Abiturlösungen Mathematik Bayern 2014

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Kugel mit Mittelpunkt \(Z\,(1|6|3)\) und Radius 7 die Ebene \(E\) schneidet.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Die Kugel mit Mittelpunkt Z (1|6|3) und Radius 7 schneidet die Ebene E

Die Kugel schneidet die Ebene \(E\), wenn der Abstand \(d\,(Z;E)\) des Kugelmittelpunkts \(Z\) von der Ebene \(E\) kleiner ist als der Radius der Kugel.

 

\[E\,\colon \, 3x_2 + 4x_3 = 5\]

\[Z\,(1|6|3)\,, \quad r = 7\]

 

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Abstand Punkt - Ebene

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Für den Abstand \(d(P;E)\) eines Punktes \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) zu einer in der Hesseschen Normalenform (HNF) vorliegenden Ebene \(E\) gilt:

Vektordarstellung

\[E \colon \overrightarrow{n}^{0}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \enspace (\text{HNF})\]

\[d(P;E) = \left| \overrightarrow{n}^{0}_{E} \circ (\overrightarrow{P} - \overrightarrow{A}) \right|\]

Koordinatendarstellung

\[E \colon \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}} = 0 \enspace (\text{HNF})\]

\[d(P;E) = \left| \frac{n_{1}p_{1} + n_{2}p_{2} + n_{3}p_{3} + n_{0}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}} \right|\]

Dabei ist \(\overrightarrow{n}^{0}_{E} = \dfrac{\overrightarrow{n}_{E}}{\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert}\) der Einheitsvektor des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\).

\[E\,\colon \, 3x_2 + 4x_3 = 5 \quad \Longrightarrow \quad n_{E} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

Betrag des Normalenvektors der Ebene \(E\):

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\]

 

\[E^{HNF} \colon \; \frac{3x_2 + 4x_3 - 5}{5} = 0\]

 

Abstand \(d\,(Z;E)\) berechnen:

 

\[Z\,(1|6|3)\]

 

\[\begin{align*} d\,(Z;E) &= \left| \frac{3z_2 + 4z_3 - 5}{5} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{3 \cdot 6 + 4 \cdot 3 - 5}{5} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{18 + 12 -5}{5} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{25}{5} \right| \\[0.8em] &= 5 \end{align*}\]

 

\[r= 7\]

 

\[\Longrightarrow \quad d\,(Z;E) < r\]

 

Die Kugel mit dem Mittelpunkt \(Z\,(1|6|3)\) und dem Radius 7 schneidet die Ebene \(E\).

2.3.3 Lagebeziehung von Ebenen

2.3.3 Lagebeziehung von Ebenen
2.3.3 Lagebeziehung von Ebenen