Ermitteln Sie, z. B. mithilfe eines Baumdiagramms, die Wahrscheinlichkeit \(p\) dafür, dass der Kauf im Internet getätigt wurde.
(zur Kontrolle: \(p = 0{,}2\))
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
\(J\): „Der Kauf wurde von einer Person getätigt, die jünger als 60 Jahre ist."
\(\overline{J}\): „Der Kauf wurde von einer Person getätigt, die mindestens 60 Jahre ist."
\(V\): „Der Kauf wurde im Verkaufsbüro getätigt."
\(\overline{V}\): „Der Kauf wurde im Internet getätigt."
Analyse der Angabe von Aufgabe 2:
„90 % der Kartenkäufe im Internet ... werden von Personen getätigt, die jünger als 60 Jahre sind."
Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{\textcolor{#cc071e}{\overline{V}}}(J) = 0{,}9\)
Und somit: \(P_{\textcolor{#cc071e}{\overline{V}}}(\overline{J}) = 0{,}1\)
Bei der Betrachtung eines zweistufigen Zufallsexperiments mit den Ereignissen \(A\) und \(B\) müssen zwei Fälle sorgfältig unterschieden werden.
1. Die Ereignisse \(A\) und \(B\) treten zugleich ein (\(A \cap B\)).
2. Das Ereignis \(B\) tritt unter der Bedingung ein, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_A(B)\) gekennzeichnet.
Es gilt: \(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \enspace (P(A) \neq 0)\)
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten werden bei einem Baumdiagramm an den Pfaden der zweiten Stufe (und ggf. höher) angetragen.
An den Enden der Pfade stehen die Wahrscheinlichkeiten für das gleichzeitige Eintreten der Ereignisse.
Nach der 1. Pfadregel (Multiplikationsregel) gilt beispielsweise:
\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{P(A)} \cdot \textcolor{#0087c1}{P_A(B)} &= \textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)} \\[0.8em] \Leftrightarrow \textcolor{#0087c1}{P_A(B)} &= \dfrac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#e9b509}{P(A)}}\end{align*}\]
Analog gilt für ein Baumdiagramm, das mit den Ereignissen \(B\) und \(\overline{B}\) beginnt, mithilfe der 1. und 2. Pfadregel:
\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{P(B)} \cdot \textcolor{#0087c1}{P_B(A)} &= \textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)} \\ \Leftrightarrow \textcolor{#0087c1}{P_B(A)} &= \frac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#e9b509}{P(B)}} \\\textcolor{#0087c1}{P_B(A)} &= \frac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}+ \textcolor{#89ba17}{P(\overline{A} \cap B)}}\end{align*}\]
| \(B\) | \(\overline{B}\) | ||
| \(A\) | \(\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}\) | \(P(A \cap \overline{B})\) | \(\textcolor{#e9b509}{P(A)}\) |
| \(\overline{A}\) | \(P(\overline{A} \cap B)\) | \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\) | \(P(\overline{A})\) |
| \(\textcolor{#e9b509}{P(B)}\) | \(P(\overline{B})\) | \(1\) |
\[\textcolor{#0087c1}{P_A(B)} = \frac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#e9b509}{P(A)}} \qquad \textcolor{#0087c1}{P_B(A)} = \frac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#e9b509}{P(B)}}\]
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten ergeben sich bei einer Vierfeldertafel als Quotient aus dem Eintrag einer inneren Zelle und dem Eintrag einer Randzelle.
„... 35 % der Kartenkäufe im Verkaufsbüro werden von Personen getätigt, die jünger als 60 Jahre sind."
Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{\textcolor{#cc071e}{V}}(J) = 0{,}35\)
Und somit: \(P_{\textcolor{#cc071e}{V}}(\overline{J}) = 0{,}65\)
„Insgesamt werden 54 % der Kartenkäufe von Personen getätigt, die mindestens 60 Jahre alt sind."
