Mathematik Abitur Bayern 2013

Folgende Tabelle gibt für die verschiedenen Empfänger von Spenderblut an, welches Spenderblut für sie jeweils geeignet ist:

Für einen Patienten mit der Blutgruppe \(B\) und dem Rhesusfaktor \(Rh-\) wird Spenderblut benötigt. Bestimmen Sie, wie viel zufällig ausgewählte Personen mindestens Blut spenden müssten, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % mindestens eine für diesen Patienten geeignete Blutspende erhält.

(5 BE)

Folgende Tabelle gibt die Verteilung der Blutgruppen und der Rhesusfaktoren innerhalb der Bevölkerung Deutschlands wieder:

In einem Krankenhaus spenden an einem Vormittag 25 Personen Blut. Im Folgenden soll angenommen werden, dass diese 25 Personen eine zufällige Auswahl aus der Bevölkerung darstellen. 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zehn der Spender die Blutgruppe \(A\) haben.

(3 BE)

Die von Solarmodulen abgegebene elektrische Leistung hängt unter anderem von der Größe ihres Neigungswinkels gegen die Horizontale ab. Die Tabelle gibt den Anteil der abgegebenen Leistung an der maximal möglichen Leistung in Abhängigkeit von der Größe des Neigungswinkels an. Schätzen Sie diesen Anteil für die Solarmodule des Pavillons - nach Berechnung des Neigungswinkels - unter Verwendung der Tabelle ab.

(4 BE)

Im Rahmen eines Screenings wird eine sehr große Anzahl zufällig ausgewählter neugeborener Kinder getestet. Ermitteln Sie die pro Million getesteter KInder im Mittel zu erwartende Anzahl derjenigen Kinder, bei denen die Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis negativ ist.

(3 BE)

Begründen Sie, dass die Wahl der Nullhypothese für den beschriebenen Test in Einklang mit dem Anliegen der Wahlkampfberaterin steht, einen Erfolg bereits im ersten Wahlgang zu erreichen. 

(3 BE)

Der Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto x \cdot \sin x\) verläuft durch den Koordinatenursprung. Berechnen Sie \(f''(0)\) und geben Sie das Krümmungsverhalten des Graphen von \(f\) in unmittelbarer Nähe des Koordinatenursprungs an.

(4 BE)

Geben Sie für die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \ln (2013 - x)\) den maximalen Definitionsbereich \(D\), das Verhalten von \(f\) an den Grenzen von \(D\) sowie die Schnittpunkte des Graphen von \(f\) mit den Koordinatenachsen an.

(5 BE)

Im betrachteten Zeitraum gibt es ein jahr, in dem die Geburtenziffer am stärksten abnimmt. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für dieses Jahr an. Beschreiben Sie, wie man auf der Grundlage des Modells rechnerisch nachweisen könnte, dass die Abnahme der Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird.

(3 BE)

Abbildung 2 legt die Vermutung nahe, dass \(G_f\) bezüglich des Schnittpunkts \(P\,(-1|-1)\) seiner Asymptoten symmetrisch ist. Zum Nachweis dieser Symmetrie von \(G_f\) kann die Funktion \(g\) betrachtet werden, deren Graph aus \(G_f\) durch Verschiebung um 1 in positive \(x\)-Richtung und um 1 in positive \(y\)-Richtung hervorgeht.

Bestimmen Sie einen Funktionsterm von \(g\). Weisen Sie anschließend die Punktsymmetrie von \(G_f\) nach, indem Sie zeigen, dass der Graph von \(g\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

(Teilergebnis: \(\displaystyle g(x) = \frac{1}{2}x + \frac{8}{x}\))

(6 BE)

Machen Sie plausibel, dass das Volumen des Spats mithilfe der Formel \(V = G \cdot h\) berechnet werden kann, wobei \(G\) der Flächeninhalt des Rechtecks \(ABQP\) und \(h\) die zugehörige Höhe des Spats ist. 

(3 BE)

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(\mathbb W\) hat.

\(\mathbb W = [-2;2]\)

(2 BE)

Nach der Wahl darf die Partei A in einem Ausschuss drei Sitze besetzen. Von den acht Stadträtinnen und vier Stadträten der Partei A, die Interesse an einem Sitz in diesem Ausschuss äußern, werden drei Personen per Losentscheid als Ausschussmitglieder bestimmt.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der weiblichen Ausschussmitglieder der Partei A. Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) mit \(P(X = 0) = \frac{1}{55}\) und \(P(X = 3) = \frac{14}{55}\).

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(P(X = 1)\) und \(P(X = 2)\).

(Ergebnis: \(P(X = 1) = \frac{12}{55}\), \(P(X = 2) = \frac{28}{55}\))

(4 BE)

Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto \sqrt{3x + 9}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\).

Bestimmen Sie \(D\) und geben Sie die Nullstelle von \(g\) an.

(3 BE)

Die Ursprungsgerade \(h\) mit der Gleichung \(y = \frac{2}{e^2} \cdot x\) schließt mit \(G_f\) für \(x \geq 0\) ein Flächenstück mit dem Inhalt \(B\) vollständig ein.

Berechnen Sie die \(x\)-Koordinaten der drei Schnittpunkte der Geraden \(h\) mit \(G_f\) und zeichnen Sie die Gerade in Abbildung 2 ein. Berechnen Sie \(B\).

(6 BE)

Der Graph von \(f\), die \(x\)-Achse und die Gerade \(x = u\) mit \(u \in \mathbb R^+\) schließen für \(0 \leq x \leq u\) ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(u)\) ein.

Zeigen Sie, dass \(A(u) = 2 - 2e^{-0{,}5u^2}\) gilt. Geben Sie \(\lim \limits_{u \, \to \, + \infty} A(u)\) an und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

(6 BE)

Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate \(m_S\) von \(f\) im Intervall \([-0{,}5; 0{,}5]\) sowie die lokale Änderungsrate \(m_T\) an der Stelle \(x = 0\). Berechnen Sie, um wie viel Prozent \(m_S\) von \(m_T\) abweicht.

(4 BE)

Zeigen Sie, dass \(\displaystyle \int_0^4 f(x)\,dx = 2 + 8 \cdot \ln 5\) gilt.

Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-6}^{-2} f(x)\,dx\); veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung 2.

(8 BE)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(P(T)\) und \(P_T(S)\). Interpretieren Sie das Ergebnis für \(P_T(S)\) im Sachzusammenhang.

(zur Kontrolle: \(P(T) \approx 0{,}85\,\%\), \(P_T(S) < 0{,}1\))

(8 BE)

Ein Kubikmeter des verwendeten Betons besitzt eine Masse von 2,1 t. Berechnen Sie die Masse des Grundkörpers.

(3 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Geraden \(\displaystyle g\;\colon\, \vec{X} = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\,\), und \(\displaystyle h\;\colon\, \vec{X} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -9 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(\mu \in \mathbb R\,\), gegeben. Die Geraden \(g\) und \(h\) schneiden sich im Punkt \(T\).

Bestimmen Sie die Koordinaten von \(T\).

(Ergebnis: \(T\,(2|-1|3)\)) 

(4 BE)