Flächeninhaltsberechnung durch Integration

Aufgabe 1

Berechnen Sie folgende Integrale bzw. die Integrationsgrenze \(a\) mit \(a \in \mathbb N\). Geben Sie exakte Werte an.

 

 

Aufgabe 2

Geben sie jeweils eine Integrandenfunktion \(f(x)\) und \(g(x)\) an, sodass die folgenden Gleichungen erfüllt sind.

 

Aufgabe 3

Gegeben sind die jeweils in \(\mathbb R\) definierten Funktionenscharen \(f_{a} \colon x \mapsto x(a^{2} - x^{2})\) und \(g_{a} \colon x \mapsto x(x - a)^{2}\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\).

 

a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit des Parameters \(a\) den Flächeninhalt \(A(a)\) der Fläche, welche die Graphen der Funktionenscharen \(f\) und \(g\) begrenzen.

b) Für welchen Wert des Parameters \(a\) ergibt sich der Flächeninhalt 13,5 FE (Flächeneinheiten)?

 

Aufgabe 4

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{20}x^{5} + \dfrac{1}{12}x^{4} - \dfrac{1}{3}x^{3}\).

 

Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und geben Sie das Kümmungsverhalten von \(G_{f}\) an.

 

Aufgabe 5

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(R\) definierten Funktion \(f\).

 

a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{F}\) der Integralfunktion \(F \colon x \mapsto \displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt\) in die Abbildung. Gehen Sie dabei insbesondere auf die Nullstellen und die Extremstelle von \(G_{f}\) sowie auf das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to \pm \infty\) ein. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

b) „Jede Stammfunktion der abgebildeten Funktion \(f\) ist eine Integralfunktion." Nehmen Sie zu dieser Aussage begründend Stellung, indem Sie sich auf \(G_{F}\) beziehen.

Geben sie jeweils eine Integrandenfunktion \(f(x)\) und \(g(x)\) an, sodass die folgenden Gleichungen erfüllt sind.

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

b) Berechnen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(1 - x)\))

c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) und geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts an. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente \(w\).

(zur Kontrolle: \(f''(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(x - 2)\))

d) Skizzieren Sie \(G_{f}\) sowie die Wendetangente \(w\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

e) Weisen Sie nach, dass die Funktion \(F\colon x \mapsto -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) ist.

f) Der Graph \(G_{f}\) und die Wendetangente \(w\) schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Schraffieren Sie dieses Flächenstück in der Skizze aus Teilaufgabe d und berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

g) Berechnen Sie das Integral \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) dx\) und geben Sie die geometrische Bedeutung des Ergebnisses an.

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:

a) \(\displaystyle \int 5x^{2} \cdot e^{x^{3}} dx\)

b) \(\displaystyle \int \frac{2}{3}x \cdot \frac{2}{x^{2} + 2} dx\)

 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

b) Berechnen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(1 - x)\))

c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) und geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts an. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente \(w\).

(zur Kontrolle: \(f''(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(x - 2)\))

d) Skizzieren Sie \(G_{f}\) sowie die Wendetangente \(w\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

e) Weisen Sie nach, dass die Funktion \(F\colon x \mapsto -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) ist.

f) Der Graph \(G_{f}\) und die Wendetangente \(w\) schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Schraffieren Sie dieses Flächenstück in der Skizze aus Teilaufgabe d und berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

g) Berechnen Sie das Integral \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) dx\) und geben Sie die geometrische Bedeutung des Ergebnisses an.

 

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 1 - (\ln{x})^{2}\). Die Funktion \(F \colon x \mapsto x(\ln{x} - 1)^{2}\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(f\) (Nachweis nicht erforderlich!).

Bestimmen Sie die untere Grenze \(a \in \mathbb R^{+}\) der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t) dt\) so, dass diese mit \(F(x)\) übereinstimmt.

 

Aufgabe 4

Gegeben sind die Punkte \(A(-3|-1|4)\), \(B(0|6|5)\) und \(C(3|2|1)\).

a) Prüfen Sie, ob die drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) auf einer Gerade liegen.

b) Eine Gleichung der Gerade \(AB\) in Parameterform ist gegeben mit \(AB \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}; \; \lambda \in \mathbb R\). Beschreiben Sie ausgehend von dieser Geradengleichung die Strecke [AB].

 

Aufgabe 5

Gegeben sind die Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\).

a) Weisen Sie nach, dass sich die Geraden \(g\) und \(h\) im Punkt \(S(-3|-1|4)\) schneiden.

b) Geben Sie eine Gleichung der von den Geraden \(g\) und \(h\) aufgespannten Ebene \(E\) in Parameterform an und bestimmen Sie ein Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

Aufgabe 1

Gegeben sind die Funktionen \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{3} - 4x\) und \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{2} - x\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g\).

a) Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\) der von den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) begrenzten Fläche.

b) Geben Sie ohne weitere Rechnung den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-4}^{+4} f(x) dx\) an und veranschaulichen Sie Ihr Ergebnis in der Abbildung durch geeignete Eintragungen.

