Die in \(\mathbb R \, \backslash \, \{-3;-1\}\) definierte Funktion \(\displaystyle k \colon x \mapsto 3 \cdot \left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 3} \right) - 0{,}2\) stellt im Bereich \(-0{,}5 \leq x \leq 2\) eine gute Näherung für die Funktion \(h\) dar.
Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion \(k\) aus dem Graphen der Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 hervorgeht.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3b
Entstehung eines Funktionsgraphen beschreiben
\[f(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x + 3}\,; \enspace D = \mathbb R \,\backslash\, \{-3;-1\}\]
\[k(x) = 3 \cdot \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x + 3} \right) - 0{,}2\,; \enspace D = \mathbb R \,\backslash\, \{-3;-1\}\]
\[\Longrightarrow \quad k(x) = 3 \cdot f(x) - 0{,}2\]
Der Graph \(G_{k}\) der Funktion \(k\) geht durch Streckung des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) um den Faktor 3 in \(y\)-Richtung und anschließender Verschiebung um -0,2 in \(y\)-Richtung hervor.
\[f(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x + 3}\]
1) Streckung um den Faktor 3 in \(y\)-Richtung
Strecken von Funktionsgraphen
Streckung in \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#0087c1}{k}\,\):
\[h(x) = f\left(\textcolor{#0087c1}{\frac{1}{k}} \cdot x \right), \enspace k > 0\]
Streckung in \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#0087c1}{\dfrac{1}{k}}\):
\[h(x) = f(\textcolor{#0087c1}{k} \cdot x), \enspace k > 0\]
Streckung in \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#cc071e}{k}\,\):
\[g(x) = \textcolor{#cc071e}{k} \cdot f(x), \enspace k > 0\]
\[\Longrightarrow \quad x \mapsto 3 \cdot \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x + 3} \right)\]
2) Verschiebung um -0,2 in \(y\)-Richtung
Verschieben von Funktionsgraphen
\[g(x) = f(x +a) + b\]
Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(-a\), Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(b\)
\[\Longrightarrow \quad k(x) = 3 \cdot \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x + 3} \right) - 0{,}2\]
