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          • Teilaufgabe a
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        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 3b
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          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
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        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
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          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
          • Teilaufgabe f
    • Mathematik Abitur Bayern 2019
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
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          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
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        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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        • Analysis 2
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          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 1c
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        • Geometrie 1
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          • Teilaufgabe f
    • Mathematik Abitur Bayern 2018
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
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          • Teilaufgabe 5a
          • Teilaufgabe 5b
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
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          • Teilaufgabe 4b
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          • Teilaufgabe 2b
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
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        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
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          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
          • Teilaufgabe f
    • Mathematik Abitur Bayern 2017
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
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          • Teilaufgabe 3b
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        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 2
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 1e
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          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
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          • Teilaufgabe 2e
        • Analysis 2
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          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
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          • Teilaufgabe e
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
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          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
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        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
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          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
          • Teilaufgabe f
    • Mathematik Abitur Bayern 2016
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 5b
          • Teilaufgabe 5c
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          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
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          • Teilaufgabe 4
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Stochastik 2
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          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
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          • Teilaufgabe 1h
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        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
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          • Teilaufgabe 3d
          • Teilaufgabe 3e
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 2
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
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          • Teilaufgabe f
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
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    • Mathematik Abitur Bayern 2015
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 5a
          • Teilaufgabe 5b
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
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          • Teilaufgabe 3b
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        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 2a
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          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
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          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
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        • Stochastik 1
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          • Teilaufgabe 1b
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          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 2a
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          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
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          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
    • Mathematik Abitur Bayern 2014
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
          • Teilaufgabe 4
          • Teilaufgabe 5a
          • Teilaufgabe 5b
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 2a
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          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 1f
          • Teilaufgabe 1g
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
          • Teilaufgabe 2e
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
          • Teilaufgabe f
    • Mathematik Beispiel-Abitur Bayern 2014
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
          • Teilaufgabe 4
          • Teilaufgabe 5
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
          • Teilaufgabe 2e
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          • Teilaufgabe 2g
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 1f
          • Teilaufgabe 1g
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
          • Teilaufgabe 2e
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
    • Mathematik Abitur Bayern 2013
      • Prüfungsangabe
      • Analysis I
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
          • Teilaufgabe 4
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
      • Analysis II
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
      • Stochastik I
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 2c
        • Teilaufgabe 3a
        • Teilaufgabe 3b
      • Stochastik II
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 3a
        • Teilaufgabe 3b
        • Teilaufgabe 3c
      • Geometrie I
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
