Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen \(a\), \(a_1\) und \(a_2\):

  • \(f_a(0) = 0\)
  • \(f'_a(0) = f'_0(0)\)
  • \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \enspace \Leftrightarrow \enspace a_1 = a_2\) oder \(x =0\)

Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt. 

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

Bedeutung der Aussage \(f_a(0) = 0; \; a \in \mathbb R\)

Alle Graphen der Funktionenschar \(f_{\textcolor{#cc071e}{a}}\) verlaufen durch den Koordinatenursprung \(\boldsymbol{(0|0)}\).

 

Bedeutung der Aussage \(f'_a(0) = f'_0(0); \; a \in \mathbb R\)

Alle Graphen der Funktionenschar \(f_{\textcolor{#cc071e}{a}}\) haben im Koordinatenursprung \(\boldsymbol{(0|0)}\) die gleiche Steigung (oder die Steigung \(\boldsymbol{\sqrt{e}}\)).

 

Begründung (nicht verlangt)

Aus dem Ergebnis von Teilaufgabe 2b ist bekannt, dass der Graph der Scharfunktion \(f_0\) eine Ursprungsgerade mit der Steigung \(\sqrt{e}\) ist. Der Term \(f'_0(0)\) beschreibt diese Steigung.

Der Term \(f'_\textcolor{#cc071e}{a}(0)\) beschreibt unabhängig von der Belegung des Parameters \(a\) die Steigung aller Graphen (Tangentensteigung) der Funktionenschar \(f_\textcolor{#cc071e}{a}\) im Koordinatenursprung.

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

Bedeutung der Aussage \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \enspace \Leftrightarrow \enspace a_1 = a_2\) \((a_1,a_2 \in \mathbb R)\) oder \(x =0\)

Neben dem Koordinatenursprung \((0|0)\) gibt es keinen weiteren gemeinsamen Punkt der Graphen der Funktionenschar \(f_a\).

 

Begründung (nicht verlangt)

Die Gleichung \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x)\) formuliert den Ansatz für die Bestimmung der Stelle(n) gemeinsamer Punkte zweier Scharfunktionen \(f_{a_1}\) und \(f_{a_2}\) der Funktionenschar \(f_a\).

Die Äquivalenzbeziehung \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \enspace \Leftrightarrow \enspace a_1 = a_2\) sagt aus, dass nur die Graphen zweier identischer Scharfunktionen \(f_{a_1}\) und \(f_{a_2}\) mit \(a_1 = a_2\) gemeinsame Punkte haben.

Die Formulierung „oder \(x = 0\)" bezieht sich auf die Aussage \(f_a(0) = 0\) (vgl. oben).