Berechnen Sie die Größe des Steigungswinkels der Flugbahn von \(F_1\) gegen die Horizontale.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Der Steigungswinkel der Flugbahn von \(F_1\) gegen die Horizontale entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen der Geraden \(g_1\) und der \(x_1x_2\)-Ebene.

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

Schnittwinkel \(\boldsymbol{\alpha}\) zwischen Gerade und Ebene

Für \(0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ}\) und \(0^{\circ} \leq \beta \leq 90^{\circ}\) gilt:

\[\begin{align*} \cos \beta &= \frac{\vert \overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{n}_{E} \vert}{\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{E} \vert} \enspace \Rightarrow \enspace \beta = \cos^{-1}(\dots) \\[0.8em] \alpha &= 90^{\circ} - \beta \end{align*}\]

\[\sin \alpha = \frac{\vert \overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{n}_{E} \vert}{\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{E} \vert} \enspace \Rightarrow \enspace \alpha = \sin^{-1}(\dots)\]

Veranschaulichung: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

\[g_{1}\,\colon\, \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\,, \enspace \lambda \in \mathbb R\]

Richtungsvektor der Geraden \(g_1\): \(\overrightarrow u_{g_1} = \begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix} \)

Ebenengleichung in Normalenform

Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)

Jeden Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:

Normalenform in Vektordarstellung

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]

Veranschaulichung: Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung

Normalenform in Koordinatendarstellung

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)

\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)

\[x_{1}x_{2}\text{-Ebene}\,\colon\,x_{3} = 0\]

Normalenvektor der \(x_1x_2\)-Ebene: \(\overrightarrow n_{x_1x_2} = \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} \)

 

Schnittwinkel \(\alpha\) berechnen:

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

Skalarprodukt

Skalarprodukt

Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]

\[\begin{align*}\sin \alpha &= \frac{\vert \overrightarrow u_{g_1} \circ \overrightarrow n_{x_1x_2} \vert}{\vert \overrightarrow u_{g_1} \vert \cdot \vert \overrightarrow n_{x_1x_2} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\left|\begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} \right|}{\left| \begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix} \right| \cdot \left| \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert 5 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \vert}{\sqrt{5^2 + 5^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} \\[0.8em] &= \frac{1}{\sqrt{51}}\end{align*}\]

 

\[\alpha = \sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{51}} \right) \approx 8{,}0^{\circ}\]

 

Der Steigungswinkel der Flugbahn von \(F_1\) gegen die Horizontale beträgt ca. 8,0°.