        • Teilaufgabe g
        • Teilaufgabe h
      • Geometrie II
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 1d
        • Teilaufgabe 1e
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 2c
    • Mathematik Abitur Bayern 2012
      • Prüfungsangabe
      • Analysis I
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 1f
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
          • Teilaufgabe 2e
          • Teilaufgabe 2f
      • Analysis II
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 1f
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
      • Stochastik I
        • Teilaufgabe 1
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 3a
        • Teilaufgabe 3b
        • Teilaufgabe 3c
        • Teilaufgabe 3d
        • Teilaufgabe 3e
        • Teilaufgabe 3f
      • Stochastik II
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 2
        • Teilaufgabe 3
        • Teilaufgabe 4a
        • Teilaufgabe 4b
        • Teilaufgabe 4c
      • Geometrie I
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
        • Teilaufgabe g
      • Geometrie II
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
        • Teilaufgabe g
    • Mathematik Abitur Bayern 2011 G8
      • Prüfungsangabe
      • Analysis I
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
      • Analysis II
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
          • Teilaufgabe 4
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
      • Stochastik I
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 3
        • Teilaufgabe 4
      • Stochastik II
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 3a
        • Teilaufgabe 3b
        • Teilaufgabe 3c
      • Geometrie I
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
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        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
      • Geometrie II
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
  • Abiturskript
    • Abiturskript G9 (PDF)
      • Bestellstatus/Download-Link
    • Abiturskript G8 (Online)
      • 1 Analysis
        • 1.1 Elementare Funktionen und Ihre Eigenschaften
          • 1.1.1 Lineare Funktion
          • 1.1.2 Quadratische Funktion
          • 1.1.3 Ganzrationale Funktion
          • 1.1.4 Wurzelfunktion
          • 1.1.5 Betragsfunktion
          • 1.1.6 Trigonometrische Funktionen
          • 1.1.7 Entwicklung von Funktionen
          • 1.1.8 Schnittstellen mit den Koordinatenachsen
          • 1.1.9 Symmetrieverhalten (bzgl. des Koordinatensystems)
        • 1.2 Gebrochenrationale Funktion
          • 1.2.1 Nullstellen und Polstellen
          • 1.2.2 Grenzwerte und Asymptoten
        • 1.3 Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion
          • 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln
          • 1.3.2 Exponentielles Wachstum und exponentielles Abklingen
          • 1.3.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen
        • 1.4 Grenzwerte
        • 1.5 Differentialrechnung
          • 1.5.1 Die Ableitung
          • 1.5.2 Ableitungsregeln
          • 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte
          • 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte
          • 1.5.5 Newton-Verfahren
          • 1.5.6 Umkehrfunktion
          • 1.5.7 Extremwertaufgaben
          • 1.5.8 Funktionsbestimmungen
          • 1.5.9 Tangenten zweier Funktionsgraphen
        • 1.6 Integralrechnung
          • 1.6.1 Stammfunktion
          • 1.6.2 Unbestimmtes Integral
          • 1.6.3 Bestimmtes Integral
          • 1.6.4 Flächenberechnung
          • 1.6.5 Uneigentliches Integral
          • 1.6.6 Integralfunktion
        • 1.7 Funktionenscharen
          • 1.7.1 Funktionenscharen - Einführende Beispiele
          • 1.7.2 Nullstellen einer Funktionenschar
          • 1.7.3 Graph einer Scharfunktion durch einen Punkt
          • 1.7.4 Graph einer Scharfunktion mit vorgegebener Steigung
          • 1.7.5 Extrem- / Wendepunkte einer Kurvenschar
          • 1.7.6 Ortslinie / Trägergraph einer Funktionenschar
          • 1.7.7 Gemeinsame Punkte einer Kurvenschar
      • 2 Geometrie
        • 2.1 Vektoren
          • 2.1.1 Rechnen mit Vektoren
          • 2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
          • 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren
          • 2.1.4 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
          • 2.1.5 Spatprodukt
          • 2.1.6 Nachweis von Vierecken
        • 2.2 Geraden und Ebenen im Raum
          • 2.2.1 Geradengleichung in Parameterform
          • 2.2.2 Ebenengleichung in Parameterform
          • 2.2.3 Ebenengleichung in Normalenform
          • 2.2.4 Umwandlung: Parameterform - Normalenform
        • 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
          • 2.3.1 Lagebeziehung von Geraden
          • 2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene
          • 2.3.3 Lagebeziehung von Ebenen
          • 2.3.4 Lotgeraden und orthogonale Ebenen
          • 2.3.5 Winkelhalbierende Gerade und Ebene
        • 2.4 Abstandsbestimmungen
          • 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade
          • 2.4.2 Abstand paralleler Geraden
          • 2.4.3 Abstand windschiefer Geraden
          • 2.4.4 Abstand Punkt - Ebene
          • 2.4.5 Abstand Gerade - Ebene
          • 2.4.6 Abstand paralleler Ebenen
        • 2.5 Schnittwinkelberechnungen
          • 2.5.1 Schnittwinkel zwischen zwei Geraden
          • 2.5.2 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene
          • 2.5.3 Schnittwinkel zweier Ebenen
        • 2.6 Spiegelung von Punkten
          • 2.6.1 Spiegelung eines Punktes an einem Punkt
          • 2.6.2 Spiegelung eines Punktes an einer Geraden
          • 2.6.3 Spiegelung eines Punktes an einer Ebene
        • 2.7 Die Kugel
          • 2.7.1 Kugelgleichung
          • 2.7.2 Lagebeziehung Punkt - Kugel
          • 2.7.3 Lagebeziehung Gerade - Kugel
          • 2.7.4 Lagebeziehung Ebene - Kugel
          • 2.7.5 Lagebeziehung zweier Kugeln
      • 3 Stochastik
        • 3.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
          • 3.1.1 Ereignisse
          • 3.1.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff
          • 3.1.3 Laplace-Experiment, Laplace-Wahrscheinlichkeit
          • 3.1.4 Baumdiagramm und Vierfeldertafel
          • 3.1.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit
          • 3.1.6 Unabhängigkeit von Ereignissen
        • 3.2 Urnenmodelle
          • 3.2.1 Grundformeln der Kombinatorik
          • 3.2.2 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
        • 3.3 Zufallsgrößen
          • 3.3.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße
          • 3.3.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
          • 3.3.3 Binomialverteilte Zufallsgröße
        • 3.4 Beurteilende Statistik
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Abiturlösungen Mathematik Bayern Beispiel-Abiturprüfung 2014 Prüfungsteil B Analysis 2

