Berechnen Sie die Größe \(\varphi\) des Winkels, unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet. Geben Sie einen Term an, mit dem aus \(\varphi\) die Größe des Winkels zwischen den Ebenen \(E\) und \(F\) berechnet werden kann.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe d

 

Größe \(\varphi\) des Winkels, unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet

 

Schnittwinkel 𝜑 zwischen der Ebene E und der x₁x₂-Ebene 

Der Schnittwinkel der Ebene \(\textcolor{#cc071e}{E}\) und der \(\textcolor{#0087c1}{x_1x_2}\)-Ebene ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen (Skizze schematisch, nicht verlangt).

\(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}_{x_1x_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}\) ist ein Normalenvektor der \(\textcolor{#0087c1}{x_1x_2}\)-Ebene.

\(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 14 \\ 14 \\ 11 \end{pmatrix}}\) ist ein Normalenvektor der Ebene \(\textcolor{#cc071e}{E}\) (vgl. Teilaufgabe c).

Schnittwinkel zweier Ebenen

Schnittwinkel \(\boldsymbol{\alpha}\) zweier Ebenen

\[E_1\colon \enspace \overrightarrow{n}_1 \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{A} \right) = 0\]

\[E_2\colon \enspace \overrightarrow{n}_2 \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{B} \right) = 0\]

\[\cos \alpha = \frac{\vert \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2 \vert}{\vert \overrightarrow{n}_1 \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_2 \vert} \enspace \Rightarrow \enspace \alpha = \cos^{-1}(\dots)\]

\[(0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ})\]

Schnittwinkel zweier Ebenen

\[\begin{align*} \cos{\varphi} &= \frac{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{n}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}_{x_1x_2}} \vert}{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{n}} \vert \cdot \vert \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}_{x_1x_2}} \vert} = \frac{\left| \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 14 \\ 14 \\ 11 \end{pmatrix}} \circ \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}} \right|}{\left| \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 14 \\ 14 \\ 11 \end{pmatrix}} \right| \cdot \left| \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert \textcolor{#cc071e}{14} \cdot \textcolor{#0087c1}{0} + \textcolor{#cc071e}{14} \cdot \textcolor{#0087c1}{0} + \textcolor{#cc071e}{11} \cdot \textcolor{#0087c1}{1} \vert}{\sqrt{\textcolor{#cc071e}{14}^2 + \textcolor{#cc071e}{14}^2 + \textcolor{#cc071e}{11}^2} \cdot \sqrt{\textcolor{#0087c1}{0}^2 + \textcolor{#0087c1}{0}^2 + \textcolor{#0087c1}{1}^2}} \\[0.8em] &= \frac{11}{\sqrt{513}} &&| \; \text{TR:}\; \cos^{-1}(\dots) \\[2.4em] \varphi &= \cos^{-1}\left( \frac{11}{\sqrt{513}} \right) \approx 60{,}9^{\circ}\end{align*}\]

 

Term, mit dem aus \(\varphi\) die Größe des Winkels zwischen den Ebenen \(E\) und \(F\) berechnet werden kann

 

\[180^{\circ} - 2\varphi\]

 

Begründung (nicht verlangt)

Abbildung 2 Geometrie 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022

Die Ebene E und die Ebene F bilden zusammen mit der x₁x₂-Ebene ein gleichschenkliges Dreieck

Der Schnittpunkt der Ebenen E und F mit der x₃-Achse bildet zusammen mit der Basis [AD] ein gleichschenkliges (Stütz)Dreieck

Da sowohl die Ebene \(\textcolor{#cc071e}{E}\) als auch die Ebene \(\textcolor{#e9b509}{F}\) die Punkte \(B\) und \(C\) enthält, ist die Gerade \(BC\) die Schnittgerade beider Ebenen. Die Punkte \(A\) und \(D\) liegen ebenso wie die Punkte \(B\) und \(C\) symmetrisch bezüglich der \(x_3\)-Achse (vgl. Teilaufgabe a).

Damit bildet der Schnittpunkt der Ebenen mit der \(x_3\)-Achse zusammen mit der Basis \([AD]\) ein gleichschenkliges (Stütz)Dreieck mit dem Basiswinkel \(\varphi\).

Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt \(180^{\circ}\). Somit ist \(180^{\circ} - 2\varphi\) ein Term für die Berechnung der Größe des Winkels zwischen den Ebenen \(E\) und \(F\).