Mathematik Abiturvorbereitung Bayern

Ausführliche Lösungswege und verständliche Erklärungen

Baumdiagramm

  • Aufgabe 1

    Abbildung Aufgabe 1 Klausur Q12/1-003 A1, Graphen der Funktionen f und g

    Gegeben sind die Funktionen \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{3} - 4x\) und \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{2} - x\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g\).

    a) Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\) der von den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) begrenzten Fläche.

    b) Geben Sie ohne weitere Rechnung den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-4}^{+4} f(x) dx\) an und veranschaulichen Sie Ihr Ergebnis in der Abbildung durch geeignete Eintragungen.

     

    Aufgabe 2

    Geben ist die Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{1}^{x} \ln{(3t - 2)} dt\).

    a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich der Integralfunktion \(I\) an.

    b) Berechnen Sie eine integralfreie Darstellung der Integralfunktion \(I\). Vereinfachen Sie soweit wie möglich.

     

    Aufgabe 3

    Die Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion \(f\) ergibt folgende Gleichungen:

    \(f'(2) = 0; \; f''(2) = 0\)

    a) Entscheiden Sie, welche der drei Aussagen richtig ist und begründen Sie Ihre Wahl.

    (I) An der Stelle \(x = 2\) hat der Graph der Funktion \(f\) einen Extrempunkt.

    (II) An der Stelle \(x = 2\) hat der Graph der Funktion \(f\) einen Terrassenpunkt.

    (III) An der Stelle \(x = 2\) hat der Graph der Funktion \(f\) einen Extrem- oder Terrassenpunkt.

    b) Bestimmen Sie einen möglichen Funktionsterm \(f(x)\), sodass der Graph der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) einen Terrassenpunkt besitzt.

     

    Aufgabe 4

    In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, darunter 12 weiße Kugeln und 8 rote Kugeln. Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.

    Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der entnommenen roten Kugeln.

    a) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm.

    b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) und geben Sie diese tabellarisch an.

    c) Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsgröße \(X\).

    d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße \(X\) einen Wert annimmt, der höchstens um die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.

     

    Aufgabe 5

    Ein Glücksrad ist in zwei Sektoren unterteilt. Ein Sektor ist mit einer Eins und der andere Sektor mit einer Zwei beschriftet (vgl. Abbildung). Für ein Spiel wird das Glücksrad solange gedreht, bis zum ersten mal die Eins erscheint, jedoch höchstens dreimal. Erscheint die Eins bei der ersten Drehung, erhält der Spieler 5 €, erscheint die Eins bei der zweiten Drehung, erhält er 1 €..

    Abbildung Klausur Q12/1-003 Aufgabe 4, Glücksrad

    a) Berechnen Sie den Einsatz des Spiels, sodass das Spiel „fair" ist.

    b) Der Einsatz des Spiels beträgt nun 1 €. Wie sind die Öffnungswinkel der Sektoren des Glücksrads zu wählen, damit das Spiel „fair" ist?

  • In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, darunter 12 weiße Kugeln und 8 rote Kugeln. Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.

    Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der entnommenen roten Kugeln.

    a) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm.

    b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) und geben Sie diese tabellarisch an.

    c) Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsgröße \(X\).

    d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße \(X\) einen Wert annimmt, der höchstens um die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.

  • Aufgabe 1

    Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie jeweils die Nullstelle(n). Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie soweit wie möglich.

    a) \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\)

    b) \(g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\)

    c) \(h(x) = x^{3} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}\)

     

    Aufgabe 2

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{\left( -\dfrac{3}{x} \right)}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_{f}\).

    b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass \(G_{f}\) in \(D_{f}\) linksgekrümmt ist.

     

    Aufgabe 3

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto 2\sqrt{6 - x}\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f} = [0;6]\). Der Punkt \(P(x|f(x))\), der Lotfußpunkt \(L(x|0)\) des Lotes von \(P\) auf die \(x\)-Achse und der Koordinatenursprung \(O\) legen das Dreieck \(OLP\) fest.

    Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \(P\), sodass der Flächeninhalt \(A\) des Dreiecks \(OLP\) maximal ist.

    Abbildung zu Klausur Q11/2-004 Aufgabe 3

     

    Aufgabe 4

    Gegeben sind die Kugel \(K_{1}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{1}(-3|5|8)\) und dem Radius \(r_{1} = 3\) sowie die Kugel \(K_{2}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{2}(7|-5|3)\) und dem Radius \(r_{2} = 7\).

    Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kugeln \(K_{1}\) und \(K_{2}\) und berechnen Sie ggf. den Abstand der beiden Kugeln.

     

    Aufgabe 5

    Bei der Herstellung wiederaufladbarer Batterien treten zwei Fehler auf.

    \(A\): Die Abmessung der Batterie weicht von der Typennorm ab.

    \(L\): Die Ladekapazität der Batterie liegt 20 % unter dem Sollwert.

    Laut Qualitätskontrolle weisen 15 % der Batterien den Fehler \(L\) auf und 5 % den Fehler \(A\). Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Fehler auftritt, wird mit 17 % angegeben.

    a) Beschreiben Sie folgende Ereignisse im Sachzusammenhang:

    α) \(\overline{\overline{A} \cap \overline{L}}\)

    β) \((A \cap \overline{L}) \cup (\overline{A} \cap L)\)

    b) Erstellen Sie eine den Sachverhalt beschreibende vollständig ausgefüllte Vierfeldertaffel.

    c) Zeigen Sie dass die Ereignisse \(A\) und \(L\) stochastisch abhängig sind.

    d) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm, beginnend mit dem Ereignis \(A\). Beschreiben Sie, woran sich die stochastische Abhängigkeit der Ereignisse \(A\) und \(L\) an diesem Baumdiagramm erkennen lässt.

  • Bei der Herstellung wiederaufladbarer Batterien treten zwei Fehler auf.

    \(A\): Die Abmessung der Batterie weicht von der Typennorm ab.

    \(L\): Die Ladekapazität der Batterie liegt 20 % unter dem Sollwert.

    Laut Qualitätskontrolle weisen 15 % der Batterien den Fehler \(L\) auf und 5 % den Fehler \(A\). Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Fehler auftritt, wird mit 17 % angegeben.

    a) Beschreiben Sie folgende Ereignisse im Sachzusammenhang:

    α) \(\overline{\overline{A} \cap \overline{L}}\)

    β) \((A \cap \overline{L}) \cup (\overline{A} \cap L)\)

    b) Erstellen Sie eine den Sachverhalt beschreibende vollständig ausgefüllte Vierfeldertaffel.

    c) Zeigen Sie dass die Ereignisse \(A\) und \(L\) stochastisch abhängig sind.

    d) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm, beginnend mit dem Ereignis \(A\). Beschreiben Sie, woran sich die stochastische Abhängigkeit der Ereignisse \(A\) und \(L\) an diesem Baumdiagramm erkennen lässt.

  • Ein Laplace-Tetraeder (dreiseitige Pyramide mit vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken) ist auf seinen vier Flächen mit je einer der Ziffern 1 bis 4 beschriftet. Es wird folgendes Spiel gespielt:

    Ein Spieler zahlt einen Einsatz in Höhe von 1 Euro. Dann setzt er auf eine der Ziffern 1, 2, 3 oder 4 und wirft das Tetraeder anschließend dreimal. Gewertet wird die Ziffer der Fläche, auf der das Tetraeder zu liegen kommt.

    Erzielt der Spieler bei keinem Wurf die gesetzte Ziffer, ist der Einsatz verloren.

    Erzielt der Spieler einmal die gesetzte Ziffer, erhält er den Einsatz zurück.

    Erzielt der Spieler zweimal die gesetzte Ziffer, erhält er den doppelten Einsatz zurück.

    Erzielt der Spieler dreimal die gesetzte Ziffer, erhält er den dreifachen Einsatz zurück.

