Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle b\,\colon x \mapsto \frac{\ln x}{x - 2}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).
Geben Sie \(D\) an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(b\) im Punkt \(\big(1|b(1)\big)\).
(6 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2
Definitionsbereich \(D\)
Maximale Definitionsmenge bestimmen
Gebrochenrationale Funktion / Quotient von Funktionen
\[x \mapsto \dfrac{Zähler(x)}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{Nenner(x)}_{\Large{\neq \, 0}}}}\]
Nullstelle(n) des Nenners ausschließen!
Wurzelfunktion
\[x \mapsto \sqrt{\mathstrut\smash{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{\geq\,0}}}}} \\ {}\]
Der Wert des Terms unter der Wurzel (Radikand ) darf nicht negativ sein!
(natürliche) Logarithmusfunktion
\(x \mapsto \ln{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\) bzw. \(x \mapsto \log_{a}{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\)
Die (Natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\textcolor{#e9b509}{\mathbb R^{+}}\) definiert!
\[b(x) = \frac{\ln x}{x - 2}\]
Betrachtung des Zählerterms \(\ln x\):
Die (Natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\mathbb R^+\) definiert.
Nullstelle des Nennerterms:
\[ \begin{align*} x - 2 &= 0 &{} &| +2 \\[0.8em] x &= 2 \end{align*} \]
\(\Longrightarrow \quad x = 2\) ist Polstelle der Funktion \(b\).
\[ \Longrightarrow \quad D = \mathbb R^+ \backslash \{2\} \]
Gleichung der Tangente an den Graphen von \(b\) im Punkt \(\big(1|b(1)\big)\)
1. Lösungsansatz: Tangentengleichung
Gleichung einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\;(x_0|f(x_0)) \):
\[y = f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0})\]
\[T\,\colon\, y = b'(x_{0}) \cdot (x - x_0) + b(x_0)\]
\[x_0 = 1\]
Erste Ableitung \(b'\) bilden:
Quotientenregel
\[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]
Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion
\[f(x) = \ln x \enspace (x > 0) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x}\]
(vgl. Merrkhilfe)
\[\begin{align*}b(x) = \frac{\ln x}{x - 2} \quad \Longrightarrow \quad b'(x) &= \frac{\frac{1}{x} \cdot (x - 2) - \ln x \cdot 1}{(x -2)^2} \\[0.8em] &= \frac{\frac{x - 2}{x} - \ln x}{(x - 2)^2} \end{align*}\]
\(b'(1)\) und \(b(1)\) berechnen:
\[b'(1) = \frac{\frac{1 - 2}{1} - \ln 1}{(1 - 2)^2} = -1\]
\[b(1) = \frac{\ln 1}{1 - 2} = 0\]
\(x_0 = 1\), \(b'(1) = -1\) und \(b(1) = 0\) in die Tangentengleichung einsetzen:
\[\begin{align*} y &= b'(x_{0}) \cdot (x - x_0) + b(x_0) \\[0.8em] &= (-1) \cdot (x - 1) + 0 \\[0.8em] &= -x + 1\end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + 1\]
2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[T\,\colon\, y = m_{T} \cdot x + t\,; \quad P\,(1|b(1))\]
\[b(1) = \frac {\ln 1}{1 - 2} = 0 \quad \Longrightarrow \quad P\,(1|0)\]
Tangentensteigung bestimmen:
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[m_{T} = b'(1)\]
Erste Ableitung \(b'\) bilden:
Quotientenregel
\[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]
Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion
\[f(x) = \ln x \enspace (x > 0) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x}\]
(vgl. Merrkhilfe)
\[\begin{align*}b(x) = \frac{\ln x}{x - 2} \quad \Longrightarrow \quad b'(x) &= \frac{\frac{1}{x} \cdot (x - 2) - \ln x \cdot 1}{(x -2)^2} \\[0.8em] &= \frac{\frac{x - 2}{x} - \ln x}{(x - 2)^2} \end{align*}\]
\[b'(1) = \frac{\frac{1 - 2}{1} - \ln 1}{(1 - 2)^2} = -1\]
\[\Longrightarrow \quad m_{T} = -1\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + t\]
\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:
\[\begin{align*}P\,(1|0) \in T\,\colon & & y &= -x + t \\[0.8em] & & 0 &= -1 + t & &| + 1 \\[0.8em] & & 1 &= t\end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + 1\]
Tangente \(T\) an den Graphen von \(b\) im Punkt \(P\,(1|0)\)
