Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) erzeugt eine reelle Zahl (Skalar: Maßzahl mit Maßeinheit).
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Sind die Koordinaten zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) gegeben, lässt sich das Skalarprodukt der beiden Vektoren als die Summe der Produkte der einzelnen Vektorkoordinaten berechnen.
Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]
Anwendungen des Skalarprodukts
Mithilfe des Skalarprodukts lässt sich der Winkel zwischen zwei Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) berechnen.
Winkel zwischen zwei Vektoren (vgl. Merkhilfe)
\[\cos{\varphi} = \frac{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}}{\vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Eine weitere Anwendung ist das Prüfen, ob zwei Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) senkrecht zueinander sind.
Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = 0 \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}, \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]
Auch kann der Betrag (die Länge) eines Vektors \(\overrightarrow{a}\) sowie dessen Einheitsvektor \(\overrightarrow{a}^{0}\) mithilfe des Skalarprodukts formuliert werden (vgl. 2.1.1 Rechnen mit Vektoren).
Betrag eines Vektors
\[\vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}\]
Einheitsvektor
\[\overrightarrow{a}^{0} = \frac{\overrightarrow{a}}{\vert \overrightarrow{a} \vert} = \frac{\overrightarrow{a}}{\sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}}}\]
(vg. Merkhilfe)
Beispielaufgabe
Die Punkte \(A(8|2|0)\), \(B(4|7|6)\), \(C(0|4|6)\) und \(D(0|0|3)\) legen das Viereck \(ABCD\) fest.
Zeichnen Sie das Viereck \(ABCD\) in ein Koordinatensystem (vgl. Abbildung). Bestätigen Sie rechnerisch, dass das Viereck \(ABCD\) ein Drachenviereck ist.
Zeichnung des Vierecks \(ABCD\)
![Viereck ABCD Viereck ABCD](/images/stories/abi_check/geometrie/Vektoren_SkalProd_Bsp2.png)
Viereck \(ABCD\): Die Zeichnung lässt erkennen, dass die Strecke \([AC]\) die Symmetrieachse des Drachenvierecks ist.
Nachweis, dass das Viereck \(ABCD\) ein Drachenviereck ist
![Drachenviereck ABCD, Diagonalen [AC] und [BD], Innenwinkel Drachenviereck ABCD, Diagonalen [AC] und [BD], Innenwinkel](/images/stories/abi_check/geometrie/Vektoren_SkalProd_Bsp.png)
Das Viereck \(ABCD\) ist ein Drachenviereck, wenn die Strecken \([AC]\) und \([BD]\) (Diagonalen des Drachenvierecks) senkrecht zueinander stehen und wenn die beiden bezgl. der Symmetrieachse \([AC]\) gegenüberliegenden Innenwinkel \(\beta\) und \(\delta\) gleich groß sind, sowie die beiden Innenwinkel \(\alpha\) und \(\gamma\) ungleich groß sind.
Nachweis der Ortogonalität der Strecken \([AC]\) und \([BD]\):
Mithilfe des Skalarprodukts weist man nach, dass die Vektoren \(\overrightarrow{AC}\) und \(\overrightarrow{BD}\) senkrecht zueinander sind.
\[\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{BD} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{AC} \circ \overrightarrow{BD}\]
Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AC}\) und \(\overrightarrow{BD}\) berechnen:
\(A(8|2|0)\), \(B(4|7|6)\), \(C(0|4|6)\), \(D(0|0|3)\)
\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -7 \\ -3 \end{pmatrix}\]
Skalarprodukt anwenden:
\[\begin{align*}\overrightarrow{AC} \circ \overrightarrow{BD} &= \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -4 \\ -7 \\ -3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= (-8) \cdot (-4) + 2 \cdot (-7) + 6 \cdot (-3) \\[0.8em] &= 32 - 14 - 18 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{BD} \quad \Longrightarrow \quad [AC] \perp [BD]\]
Nachweis der Innenwinkel Beziehungen \(\beta = \delta\) und \(\alpha \neq \gamma\)
![Drachenviereck ABCD, Diagonalen [AC] und [BD], Innenwinkel Drachenviereck ABCD, Diagonalen [AC] und [BD], Innenwinkel](/images/stories/abi_check/geometrie/Vektoren_SkalProd_Bsp.png)
Man berechnet beispielsweise die Größe der Winkel \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) mithilfe des Skalarprodukts und die Größe des Winkels \(\delta\) über die Innenwinkelsumme.
