Abiturlösungen Mathematik Bayern 2014

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Begründen Sie, dass die Ereignisse „Eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person besitzt ein Fernsehgerät." und „Eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person ist ein Mädchen." abhängig sind.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Ereignisse:

\(F\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person besitzt ein Fernsehgerät."

\(M\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person ist ein Mädchen."

 

Stochastische Abhängigkeit/Unabhängigkeit

Stochastische Unabhängigkeit

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen stochastisch unabhängig, wenn

\(P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B)\) gilt. (vgl. Merkhilfe) *

Andernfalls heißen die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch abhängig.

Sind zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig, beeinflusst das Eintreten des Ereignisses \(A\) nicht das Eintreten des Ereignisses \(B\) und umgekehrt.

* Oder wenn

\(P(\overline{A}) \cdot P(B) = P(\overline{A} \cap B)\) bzw.

\(P(A) \cdot P(\overline{B}) = P(A \cap \overline{B})\) bzw.

\(P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B})\) gilt.

Die Ereignisse \(F\) und \(M\) sind abhängig, wenn gilt:

 

\[P(F \cap M) \neq P(F) \cdot P(M)\]

 

Wahrscheinlichkeiten \(P(F \cap M)\), \(P(F)\) und \(P(M)\) berechnen:

Die Tabelle und die Angabe informieren über die Anzahl der Mädchen bzw. der Jungen, die einen Fernseher besitzen und über die Anzahl der Jungen.

\[\vert F \cap M \vert = 54\]

\[\vert F \cap J \vert = 65\]

\[\vert J \vert = 102\]

\[\vert \Omega \vert = 200\]

 

\[P(F \cap M) = \frac{\vert F \cap M \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{54}{200} = 0{,}27\]

\[P(F) = \frac{\vert F \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\vert F \cap M \vert + \vert F \cap J \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{54 + 65}{200} = 0{,}595\]

\[P(M) = \frac{\vert M \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\vert \Omega \vert - \vert J \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{200 - 102}{200} = 0{,}49\]

 

Stochastische Abhängigkeit nachweisen:

 

\[P(F) \cdot P(M) = 0{,}595 \cdot 0{,}49 = 0{,}29155\]

\[P(F \cap M) = 0{,}27\]

 

\[\Longrightarrow \quad P(F \cap M) \neq P(F) \cdot P(M)\]

\(\Longrightarrow \quad\) Die Ereignisse \(F\) und \(M\) sind abhängig.

2.3.3 Lagebeziehung von Ebenen

2.3.3 Lagebeziehung von Ebenen
2.3.3 Lagebeziehung von Ebenen