Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_f\), der \(x\)-Achse und der Strecke \([PQ_E]\) begrenzt wird.
(6 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1e
Der Inhalt des Flächenstücks \(A\), das von \(G_f\), der \(x\)-Achse und der Strecke \([PQ_E]\) begrenzt wird, ist die Summe der Flächeninhalte
- \(A_1\): Flächenstück, das \(G_f\) mit der \(x\)-Achse und der Geraden \(x = 1\) begrenzt und
- \(A_2\): Dreieck, das die Strecke \([PQ_E]\) mit der \(x\)-Achse und der Geraden \(x = 1\) bildet.
\[A = A_1 + A_2 = \int_{-3}^{1} f(x) \, dx + \frac{1}{2} \cdot (x_P - x_{Q_E}) \cdot y_{Q_E}\]
Flächeninhaltsberechnung durch Integration
\[A_1 = \int_{-3}^{1} f(x)~dx\]
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
Stammfunktion \(F(x)\) von \(f(x)\):
Stammfunktion einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad F(x) = \frac{1}{r + 1} \cdot x^{r + 1} + C\]
\[r \neq -1\]
\[\begin {align*} f(x) = \sqrt{x + 3} = (x + 3)^{\frac{1}{2}} \quad \Longrightarrow \quad F(x) &= \frac{1}{\frac{3}{2}} \cdot (x + 3)^{\frac{3}{2}} + C \\[0.8em] &= \frac{2}{3}(x + 3)^{\frac{3}{2}} + C \end {align*}\]
Flächeninhalt \(A_1\) berechnen:
\[ \begin{align*} A_1 &= \int_{-3}^{1} f(x)\;dx \\[0.8em] &= \int_{-3}^{1} \sqrt{x + 3}\;dx \\[0.8em] &= \left [ \frac{2}{3} (x + 3)^{\frac{3}{2}}\right ]_{-3}^{1} \\[0.8em] &= \frac{2}{3} (1 + 3)^{\frac{3}{2}} - \left [ \frac{2}{3} (-3 + 3)^{\frac{3}{2}}\right ] \\[0.8em] &= \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} \\[0.8em] &= 5 \frac{1}{3} \end{align*} \]
Flächeninhalt \(A_2\) berechnen:
\[A_2 = \frac{1}{2} \cdot (x_P - x_{Q_E}) \cdot y_{Q_E} = \frac{1}{2}\cdot (1{,}5 - 1) \cdot 2 = \frac{1}{2}\]
\[\Longrightarrow \quad A = A_1 + A_2 = 5\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 5\frac{5}{6} \approx 5{,}83\]
Der Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_f\), der \(x\)-Achse und der Strecke \([PQ_E]\) begrenzt wird, beträgt ca. \(5{,}83\) FE (Flächeneinheiten).