 

Aufgabe 2

Geben ist die Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{1}^{x} \ln{(3t - 2)} dt\).

a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich der Integralfunktion \(I\) an.

b) Berechnen Sie eine integralfreie Darstellung der Integralfunktion \(I\). Vereinfachen Sie soweit wie möglich.

 

Aufgabe 3

Die Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion \(f\) ergibt folgende Gleichungen:

\(f'(2) = 0; \; f''(2) = 0\)

a) Entscheiden Sie, welche der drei Aussagen richtig ist und begründen Sie Ihre Wahl.

(I) An der Stelle \(x = 2\) hat der Graph der Funktion \(f\) einen Extrempunkt.

(II) An der Stelle \(x = 2\) hat der Graph der Funktion \(f\) einen Terrassenpunkt.

(III) An der Stelle \(x = 2\) hat der Graph der Funktion \(f\) einen Extrem- oder Terrassenpunkt.

b) Bestimmen Sie einen möglichen Funktionsterm \(f(x)\), sodass der Graph der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) einen Terrassenpunkt besitzt.

 

Aufgabe 4

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, darunter 12 weiße Kugeln und 8 rote Kugeln. Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der entnommenen roten Kugeln.

a) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm.

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) und geben Sie diese tabellarisch an.

c) Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsgröße \(X\).

d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße \(X\) einen Wert annimmt, der höchstens um die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.

 

Aufgabe 5

a) Berechnen Sie den Einsatz des Spiels, sodass das Spiel „fair" ist.

b) Der Einsatz des Spiels beträgt nun 1 €. Wie sind die Öffnungswinkel der Sektoren des Glücksrads zu wählen, damit das Spiel „fair" ist?

Gegeben sind die Funktionen \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{3} - 4x\) und \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{2} - x\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g\).

a) Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\) der von den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) begrenzten Fläche.

b) Geben Sie ohne weitere Rechnung den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-4}^{+4} f(x) dx\) an und veranschaulichen Sie Ihr Ergebnis in der Abbildung durch geeignete Eintragungen.

Aufgabe 1

Berechnen Sie jeweils die Menge aller Stammfunktionen folgender Funktionen:

a) \(f(x) = 2\sqrt{3 - 2x}\)

b) \(g(x) = \ln{\left( x^{2} \right)}; \; x \in \mathbb R^{+}\)

c) \(h(x) = \dfrac{x}{2} \cdot e^{3x^{2} + 4}\)

 

Aufgabe 2

Die Abbildungen zeigen den Graphen \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten und stetigen Funktion \(f\) sowie die Graphen A, B und C.

Entscheiden Sie, welcher der Graphen A, B oder C den Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle I_{0} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt\) darstellt, indem Sie begründen weshalb die beiden anderen Graphen nicht in Frage kommen. 

 

Aufgabe 3

Der Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{x}\) und die Normale \(N\) im Punkt \(P(e|f(e))\) schließen im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie die Normale \(N\) und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\).

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\). Rechnen Sie mit exakten Werten.

 

Aufgabe 4

Ein Unternehmen stellt Tonerkassetten für Laserdrucker her. Eine Tonerkassette vom Typ XL300 kostet in der Herstellung 40 Euro. Aus laufender Qualitätskontrolle ist bekannt, dass 4 % aller Tonerkassetten vom Typ XL300 defekt sind. Im Falle einer defekten Tonerkassette bekommt ein Kunde diese kostenlos ersetzt. Das Unternehmen möchte pro verkaufter Tonerkassette vom Typ XL300 einen Gewinn in Höhe von 10 Euro erzielen.

Zu welchem Preis muss das Unternehmen eine Tonerkassette vom Typ XL300 anbieten?

 

Aufgabe 5

Ein Laplace-Tetraeder (dreiseitige Pyramide mit vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken) ist auf seinen vier Flächen mit je einer der Ziffern 1 bis 4 beschriftet. Es wird folgendes Spiel gespielt:

Ein Spieler zahlt einen Einsatz in Höhe von 1 Euro. Dann setzt er auf eine der Ziffern 1, 2, 3 oder 4 und wirft das Tetraeder anschließend dreimal. Gewertet wird die Ziffer der Fläche, auf der das Tetraeder zu liegen kommt.

Erzielt der Spieler bei keinem Wurf die gesetzte Ziffer, ist der Einsatz verloren.

Erzielt der Spieler einmal die gesetzte Ziffer, erhält er den Einsatz zurück.

Erzielt der Spieler zweimal die gesetzte Ziffer, erhält er den doppelten Einsatz zurück.

