Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{20}x^{5} + \dfrac{1}{12}x^{4} - \dfrac{1}{3}x^{3}\).
Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und geben Sie das Kümmungsverhalten von \(G_{f}\) an.
\[f(x) = \frac{1}{20}x^{5} + \frac{1}{12}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3}; \; D_{f} = \mathbb R\]
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt von \(G_{f}\) lautet:
(vgl. Abiturskript - 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte)
Anwendung der Differetialrechnung:
Wendepunkt
Ist \(f''(x_0) = 0\) und wechselt \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt.
(vgl. Merkhilfe)
Alternative:
Es muss \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten.
\[f''(x) = 0\]
Erste Ableitung \(f'\) und zweite Ableitung \(f''\) der Funktion \(f\) bilden:
Die Funktion \(f\) lässt sich wiederholt mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel ableiten.
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
Summenregel
\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[f(x) = \frac{1}{20}x^{5} + \frac{1}{12}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3}; \; D_{f} = \mathbb R\]
\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{20} \cdot 5 \cdot x^{4} + \frac{1}{12} \cdot 4 \cdot x^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^{2} \\[0.8em] &= \frac{1}{4}x^{4} + \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} \end{align*}\]
\[\begin{align*}f''(x) &= \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot x^{3} + \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot x \\[0.8em] &= x^{3} + x^{2} - 2x\end{align*}\]
Nullstellen von \(f''\) bestimmen:
\[\begin{align*} f''(x) &= 0 \\[0.8em] x^{3} + x^{2} - 2x &= 0 & &| \; \text{Faktor} \; x \; \text{ausklammern} \\[0.8em] x \cdot (x^{2} + x - 2) &= 0 \end{align*}\]
Satz vom Nullprodukt:
Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
\[\Longrightarrow \quad x_{1} = 0 \enspace \vee \enspace x^{2} + x - 2 = 0\]
Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden:
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. Merkhilfe)
\[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\]
\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0 \end{align*}\]
Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):
\(D < 0\,\): keine Lösung
\(D = 0\,\): genau eine Lösung
\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen
\[\begin{align*}x_{2,3} &= \frac{-1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \\[0.8em] &= \frac{-1 \pm 3}{2} \\[0.8em] &= -\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}\end{align*}\]
\[x_{2} = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -2\]
\[x_{3} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1\]
Die Nullstellen \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = -2\) und \(x_{3} = 1\) von \(f''\) sind mögliche Wendestellen des Graphen der Funktion \(f\).
Anwendung der Differetialrechnung:
Terrassenpunkt
Wenn \(f'(x_0) = f''(x_0) = 0\) ist und \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen wechselt, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Terrassenpunkt.
Die Nullstelle \(x_{1} = 0\) von \(f''\) ist zugleich Nullstelle von \(f'(x) = \frac{1}{4}x^{4} + \frac{1}{3}x^{3} - x^{2}\), was auf einen Terrassenpunkt hinweist.
Die Überprüfung der Wendestellen erfolgt zweckmäßig mithilfe einer Krümmungstabelle, welche den Vorzeichenwechsel in der Umgebung der möglichen Wendestellen \(x_{1}\), \(x_{2}\) und \(x_{3}\) dokumentiert.
Vorteil: Das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) kann der Tabelle direkt entnommen werden.
Anwendung der Differetialrechnung:
Wendepunkt
Ist \(f''(x_0) = 0\) und wechselt \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt.
(vgl. Merkhilfe)
Alternative:
Es muss \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten.
Um den Vorzeichenwechsel von \(f''\) in der Umgebung von \(x_{1}\), \(x_{2}\) und \(x_{3}\) aussagekräftig dokumentieren zu können, wird der Funktionsterm \(f''(x)\) anhand der bekannten Nullstellen in seiner vollständig faktorisierten Form angegeben (Linearfaktorzerlegung, vgl. Abiturskript - 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Produktform).
\[\begin{align*} f''(x) &= x^{3} + x^{2} - 2x \\[0.8em] &= x(x + 2)(x - 1) \end{align*}\]
Anwendung der Differentialrechnung:
Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen
\(f''(x) < 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) rechtsgekrümmt.
\(f''(x) > 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) linksgekrümmt.
(vgl. Merkhilfe)
| \(x < -2\) | \(x = -2\) | \(x > -2\) | |
| \(x\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \((x + 2)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \((x - 1)\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(f''(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(G_{f}\) | \(\Large \curvearrowright\) | \(W(-1|f(-1))\) | \(\style{display: inline-block; transform:rotate(0.5turn);}{\Large \curvearrowleft}\) |
| \(x < 0\) | \(x = 0\) | \(x > 0\) | |
| \(x\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \((x + 2)\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \((x - 1)\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(f''(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \(G_{f}\) | \(\style{display: inline-block; transform:rotate(0.5turn);}{\Large \curvearrowleft}\) | \(TeP(0|f(0))\) | \(\Large \curvearrowright\) |
| \(x < 1\) | \(x = 1\) | \(x > 1\) | |
| \(x\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \((x + 2)\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \((x - 1)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f''(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(G_{f}\) | \(\Large \curvearrowright\) | \(W(2|f(2))\) | \(\style{display: inline-block; transform:rotate(0.5turn);}{\Large \curvearrowleft}\) |
Anmerkung:
Als Alternative wäre \(f'''(x_{1}) \neq 0\), \(f'''(x_{2}) \neq 0\) und \(f'''(x_{3})\) zu überprüfen (vgl. Abiturskript - 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte). Nachteil: Diese Methode liefert keine Aussage über das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\).
\(y\)-Koordinate der Wendepunkte/des Terrassenpunkts berechnen:
\[f(x) = \frac{1}{20}x^{5} + \frac{1}{12}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3}; \; D_{f} = \mathbb R\]
\[f(-2) = \frac{1}{20} \cdot (-2)^{5} + \frac{1}{12} \cdot (-2)^{4} - \frac{1}{3} \cdot (-2)^{3} = 2{,}4\]
\[f(0) = \frac{1}{20} \cdot 0^{5} + \frac{1}{12} \cdot 0^{4} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} = 0\]
\[f(1) = \frac{1}{20} \cdot 1^{5} + \frac{1}{12} \cdot 1^{4} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} = -0{,}2\]
Der Graph der Funktion \(f\) besitzt die Wendepunkte \(W(-2|2{,}4)\) und \(W(1|-0{,}2)\) sowie den Terrassenpunkt \(TeP(0|0)\).
Das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) kann der Krümmungstabelle entnommen werden:
Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) ist
- für \(x \in \; ]-\infty;-2[\) rechtsgekrümmt,
- für \(x \in \; ]-2;0[\) linksgekrümmt,
- für \(x \in \; ]0;1[\) rechtsgekrümmt und
- für \(x \in \; ]1;+\infty[\) linksgekrümmt.