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Prüfungsangabe Mathematik Beispiel-Abiturprüfung Bayern 2014 - Prüfungsteil B

Teilaufgabe 1a

Details
Kategorie: Analysis 2

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\,\colon x \mapsto 3 \cdot \left(1 - e^{-x}\right) - x\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Grenzen der Definitionsmenge.

(2 BE)

  • Verhalten im Unendlichen
  • Grenzwertbetrachtung
  • Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs
  • Natürliche Exponentialfunktion
  • Prüfungsteil B
  • Mathematik Beispiel–Abitur Bayern 2014
  • Analysis 2

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Details
Kategorie: Analysis 2

Zeigen Sie, dass \(G_f\) genau einen Hochpunkt besitzt, und geben Sie dessen Koordinaten an.

(zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate des Hochpunkts: \(\ln 3\))

(5 BE)

  • Extrempunkt(e)
  • Monotoniekriterium
  • Hochpunkt
  • Extremstelle(n)
  • Natürliche Exponentialfunktion
  • Prüfungsteil B
  • Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen
  • Mathematik Beispiel–Abitur Bayern 2014
  • Analysis 2

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Details
Kategorie: Analysis 2

Berechnen Sie \(f(0)\) sowie \(f(3)\) und skizzieren Sie \(G_f\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in einem Koordinatensystem.

(3 BE)

  • Extrempunkt(e)
  • Verhalten im Unendlichen
  • Hochpunkt
  • Skizzieren / Zeichnen von Funktionsgraphen
  • Prüfungsteil B
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Lösung zu Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Details
Kategorie: Analysis 2

Im Intervall \([2;3]\) besitzt \(f\) genau eine Nullstelle \(a\). Bestimmen Sie einen Näherungswert von \(a\), indem Sie den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert 3 durchführen. Man erhält dadurch \(a\) auf zwei Dezimalen genau.

(Ergebnis: \(a \approx 2{,}82\))

(3 BE)

  • Newtonsche Iterationsformel
  • Newton Verfahren
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  • Analysis 2

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Details
Kategorie: Analysis 2

Berechnen Sie durch Integration mithilfe des Näherungswerts von \(a\) einen Näherungswert für den Inhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im ersten Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.

(5 BE)

  • Stammfunktion
  • Bestimmtes Integral
  • Stammfunktion einer Potenzfunktion
  • Berechnung bestimmter Integrale
  • Flächeninhaltsberechnung durch Integration
  • Prüfungsteil B
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  • Analysis 2

Lösung zu Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 1f

Details
Kategorie: Analysis 2

Betrachtet wird nun die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(\displaystyle F\,\colon\,x\mapsto \int_{a}^{x}f(t)\,dt\).

Geben Sie an, welche besonderen Eigenschaften der Graph von \(F\) im Punkt \((a|F(a))\) hat; begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

(4 BE)

  • Extrempunkt(e)
  • Integralfunktion
  • Monotoniekriterium
  • Hochpunkt
  • Hauptsatz der Differential und Integralrechnung
  • Nullstelle(n) einer Integralfunktion
  • Prüfungsteil B
  • Mathematik Beispiel–Abitur Bayern 2014
  • Analysis 2

Lösung zu Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 1g

Details
Kategorie: Analysis 2

Geben Sie den Zusammenhang zwischen der Funktion \(F\) und dem Ergebnis der Aufgabe 1e an.