Erzielt der Spieler dreimal die gesetzte Ziffer, erhält er den dreifachen Einsatz zurück.

Die Zufallsgröße \(G\) beschreibt den Gewinn eines Spielers pro Spiel in Euro.

a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(G\).

b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße \(G\) und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Der Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{x}\) und die Normale \(N\) im Punkt \(P(e|f(e))\) schließen im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie die Normale \(N\) und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\).

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\). Rechnen Sie mit exakten Werten.

Die Abbildung zeigt je einen Ausschnitt des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x + 2} - 2\) und des Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g \colon x \mapsto -\sqrt{4 - x} + 4\).

a) Beschreiben Sie schrittweise wie der Graph \(G_{f}\) und der Graph \(G_{g}\) jeweils aus dem Graphen der Funktion \(x \mapsto \sqrt{x}\) hervorgeht und bestimmen Sie jeweils die maximale Definitionsmenge der Funktionen \(f\) und \(g\) durch Rechnung.

Betrachtet wird die Strecke \([PQ]\) der Punkte \(P(x|f(x))\) und \(Q(x|g(x))\) mit derselben Abszisse.

b) Zeigen Sie, dass der Funktionsterm \(d(x) = -\sqrt{4 - x} -\sqrt{x + 2} + 6\) die Länge der Strecke \([PQ]\) in Abhängigkeit der \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) bzw. \(Q\) beschreibt, und geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(d\) an.

c) Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) bzw. \(Q\), für die die Länge der Strecke \([PQ]\) minimal ist.

Die Gerade \(x = -1\) und die Gerade \(x = 3\) schließen mit den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

d) Der Flächeninhalt \(A\) soll zunächst näherungsweise berechnet werden. Hierfür wird das Viereck \(SPQR\) betrachtet, welches die Punkte \(S(-1|f(-1))\), \(P(3|f(3))\), \(Q(3|g(3))\) und \(R(-1|g(-1))\) festlegen. Der Schnittpunkt der Strecken \([PR]\) und \([QS]\) halbiert die Strecken jeweils.

Zeichnen Sie das Viereck \(SPQR\) in die Abbildung ein und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines geeigneten Lösungsverfahrens, um \(A\) näherungsweise zu berechnen.

e) Berechnen Sie den exakten Wert des Flächeninhalts \(A\).

f) Betrachtet wird nun die Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{0}^{x} d(t) dt\).

Geben Sie an, welche der folgenden Terme die Maßzahl des Flächeninhalts \(A\) berechnen (Falsche Antworten zählen negativ).

Berechnen Sie den Anteil (in Prozent), den das Rechteck mit dem Flächeninhalt \(A\) am Inhalt des Flächenstücks einnimmt, das \(G_h\) mit der \(x\)-Achse vollständig einschließt.

(4 BE)

Berechnen Sie durch Integration mithilfe des Näherungswerts von \(a\) einen Näherungswert für den Inhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im ersten Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.

(5 BE)

 

(5 BE)

Der Graph von \(f\), die \(x\)-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen \(x = 10\) und \(x = s\) mit \(s > 10\) schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(s)\) ein. Bestimmen Sie \(A(s)\).

(Ergebnis: \(\displaystyle A(s) = 10 \cdot \ln{\frac{s^2 - 25}{75}}\))

(5 BE)

\(G_{f}\) und die \(x\)-Achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade \(g\) in zwei Teilflächen zerlegt wird. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen. 

(6 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\).

Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{3}^{5} f(x) \,dx\).

(2 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\).

Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{3}^{5} f(x) \,dx\).

(2 BE)

Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ \(k \colon x \mapsto 5 \cdot \cos(c \cdot x)\) mit \(c \in \mathbb R\) und Definitionsbereich \(D_{k} = [-5;5]\), bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist.

Bestimmen Sie \(c\) so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittfläche des Tunnels.

(zur Kontrolle: \(c = \frac{\pi}{10}\), Inhalt der Querschnittfläche: \(\frac{100}{\pi}\) m²)

(5 BE)

Der Graph von \(f\) schließt mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein, das durch das Dreieck mit den Eckpunkten \(O(0|0)\), \(P(\ln 2|0)\) und \(Q(0|2)\) angenähert werden kann. Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Flächeninhalt des Dreiecks \(OPQ\) vom Inhalt des Flächenstücks abweicht.

(4 BE)

Betrachtet wird nun die Integralfunktion \(F_{0}\) mit \(F_{0}(x) = \displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt\) und \(x \in \mathbb R\).

Begründen Sie, dass \(F_{0}\) mit der betrachteten Stammfunktion \(F\) von \(f\) übereinstimmt. Interpretieren Sie geometrisch den Wert \(F_{0}(2) \approx 0{,}234\) mithilfe von in Abbildung 1 geeignet zu markierenden Flächenstücken.

(4 BE)