f(x))\) und \(Q(x|g(x))\) mit derselben Abszisse.

b) Zeigen Sie, dass der Funktionsterm \(d(x) = -\sqrt{4 - x} -\sqrt{x + 2} + 6\) die Länge der Strecke \([PQ]\) in Abhängigkeit der \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) bzw. \(Q\) beschreibt, und geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(d\) an.

c) Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) bzw. \(Q\), für die die Länge der Strecke \([PQ]\) minimal ist.

Die Gerade \(x = -1\) und die Gerade \(x = 3\) schließen mit den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

d) Der Flächeninhalt \(A\) soll zunächst näherungsweise berechnet werden. Hierfür wird das Viereck \(SPQR\) betrachtet, welches die Punkte \(S(-1|f(-1))\), \(P(3|f(3))\), \(Q(3|g(3))\) und \(R(-1|g(-1))\) festlegen. Der Schnittpunkt der Strecken \([PR]\) und \([QS]\) halbiert die Strecken jeweils.

Zeichnen Sie das Viereck \(SPQR\) in die Abbildung ein und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines geeigneten Lösungsverfahrens, um \(A\) näherungsweise zu berechnen.

e) Berechnen Sie den exakten Wert des Flächeninhalts \(A\).

f) Betrachtet wird nun die Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{0}^{x} d(t) dt\).

Geben Sie an, welche der folgenden Terme die Maßzahl des Flächeninhalts \(A\) berechnen (Falsche Antworten zählen negativ).

Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion von \(f\) ist.

(2 BE)

Der Graph der Funktion \(h\) geht aus dem Graphen der Funktion \(g\) durch Verschiebung um zwei Einheiten in positive \(x\)-Richtung hervor. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm von \(h\) an.

(1 BE)

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_{a,c} \, \colon x \mapsto \sin (ax) + c\) mit \(a,c \in \mathbb R^+_0\).

Geben Sie für jede der beiden folgenden Eigenschaften einen möglichen Wert für \(a\) und einen möglichen Wert für \(c\) so an, dass die zugehörige Funktion \(g_{a,c}\) diese Eigenschaft besitzt.

α) Die Funktion\(g_{a,c}\) hat die Wertemenge \([0;2]\).

β) Die Funktion \(g_{a,c}\) hat im Intervall \([0;\pi]\) genau drei Nullstellen.

(3 BE)

Wird die zweite Tablette zweieinhalb Stunden nach der ersten Tablette eingenommen, so kann die Wirkstoffkonzentration für \(x \in [2{,}5;9]\) mit einem der folgenden Terme beschrieben werden. Wählen Sie den passenden Term aus und begründen Sie Ihre Wahl.

(A) \(\quad f(x) + f(x + 2{,}5)\)

(B) \(\quad f(x) + f(x - 2{,}5)\)

(C) \(\quad f(x - 2{,}5) + f(2{,}5)\)

(D) \(\quad f(x) - f(x - 2{,}5)\)

(3 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto p + q \cdot \sin\left( \frac{\pi}{r}x \right)\) mit \(p,qr \in \mathbb N\).

Geben Sie \(p,q\) und \(r\) an.

(3 BE)

Geben Sie alle Werte von \(k\) an, für die der Graph von \(f_k\) und der Graph der Umkehrfunktion von \(f_k\) keinen gemeinsamen Punkt haben.

(2 BE) 

Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h(x) = -g(x - 3)\) an.

(2 BE) 

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f \colon x \mapsto x^{2} + 4\) und \(g_{m} \colon x \mapsto m \cdot x\) mit \(m \in \mathbb R\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) und der Graph von \(g_{m}\) mit \(G_{m}\) bezeichnet.

Skizzieren Sie \(G_{f}\) in einem Koordinatensystem. Berechnen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punkts der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{4}\).

(3 BE)

Die in \(\mathbb R \, \backslash \, \{-3;-1\}\) definierte Funktion \(\displaystyle k \colon x \mapsto 3 \cdot \left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 3} \right) - 0{,}2\) stellt im Bereich \(-0{,}5 \leq x \leq 2\) eine gute Näherung für die Funktion \(h\) dar.

Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion \(k\) aus dem Graphen der Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 hervorgeht.

(2 BE)

Der Graph von \(f\) wird verschoben. Der Punkt \((2|0)\) des Graphen der Funktion \(f\) besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten \((3|2)\). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion \(h\). Geben Sie eine Gleichung von \(h\) an.

(2 BE)

Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h(x) = -g(x - 3)\) an.

(2 BE)