\(P(\overline{J}) = 0{,}54\)
Wahrscheinlichkeit \(p\) dafür, dass der Kauf im Internet getätigt wurde:
Baumdiagramm der Ereignisse \(V\) und \(J\) mit den Eintragungen der bekannten und gesuchten Wahrscheinlichkeiten.
Mithilfe der Pfadregeln ergibt sich:
Ein Baumdiagramm ist ein äußerst anschauliches Hilfsmittel für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Jeder Pfad eines Baumdiagramms führt genau zu einem Ergebnis.
Es gelten folgende Pfadregeln:
1. Pfadregel (Produktregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.
2. Pfadregel (Summenregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, deren Pfade zu diesem Ereignis gehören.
Verzweigungsregel (Knotenregel)
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins.
\[\begin{align*} \textcolor{#e9b509}{P(B)} &= \underbrace{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)} + \textcolor{#0087c1}{P(\overline{A} \cap B)}}_{\large{\text{2. Pfadregel}}} \\[0.8em] &= \underbrace{\textcolor{#cc071e}{P(A)} \cdot \textcolor{#cc071e}{P_A(B)}}_{\large{\text{1. Pfadregel}}} + \underbrace{\textcolor{#0087c1}{P(\overline{A})} \cdot \textcolor{#0087c1}{P_{\overline{A}}(B)}}_{\large{\text{1. Pfadregel}}}\end{align*}\]
Ein Laplace-Würfel mit verschiedenfarbigen Seitenflächen wird zweimal geworfen. Eine Seitenfläche des Würfels ist rot, zwei Seitenflächen sind gelb und drei sind blau.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\): „Beide Würfe zeigen die gleiche Farbe."
\(P(\text{„}\textcolor{#cc071e}{\text{rot}}\text{"}) = \textcolor{#cc071e}{\dfrac{1}{6}}\), \(P(\text{„}\textcolor{#e9b509}{\text{gelb}}\text{"}) = \textcolor{#e9b509}{\dfrac{1}{3}}\), \(P(\text{„}\textcolor{#0087c1}{\text{blau}}\text{"}) = \textcolor{#0087c1}{\dfrac{1}{2}}\)
\[E = \{(\textcolor{#cc071e}{rr}),(\textcolor{#e9b509}{gg}),(\textcolor{#0087c1}{bb})\}\]
\[\begin{align*}P(E) &= \underbrace{P(\textcolor{#cc071e}{rr})+P(\textcolor{#e9b509}{gg})+P(\textcolor{#0087c1}{bb})}_{\large{\text{2. Pfadregel}}}\\ &= \underset{\large{\text{jeweils 1. Pfadregel}}}{\underbrace{\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{6}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{6}}} + \underbrace{\textcolor{#e9b509}{\frac{1}{3}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{1}{3}}} + \underbrace{\textcolor{#0087c1}{\frac{1}{2}} \cdot \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{2}}}} \\[0.8em] &= \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{36}} + \textcolor{#e9b509}{\frac{1}{9}} + \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{36} + \frac{4}{36} + \frac{9}{36} \\[0.8em] &= \frac{14}{36} = \frac{7}{18} \end{align*}\]
\[\begin{align*}P(V \cap \overline{J}) + P(\overline{V} \cap \overline{J}) &= P(\overline{J}) \\[0.8em] \underbrace{\underbrace{(1-p) \cdot 0{,}65}_{\text{1. Pfadregel}} \,+\! \! \underbrace{p \cdot 0{,}1}_{\text{1. Pfadregel}}}_{\text{2. Pfadregel}} &= 0{,}54 \\[0.8em] 0{,}65 - 0{,}65p + 0{,}1p &= 0{,}54 &&| -0{,}65 \\[0.8em] -0{,}55p &= -0{,}11 &&| : (-0{,}55) \\[0.8em] p &= 0{,}2 \end{align*}\]
