Aufgabe 1
Gegeben sind die Funktionen \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{3} - 4x\) und \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{2} - x\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g\).
a) Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\) der von den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) begrenzten Fläche.
b) Geben Sie ohne weitere Rechnung den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-4}^{+4} f(x) dx\) an und veranschaulichen Sie Ihr Ergebnis in der Abbildung durch geeignete Eintragungen.
Aufgabe 2
Geben ist die Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{1}^{x} \ln{(3t - 2)} dt\).
a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich der Integralfunktion \(I\) an.
b) Berechnen Sie eine integralfreie Darstellung der Integralfunktion \(I\). Vereinfachen Sie soweit wie möglich.
Aufgabe 3
Die Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion \(f\) ergibt folgende Gleichungen:
\(f'(2) = 0; \; f''(2) = 0\)
a) Entscheiden Sie, welche der drei Aussagen richtig ist und begründen Sie Ihre Wahl.
(I) An der Stelle \(x = 2\) hat der Graph der Funktion \(f\) einen Extrempunkt.
(II) An der Stelle \(x = 2\) hat der Graph der Funktion \(f\) einen Terrassenpunkt.
(III) An der Stelle \(x = 2\) hat der Graph der Funktion \(f\) einen Extrem- oder Terrassenpunkt.
b) Bestimmen Sie einen möglichen Funktionsterm \(f(x)\), sodass der Graph der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) einen Terrassenpunkt besitzt.
Aufgabe 4
In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, darunter 12 weiße Kugeln und 8 rote Kugeln. Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.
Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der entnommenen roten Kugeln.
a) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) und geben Sie diese tabellarisch an.
c) Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsgröße \(X\).
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße \(X\) einen Wert annimmt, der höchstens um die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
Aufgabe 5
Ein Glücksrad ist in zwei Sektoren unterteilt. Ein Sektor ist mit einer Eins und der andere Sektor mit einer Zwei beschriftet (vgl. Abbildung). Für ein Spiel wird das Glücksrad solange gedreht, bis zum ersten mal die Eins erscheint, jedoch höchstens dreimal. Erscheint die Eins bei der ersten Drehung, erhält der Spieler 5 €, erscheint die Eins bei der zweiten Drehung, erhält er 1 €..
a) Berechnen Sie den Einsatz des Spiels, sodass das Spiel „fair" ist.
b) Der Einsatz des Spiels beträgt nun 1 €. Wie sind die Öffnungswinkel der Sektoren des Glücksrads zu wählen, damit das Spiel „fair" ist?
