Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(Q\,\colon x \mapsto \frac{16}{17}e^{-\frac{1}{4}x} \cdot \left( \sin x - \frac{1}{4}\cos x \right)\) ist eine Stammfunktion von \(q\).
Zeigen Sie rechnerisch, dass \(\displaystyle \int_0^{2\pi} q(x)\,dx > 0\) gilt, und deuten Sie die Aussage dieser Ungleichung am Graphen von \(q\).
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2f
\[Q(x) = \frac{16}{17}e^{-\frac{1}{4}x} \cdot \left( \sin{x} - \frac{1}{4}\cos{x}\right)\,; \quad D = \mathbb R\]
Nachweis, dass \(\displaystyle \int_{0}^{2\pi} q(x)\,dx > 0\) gilt
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[ \begin{align*} \int_{0}^{2\pi} q(x)\;dx \quad = \quad &[Q(x)]^{2\pi}_{0} \\[0.8em] \quad = \quad &\left[\frac{16}{17}e^{-\frac{1}{4}x} \left(\sin x - \frac{1}{4} \cos x \right)\right]_{0}^{2\pi} \\[0.8em] \quad = \quad &\frac{16}{17}e^{-\frac{1}{4} \cdot 2\pi} \Bigg ( \underbrace{\sin(2\pi)}_{0} - \frac{1}{4} \underbrace{\cos(2\pi)}_{1} \Bigg ) \\ - &\left [ \frac{16}{17}e^{-\frac{1}{4} \cdot 0} \Bigg ( \underbrace{\sin(0)}_{0} - \frac{1}{4} \underbrace{\cos(0)}_{1} \Bigg ) \right] \\[0.8em] \quad = \quad &-\frac{4}{17}e^{-\frac{\pi}{2}} + \frac{4}{17} \\[0.8em] \quad = \quad &\frac{4}{17} \left ( 1 - e^{-\frac{\pi}{2}} \right ) \\[0.8em] \quad \approx \quad &0{,}19 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \int_{0}^{2\pi} q(x)\;dx > 0\]
Deutung des Zusammenhangs am Graphen von \(q\)
Im Intervall \([0;2\pi]\) schließt der Graph von \(q\) mit den Koordinatenachsen und der Geraden \(x = 2\pi\) drei Flächenstücke ein.
Die Aussage \(\displaystyle \int_{0}^{2\pi} q(x)\,dx > 0\) beschreibt eine positive Flächenbilanz. Der Flächeninhalt der beiden oberhalb der \(x\)-Achse liegenden Flächenstücke ist größer als der Flächeninhalt des unterhalb der \(x\)-Achse liegenden Flächenstücks.