Abiturlösungen Mathematik Bayern 2019

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Betrachtet wird eine Schar von Funktionen \(h_{k}\) mit \(k \in \mathbb R^{+}\), die sich nur in ihren jeweiligen Definitionsbereichen \(D_{k}\) unterscheiden.

Es gilt \(h_{k} \colon x \mapsto \cos{x}\) mit \(D_{k} = [0;k]\).

Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion \(h_{7}\). Geben Sie den größtmöglichen Wert von \(k\) an, sodass die zugehörige Funktion \(h_{k}\) umkehrbar ist. Zeichnen Sie für diesen Wert von \(k\) den Graphen der Umkehrfunktion von \(h_{k}\) in Abbildung 4 ein und berücksichtigen Sie dabei insbesondere den Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion.

Abbildung 4 Aufgabe 4 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 A

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4a

 

\[k_{max} = \pi\]

Kriterien für die Umkehrbarkeit einer Funktion

Kriterien für die Umkehrbarkeit einer Funktion

Eine Funktion \(f\,\colon\,\mapsto f(x)\) mit der Definitionsmenge \(D_{f}\) und der Wertemenge \(W_{f}\) heißt umkehrbar, falls es zu jedem \(y \in W_{f}\) genau ein \(x \in D_{f}\) mit \(f(x) = y\) gibt.

Ist eine Funktion auf Ihrer Definitionsmenge oder einer Teilmenge streng monoton (steigend oder fallend), so ist sie dort umkehrbar.

Begründung (nicht verlangt)

Es gilt \(\cos{\pi} = -1\). Die Funktion \(h_{\pi}(x) = \cos{x}\) mit \(D_{\pi} = [0;\pi]\) ist streng monoton fallend und deshalb umkehrbar.

Graphische Begründung:

Jede zur \(x\)-Achse parallele Gerade mit der Gleichung \(y = c; \; c \in [-1;1]\) schneidet den Graphen der Funktion \(h_{\pi}(x) = \cos{x}\) mit \(D_{\pi} = [0;\pi]\) genau einmal. Somit gibt es zu jedem Wert der Wertemenge von \(h_{\pi}\) genau einen Wert der Definitionsmenge von \(h_{\pi}\) und die Funktion \(h_{\pi}\) ist folglich umkehrbar.

 

Zeichnung der Umkehrfunktion von \(h_{\pi}\)

Umkehrfunktion

Umkehrfunktion \(\boldsymbol{f^{-1}}\) einer Funktion \(\boldsymbol{f}\)

Bestimmung des Funktionsterms \(\boldsymbol{f^{-1}(x)}\)

1. Funktionsgleichung \(\,y = f(x)\,\) nach \(\,x\,\) auflösen

2. Variablen tauschen: \(\;x \longleftrightarrow y \quad \Longrightarrow \quad y = f^{-1}(x)\)

Es gilt: \(\;D_{f^{-1}} = W_f\;\) und \(\; W_{f^{-1}} = D_f\)

Graph der Umkehrfunktion

Die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion sind zueinander symmetrisch bzgl. der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung \(y = x\).

Zeichnung der Umkehrfunktion von hπ(x) = cos x mit Dπ = [0;π]

Der Graph \(\textcolor{#cc071e}{G_{h_{\pi}^{-1}}}\) der Umkehrfunktion von \(\textcolor{#0087c1}{h_{\pi}}\) entsteht durch Spiegelung des Graphen \(\textcolor{#0087c1}{G_{h_{\pi}}}\) an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung \(y = x\). Dabei ist der Schnittpunkt von \(\textcolor{#0087c1}{G_{h_{\pi}}}\) mit der Winkelhalbierenden Fixpunkt der Spiegelung, sodass sich die Graphen \(\textcolor{#cc071e}{G_{h_{\pi}^{-1}}}\) und \(\textcolor{#0087c1}{G_{h_{\pi}}}\) auf der Winkelhalbierenden schneiden.

2.4.4 Abstand Punkt - Ebene

2.4.4 Abstand Punkt - Ebene
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