Erstellen Sie zu der beschriebenen Situation ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm oder eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe b
Ereignisse:
\(A\): „Ein zufällig ausgewählter Angestellter gilt als aufgeschlossen"
\(R\): „Ein zufällig ausgewählter Angestellter hat eine nach rechts geneigte Handschrift"
Analyse der Angabe:
„In einem Unternehmen mit 50 Angestellten gelten 35 als aufgeschlossen."
\( \Longrightarrow \quad P(A) = \frac {35}{50} = 0{,}7\)
„40 % der als aufgeschlossen geltenden Angestellten haben eine Handschrift, die nicht nach rechts geneigt ist."
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.
Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)
(vgl. Merkhilfe)
\(\Longrightarrow \quad P_A(\overline R) = 0{,}4\)
„Sechs Angestellte, die nicht als aufgeschlossen gelten, haben eine nach rechts geneigte Handschrift."
\(\Longrightarrow \quad P(\overline A \cap R) = \frac{6}{50} = 0{,}12\)
Baumdiagramm
Wahrscheinlichkeiten der Gegenereignisse berechnen (Knotenregel anwenden):
Pfadregeln
Verzweigungsregel (Knotenregel)
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins.
1. Pfadregel (Produktregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.
2. Pfadregel (Summenregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören.
\[P(\overline A) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\]
\[P_A(R) = 1 - P_A(\overline R) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\]
Bedingte Wahrscheinlichkeiten der zweiten Pfade berechnen:
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.
Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[P_{\overline A}(R) = \frac{P(\overline A \cap R)}{P(R)} = \frac{0{,}12}{0{,}3} = 0{,}4\]
\[P_{\overline A}(\overline R) = 1 - P_{\overline A}(R) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\]
Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen berechnen (1. Pfadregel anwenden):
Pfadregeln
Verzweigungsregel (Knotenregel)
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins.
1. Pfadregel (Produktregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.
2. Pfadregel (Summenregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören.
\[P(A \cap R) = P_A(R) \cdot P(A) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}42\]
\[P(A \cap \overline R) = P_A(\overline R) \cdot P(A) = 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}28\]
\[P(\overline A \cap \overline R) = P_{\overline A}(\overline R) \cdot P(\overline A) = 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18\]
Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse \(R\) und \(\overline{R}\) berechnen (2. Pfadregel anwenden):
Pfadregeln
Verzweigungsregel (Knotenregel)
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins.
1. Pfadregel (Produktregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.
2. Pfadregel (Summenregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören.
\[P(R) = P(A \cap R) + P(\overline A \cap R) = 0{,}42 + 0{,}12 = 0{,}54\]
\[P(\overline R) = 1 - P(R) = 1 - 0{,}54 = 0{,}46\]
Vierfeldertafel
Gegeben: \(P(A) = \frac {35}{50} = 0{,}7\)
\[P(\overline A) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\]
| \(R\) | \(\overline R\) | ||
| \(A\) | \(P(A) = 0{,}7\) | ||
| \(\overline A\) | \(P(\overline A) = 0{,}3\) | ||
| \(1\) |
Gegeben: \(P(\overline A \cap R) = \frac{6}{50} = 0{,}12\)
\[P(\overline A \cap \overline R) = P(\overline A) - P(\overline A \cap R) = 0{,}3 - 0{,}12 = 0{,}18\]
| \(R\) | \(\overline R\) | ||
| \(A\) | \(P(A) = 0{,}7\) | ||
| \(\overline A\) | \(P(\overline A \cap R) = 0{,}12\) | \(P(\overline A \cap \overline R) = 0{,}18\) | \(P(\overline A) = 0{,}3\) |
| \(1\) |
Gegeben: \(P_A(\overline R) = 0{,}4\)
\[P_A(\overline R) = \frac{P(A \cap \overline R)}{P(A)} \Longleftrightarrow P(A \cap \overline R) = P_A(\overline R) \cdot P(A) = 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}28\]
\[P(A \cap R) = P(A) - P(A \cap \overline R) = 0{,}7 - 0{,}28 = 0{,}42\]
\[P(R) = P(A \cap R) + P(\overline A \cap R) = 0{,}42 + 0{,}12 = 0{,}54\]
\[P(\overline R) = 1 - P(R) = 1 - 0{,}54 = 0{,}46\]
| \(R\) | \(\overline R\) | ||
| \(A\) | \(P(A \cap R) = 0{,}42\) | \(P(A \cap \overline R) = 0{,}28\) | \(P(A) = 0{,}7\) |
| \(\overline A\) | \(P(\overline A \cap R) = 0{,}12\) | \(P(\overline A \cap \overline R) = 0{,}18\) | \(P(\overline A) = 0{,}3\) |
| \(P(R) = 0{,}54\) | \(P(\overline R) = 0{,}46\) | \(1\) |
