Die Zufallsgröße \(X\) kann ausschließlich die Werte \(1\), \(4\), \(9\) und \(16\) annehmen. Bekannt sind \(P(X = 9) = 0{,}2\) und \(P(X = 16) = 0{,}1\) sowie der Erwartungswert \(E(X) = 5\). Bestimmen Sie mithilfe eines Ansatzes für den Erwartungswert die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 1)\) und \(P(X = 4)\).
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2
\[X = \{1; 4; 9; 16\}\]
\[P(X= 9) = 0{,}2; \; P(X = 16) = 0{,}1; \; E(X) = 5\]
Variablen für die gesuchten Wahrscheinlichkeiten \(P(X = 1)\) und \(P(X = 4)\) vergeben:
Es sei \(P(X = 1) = a\) und \(P(X = 4) = b\).
Damit ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):
| \(X = x_{i}\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) | \(16\) |
| \(P(X = x_{i})\) | \(a\) | \(b\) | \(0{,}2\) | \(0{,}1\) |
Es lassen sich zwei Bedingungen formulieren:
1. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Werte der Zufallsgröße \(X\) ist gleich Eins.
\[\begin{align*}a + b + 0{,}2 + 0{,}1 &= 1 \\[0.8em] a + b + 0{,}3 &= 1 &&| -0{,}3 \\[0.8em] a + b &= 0{,}7 && \text{(I)} \end{align*}\]
2. \(E(X) = 5\) (vgl. Angabe)
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i} \\[0.8em] &= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} \,+\, ... \,+\, x_{n} \cdot p_{n} \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(X\) gibt den Mittelwert der Zufallsgröße an, der bei oftmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.
\[\begin{align*}E(X) = 1 \cdot a + 4 \cdot b + 9 \cdot 0{,}2 + 16 \cdot 0{,}1 &= 5 \\[0.8em] a + 4b + 1{,}8 + 1{,}6 &= 5 \\[0.8em] a + 4b + 3{,}4 &= 5 &&| -3{,}4 \\[0.8em] a + 4b &= 1{,}6 && \text{(II)} \end{align*}\]
Lineares Gleichungssystem lösen:
\[\begin{align*} \text{I} & & & a + \enspace b = 0{,}7 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & a + 4b = 1{,}6 \end{align*}\]
Es bitte sich das Additiomsverfahren an, beispielsweise mit \(\text{II}\;+\;(-1) \cdot \;\text{I}\) bzw. \(\text{II}\;-\;\text{I}\).
\[\begin{align*} \text{II} \;-\; \text{I} \colon \; 3b &= 0{,}9 &&| : 3 \\[0.8em] b &= 0{,}3 \end{align*}\]
\[\begin{align*}b = 0{,}3 \; \text{in I} \colon \; a + 0{,}3 &= 0{,}7 &&| -0{,}3 \\[0.8em] a &= 0{,}4 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad P(X = 1) = 0{,}4; \; P(X = 4) = 0{,}3\]