(1 BE)

  • Integralfunktion
  • Bestimmtes Integral
  • Berechnung bestimmter Integrale
  • Prüfungsteil B
  • Mathematik Beispiel–Abitur Bayern 2014
  • Analysis 2
  • Schnittpunkt mit der y-Achse

Lösung zu Teilaufgabe 1g

Teilaufgabe 2a

Details
Kategorie: Analysis 2

Jeder Körper sendet elektromagnetische Strahlung unterschiedlicher Frequenzen aus; die Intensität der Strahlung hängt von der Frequenz der Strahlung ab. Im Idealfall lässt sich diese Intensität nach Max Planck durch die Schar der in \(\mathbb R^+\) definierten Funktionen

\[I_T\,\colon x \mapsto \frac{x^3}{e^{\frac{x}{T}} - 1}\]

mit \(T \in \mathbb R^+\) beschreiben. Dabei ist \(x\) - bis auf eine Konstante - die Frequenz der Strahlung und \(T\) die Temperatur des Körpers in Kelvin.

Die Abbildung zeigt die zu drei Werten des Parameters \(T\) gehörenden Graphen von \(I_T\).

Abbildung zu Teilaufgabe 2a

Bei der Bearbeitung der folgenden Aufgaben soll auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden.

Weisen Sie anhand des Funktionsterms von \(I_T\) nach, dass der Wert der Intensität der Strahlung stets positiv ist.

(3 BE)

  • Funktionenschar
  • Prüfungsteil B
  • Mathematik Beispiel–Abitur Bayern 2014
  • Analysis 2

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Details
Kategorie: Analysis 2

Zeigen Sie, dass für die erste Ableitung der Funktion \(I_T\) gilt:

\[I'_T(x) = \frac{x^2 \cdot e^{\frac{x}{T}} \cdot \left [ 3 \cdot \left (1 - e^{-\frac{x}{T}} \right ) - \frac{x}{T} \right ]}{\left ( e^{\frac{x}{T}} - 1 \right )^2}\]

Vergleichen Sie diesen Term mit dem der Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 und begründen Sie, dass die Funktion \(I_T\) bei \(x = a \cdot T\) ihr einziges Maximum besitzt, wenn \(a\) die positive Nullstelle von \(f\) ist.

(6 BE)

  • Funktionenschar
  • Kettenregel
  • Quotientenregel
  • Ableitung einer Potenzfunktion
  • Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
  • Prüfungsteil B
  • Mathematik Beispiel–Abitur Bayern 2014
  • Analysis 2

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Details
Kategorie: Analysis 2

Das Maximum der Intensität der Strahlung unserer Sonne liegt bei \(x_{\text{max}} = 17 \cdot 10^3\). Bestimmen Sie damit einen Näherungswert für die Oberflächentemperatur der Sonne.

(2 BE)

  • Extremstelle(n)
  • Prüfungsteil B
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  • Analysis 2

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Details
Kategorie: Analysis 2

Jeder der in der Abbildung dargestellten Graphen I, II und III gehört zu genau einer der Temperaturen 4000 K, 6000 K und 8000 K. Ordnen Sie die Temperaturen den Graphen zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.

(3 BE)

  • Funktionenschar
  • Extremstelle(n)
  • Prüfungsteil B
  • Mathematik Beispiel–Abitur Bayern 2014
  • Analysis 2

Lösung zu Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

Details
Kategorie: Analysis 2

Wird die Temperatur \(T\) eines Körpers verdoppelt, so nimmt das Maximum der Intensität seiner Strahlung den achtfachen Wert an. Begründen Sie diese Tatsache.

(3 BE)

  • Funktionenschar
  • Prüfungsteil B
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  • Analysis 2
  • direkte Proportionalität

Lösung zu Teilaufgabe 2e

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