\[\cos{\alpha} = \dfrac{\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB}}{\vert \overrightarrow{AD} \vert \cdot \vert \overrightarrow{AB} \vert}\]
\[\cos{\beta} = \dfrac{\overrightarrow{BA} \circ \overrightarrow{BC}}{\vert \overrightarrow{BA} \vert \cdot \vert \overrightarrow{BC} \vert}\]
\[\cos{\gamma} = \dfrac{\overrightarrow{CB} \circ \overrightarrow{CD}}{\vert \overrightarrow{CB} \vert \cdot \vert \overrightarrow{CD} \vert}\]
Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CB}\) und \(\overrightarrow{CD}\) berechnen:
\(A(8|2|0)\), \(B(4|7|6)\), \(C(0|4|6)\), \(D(0|0|3)\)
\[\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix}\]
Innenwinkel \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) und \(\delta\) berechnen:
\[\begin{align*}\cos{\alpha} &= \frac{\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB}}{\vert \overrightarrow{AD} \vert \cdot \vert \overrightarrow{AB} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\begin{pmatrix} -8 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}}{\left| \begin{pmatrix} -8 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{(-8) \cdot (-4) + (-2) \cdot 5 + 3 \cdot 6}{\sqrt{(-8)^{2} + (-2)^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{(-4)^{2} + 5^{2} + 6^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{40}{\sqrt{77} \cdot \sqrt{77}} \\[0.8em] &= \frac{40}{77} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \alpha \approx 58{,}7^{\circ}\]
\[\begin{align*}\cos{\beta} &= \frac{\overrightarrow{BA} \circ \overrightarrow{BC}}{\vert \overrightarrow{BA} \vert \cdot \vert \overrightarrow{BC} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}}{\left| \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{4 \cdot (-4) + (-5) \cdot (-3) + (-6) \cdot 0}{\sqrt{4^{2} + (-5)^{2} + (-6)^{2}} \cdot \sqrt{(-4)^{2} + (-3)^{2} + 0^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{-1}{\sqrt{77} \cdot 5} \\[0.8em] &\approx -0{,}02279... \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \beta \approx 91{,}3^{\circ}\]
\[\begin{align*}\cos{\gamma} &= \frac{\overrightarrow{CB} \circ \overrightarrow{CD}}{\vert \overrightarrow{CB} \vert \cdot \vert \overrightarrow{CD} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix}}{\left| \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{4 \cdot 0 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot (-3)}{\sqrt{4^{2} + 3^{2} + 0^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + (-4)^{2} + (-3)^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{-12}{5 \cdot 5} \\[0.8em] &= -\frac{12}{25} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \gamma \approx 118{,}7^{\circ}\]
\[\begin{align*}\delta &= 360^{\circ} - (\alpha + \beta + \gamma) \\[0.8em] &= 360^{\circ} - (58{,}7^{\circ} + 91{,}3^{\circ} + 118{,}7^{\circ}) \\[0.8em] &= 360^{\circ} - 268{,}7^{\circ} \\[0.8em] &= 91{,}3^{\circ} \end{align*}\]
Schlussfolgerung:
\[\left. \begin{align*} &[AC] \perp [BD] \\[0.8em] &\beta = \delta \\[0.8em] &\alpha \neq \gamma \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Drachenviereck}\; ABCD\]