Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von f, die \(x\)-Achse und die Gerade \(g\) einschließen.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

\[f(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\]

\(g \colon y = -3\) bzw. \(g(x) = -3\)

 

Inhalt A der Fläche. die der Graph von f, die x-Achse und die Gerade g einschließen.

Flächeninhalt \(A\) der Fläche, die der Graph von f, die \(x\)-Achse und die Gerade \(g\) einschließen.

 

Veranschaulichung: Alternative Berechnung des Inhalts der Fläche, die der Graph von f, die x-Achse und die Gerade g einschließen,.

Es sei \(A_{1}\) der Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen \(0{,}5\) und \(3\) Längeneinheiten und \(A_{2}\) der Inhalt der Fläche, welche \(G_{f}\) und die \(x\)-Achse im Intervall \([0{,}5;1]\) einschließen. Da \(G_{f}\) im Intervall \([0{,}5;1]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, wird für die Berechnung von \(A_{2}\) der Betrag des Integrals \(\displaystyle \int_{0{,}5}^{1} f(x)dx\) gewählt.

Aufgrund der Symmetrie von \(G_{f}\) bezüglich der \(y\)-Achse (vgl. Angabe Aufgabe 2) gilt:

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[\begin{align*} \textcolor{#0087c1}{A} &= 2 \cdot (\textcolor{#cc071e}{A_{1}} + A_{2}) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( \textcolor{#cc071e}{0{,}5 \cdot 3} + \left| \int_{0{,}5}^{1} f(x)]dx \right| \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( 1{,}5 + \left| \int_{0{,}5}^{1} \left( 1 - \frac{1}{x^{2}} \right)dx \right| \right) \end{align*}\]

 

Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{0{,}5}^{1}\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} \right)dx\) wird eine Stammfunktion von \(f(x) = 1 - \dfrac{1}{x^{2}}\) benötigt.

Die Menge aller Stammfunktionen von \(f(x)\) ist gegeben durch das unbestimmte integral \(\displaystyle \int f(x) dx\). 

Wichtige unbestimmte Integrale

Wichtige unbestimmte Integrale (\(C \in \mathbb R\), vgl. Merkhilfe)

\[\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)\]

\[\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\vert x \vert} + C\]

\[\int \sin{x} \, dx = -\cos{x} + C\]

\[\int \cos{x} \, dx = \sin{x} + C\]

\[\int e^{x} dx = e^{x} + C\]

\[\int \ln{x}\, dx = -x + x \cdot \ln{x} + C\]

\[\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln{\vert f(x) \vert} + C\]

\[\int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C\]

\(\displaystyle \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

Es gilt die Faktorregel und die Summenregel:

\(\displaystyle \int c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

\( \displaystyle \int \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\)

\[\begin{align*} \int f(x) dx &= \int \left( 1 - \frac{1}{x^{2}} \right)dx \\[0.8em] &= \int \left( 1 - x^{-2} \right)dx \\[0.8em] &= x - \frac{1}{-2 + 1} \cdot x^{-2 + 1} + C \\[0.8em] &= x + x^{-1} + C \\[0.8em] &= x + \frac{1}{x} + C \end{align*}\]

 

Für \(C = 0\) ist \(F(x) = x + \dfrac{1}{x}\) eine Stammfunktion von \(f(x) = 1 - \dfrac{1}{x^{2}}\).

Damit ergibt sich der Flächeninhalt \(A\) wie folgt:

 

\[\begin{align*} \textcolor{#0087c1}{A} &= 2 \cdot \left( 1{,}5 +\left| \int_{0{,}5}^{1} \left( 1 - \frac{1}{x^{2}} \right)dx \right| \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( 1{,}5 + \left| \left[ x + \frac{1}{x} \right]_{0{,}5}^{1} \right| \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( 1{,}5 + \left| \left( 1  +\frac{1}{1} - \left( 0{,}5 + \frac{1}{0{,}5} \right) \right) \right| \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot (1{,}5 + \vert (2 - 2{,}5) \vert ) \\[0.8em] &= 2 \cdot 2 \\[0.8em] &= 4 \end{align*}\]

 

Alternative:

 

Veranschaulichung: Berechnung des Inhalts der Fläche, die der Graph von f, die x-Achse und die Gerade g einschließen,.

Es sei \(A_{1}\) der Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen \(1\) und \(3\) Längeneinheiten und \(A_{2}\) der Inhalt der Fläche zwischen \(G_{f}\) und \(g\) im Intervall \([0{,}5;1]\) (vgl. Teilaufgabe 2a).

Aufgrund der Symmetrie von \(G_{f}\) bezüglich der \(y\)-Achse (vgl. Angabe Aufgabe 2) gilt:

 

\[\begin{align*}\textcolor{#0087c1}{A} &= 2 \cdot (\textcolor{#cc071e}{A_{1}} - A_{2}) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( \textcolor{#cc071e}{1 \cdot 3} - \int_{0{,}5}^{1} [f(x) - g(x)] dx \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left(3 - \int_{0{,}5}^{1} \left( 1 - \frac{1}{x^{2}} - (-3) \right) dx \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( 3 - \int_{0{,}5}^{1} \left( 4 - \frac{1}{x^{2}} \right) dx \right) \end{align*}\]

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{0{,}5}^{1}\left( 4 - \frac{1}{x^{2}} \right)dx\) wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto 4 - \dfrac{1}{x^{2}}\) benötigt.

Die Menge aller Stammfunktionen der Integrandenfunktion \(x \mapsto 4 - \dfrac{1}{x^{2}}\) ist gegeben durch das unbestimmte integral \(\displaystyle \int \left( 4 - \dfrac{1}{x^{2}} \right)dx\). 

Wichtige unbestimmte Integrale

Wichtige unbestimmte Integrale (\(C \in \mathbb R\), vgl. Merkhilfe)

\[\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)\]

\[\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\vert x \vert} + C\]

\[\int \sin{x} \, dx = -\cos{x} + C\]

\[\int \cos{x} \, dx = \sin{x} + C\]

\[\int e^{x} dx = e^{x} + C\]

\[\int \ln{x}\, dx = -x + x \cdot \ln{x} + C\]

\[\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln{\vert f(x) \vert} + C\]

\[\int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C\]

\(\displaystyle \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

Es gilt die Faktorregel und die Summenregel:

\(\displaystyle \int c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

\( \displaystyle \int \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\)

\[\begin{align*} \int \left( 4 - \frac{1}{x^{2}} \right)dx &= \int \left(4 - x^{-2}\right)dx \\[0.8em] &= 4x - \frac{1}{-2 + 1} \cdot x^{-2 + 1} + C \\[0.8em] &= 4x + x^{-1} + C \\[0.8em] &= 4x + \frac{1}{x} + C \end{align*}\]

 

Für \(C = 0\) ist \(x \mapsto 4x + \dfrac{1}{x}\) eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto 4 - \dfrac{1}{x^{2}}\).

Damit ergibt sich der Flächeninhalt \(A\) wie folgt:

 

\[\begin{align*}A &=  2 \cdot \left( 3 - \int_{0{,}5}^{1} \left( 4 - \frac{1}{x^{2}} \right) dx \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( 3 - \left[ 4x + \frac{1}{x} \right]_{0{,}5}^{1} \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left[ 3 -  \left( 4 \cdot 1 + \frac{1}{1} - \left( 4 \cdot 0{,}5 + \frac{1}{0{,}5} \right) \right) \right] \\[0.8em] &= 2 \cdot [3 - (5 - 4)] \\[0.8em] &= 4 \end{align*}\]