Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche gegenüber der Horizontalen.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe b
Der Neigungswinkel der Dachfläche gegenüber der Horizontalen entspricht dem Schnittwinkel der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen.
Schnittwinkel \(\boldsymbol{\alpha}\) zweier Ebenen
\[E_1\colon \enspace \overrightarrow{n}_1 \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{A} \right) = 0\]
\[E_2\colon \enspace \overrightarrow{n}_2 \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{B} \right) = 0\]
\[\cos \alpha = \frac{\vert \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2 \vert}{\vert \overrightarrow{n}_1 \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_2 \vert} \enspace \Rightarrow \enspace \alpha = \cos^{-1}(\dots)\]
\[(0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ})\]
Beispielsweise ist \(\overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) ein Normalenvektor der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene.
Ein Normalenvektor der Ebene \(E\) ergibt sich direkt aus der Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Teilaufgabe a).
\[E \colon x_{2} + 5x_{3} - 30 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\]
Schnittwinkel der Ebenen berechnen:
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} \cos \alpha &= \frac{\left| \overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{n}_{E} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 5 \cdot 1 \vert}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 5^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{5}{\sqrt{26}} & &| \; \text{TR:} \; \cos^{-1}(\dots) \\[1.6em] \alpha &= \cos^{-1}\left( \frac{5}{\sqrt{26}} \right) \approx 11{,}3^{\circ}\end{align*}\]
Der Neigungswinkel der Dachfläche gegenüber der Horizontalen beträgt ca. 11,3°.