Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als die Hälfte der Spender die Blutgruppe \(0\) und den Rhesusfaktor \(Rh+\) besitzt.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Binomialverteilung
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Zufallsgröße \(Y\colon \enspace\)„Anzahl der Spender, die Blutgruppe \(0\) und den Rhesusfaktor \(Rh+\) besitzen
Analyse der Angabe:
„...spenden an einem Vormittag 25 Personen Blut." (siehe Angabe Teilaufgabe 1a)
\(\Longrightarrow \quad n = 25\)
„Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als die Hälfte der Spender..."
\(\Longrightarrow \quad X \geq 13\)
„...die Blutgruppe \(0\) und den Rhesusfaktor \(Rh+\) besitzen."
\(\Longrightarrow \quad p = P(0 \cap Rh+) = 0{,}35\) (siehe Tabelle Teilaufgabe 1a)
Die Zufallsgröße \(Y\) ist nach \(B(25;0{,}35)\) binomialverteilt.
Betrachten des Gegenereignisses:
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)
Kumulative Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \geq k)\) lassen sich im Stochastischen Tafelwerk (ST) nicht nachschlagen. Die Betrachtung des Gegenereignisses ermöglicht das Verwenden des Stochastischen Tafelwerks:
\[P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)\]
Die Kumulative Verteilungsfunktion \(F_{p}^{n}(k) = P^n_p(X \leq k) = \sum \limits_{i\;=\;0}^{k} B(n;p;i)\) ist für bestimmte Werte der Parameter \(p\) und \(n\) in der rechten Spalte des Stochastischen Tafelwerks mit Abiturzulassung tabellarisiert.
\[P_{0{,}35}^{25}(Y \geq 13) = 1 - P_{0{,}35}^{25}(Y \leq 12)\]
Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)
\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.
Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\).
Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:
\[F^{25}_{0{,}35} (12) = P^{25}_{0{,}35} (Y \leq 12) = \sum \limits_{i \, = \, 0}^{12} B(25; 0{,}35; i) \enspace \overset{\text{ST}}{=} \enspace 0{,}93956\]
\[\begin{align*} P_{0{,}35}^{25}(Y \geq 13) &= 1 - 0{,}93956 \\[0.8em] &= 0{,}06044 \approx 6{,}0\,\% \end{align*}\]
Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach \(B(25;0{,}35)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(Y\), Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}35}^{25}(Y \geq 13)\)