    Die Zufallsgröße \(G\) beschreibt den Gewinn eines Spielers pro Spiel in Euro.

    a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(G\).

    b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße \(G\) und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

  • In einer Urne befinden sich eine gelbe und zwei blaue Kugeln. Es werden nacheinander drei Kugeln gezogen und deren Farbe notiert. Die gezogene Kugel wird jeweils zurückgelegt und zwei weitere Kugeln derselben Farbe in die Urne gegeben. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der gezogenen gelben Kugeln.

    a) Erstellen Sie ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm und geben Sie den Ergebnisraum an.

    b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P(X \geq 1)\).

    c) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit sich mithilfe des Terms \(1 - P(X = 3)\) berechnen lässt.

  • Von den im einleitenden Text angegebenen Zahlenwerten soll nur der Prozentsatz 40 % so geändert werden, dass die Ereignisse \(A\) und \(R\) unabhängig sind. Geben Sie den geänderten Wert an.

    (2 BE)

  • Begründen Sie, dass die Ereignisse \(A\) und \(R\) abhängig sind.

    (2 BE)

  • Erstellen Sie zu der beschriebenen Situation ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm oder eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.

    (4 BE)

  • Eine Kiste enthält vier blaue, zwei gelbe und drei rote Bausteine. Zwei Bausteine werden zufällig entnommen.

    Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Bausteine die gleiche Farbe haben, \(\frac{5}{18}\) beträgt.

    (3 BE)

  • Betrachtet wir das Ereignis \(E\): „Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder drei weiße Kugeln in Urne A." Untersuchen Sie, ob das Ereignis \(E\) eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat.

    (3 BE)

  • Betrachtet wir das Ereignis \(E\): „Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder drei weiße Kugeln in Urne A." Untersuchen Sie, ob das Ereignis \(E\) eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat.

    (3 BE)

  • Das Baumdiagramm gehört zu einem Zufallsexperiment mit den Ereignissen \(C\) und \(D\).

    Baumdiagramm zu Teilaufgabe 2

    Berechnen Sie \(P(\overline{D})\).

    (1 BE)

  • Von den im Baumdiagramm angegebenen Zahlenwerten soll nur der Wert \(\frac{\sf{1}}{\sf{10}}\) so geändert werden, dass die Ereignisse \(C\) und \(D\) unabhängig sind. Bestimmen Sie den geänderten Wert.

    (2 BE)

  • Der Marketingchef einer Handelskette plant eine Werbeaktion, bei der ein Kunde die Höhe des Rabatts bei seinem Einkauf durch zweimaliges Drehen an einem Glücksrad selbst bestimmen kann. Das Glücksrad hat zwei Sektoren, die mit den Zahlen 5 bzw. 2 beschriftet sind (vgl. Abbildung).

    Abbildung zu Teilaufgabe 1 Stichhaltig 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2015

     

    Der Rabatt in Prozent errechnet sich als Produkt der beiden Zahlen, die der Kunde bei zweimaligem Drehen am Glücksrad erzielt.

    Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Höhe dieses Rabatts in Prozent, kann also die Werte 4, 10 oder 25 annehmen. Die zahl 5 wird beim Drehen des Glücksrads mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) erzielt.

    Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass jeder Kunde genau einen Einkauf tätigt und auch tatsächlich am Glücksrad dreht.

    Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde bei seinem Einkauf einen Rabatt von 10 % erhält.

    (Ergebnis: \(2p - 2p^2\))

    (3 BE)

  • Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsgröße \(X\) gilt: \(E(X) = 9p^2 + 12p + 4\).

    (3 BE)

  • Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl \((Z)\) oder zum zweiten Mal Wappen \((W)\) oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt: \(\{ZZ; WW; ZWZ; ZWW; WZZ; WZW\}\).

    Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.

    (2 BE)

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2.3.1 Lagebeziehung von Geraden

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden
2.3.1 Lagebeziehung von Geraden