Kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße

Zwei Seitenflächen eines Laplace-Würfels sind rot, drei sind gelb und eine Seitenfläche ist blau.

Wie viele Würfe sind mindestens nötig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60 % mindestens dreimal die Farbe Rot zu erhalten.

Ermitteln Sie auf fünf Prozent genau, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür, sich bei einer Schriftprobe richtig zu entscheiden, für einen Bewerber mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er den Vortest besteht, mindestens 90 % beträgt.

(3 BE)

Der Großhändler behauptet, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B durch eine veränderte Aufbereitung des Saatguts auf mehr als 70 % erhöht hat. Deshalb soll die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist höchstens 70 %." auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Dazu werden 100 der verändert aufbereiteten Samenkörner der Qualität B zufällig ausgewählt und gesät. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

(5 BE)

Der Anbaubetrieb sät 200 Samenkörner der Qualität B. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

\(E\): „Von den gesäten Samenkörnern keimen genau 140."

\(F\): „Von den gesäten Samenkörnern keimen mehr als 130 und weniger als 150."

(3 BE)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse.

\(A\): „Das fünfte ausgewählte Auto ist das erste mit ESP."

\(B\): „Die Zufallsgröße \(X\) nimmt einen Wert an, der von ihrem Erwartungswert höchstens um eine Standardabweichung abweicht."

(7 BE)

Das elektronische Stabilitätsprogramm (ESP) eines Autos kann Schleuderbewegungen und damit Unfälle verhindern.

Gehen Sie bei den folgenden Aufgaben davon aus, dass 40 % aller Autos mit ESP ausgerüstet sind.

200 Autos werden nacheinander zufällig ausgewählt; die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der ausgewählten Autos mit ESP.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den ausgewählten Autos mindestens 70 mit ESP ausgerüstet sind.

(3 BE)

Im Folgenden ist \(n = 200\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Personen unter den ausgewählten Personen, die an einer Allergie leiden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) höchstens um eine Standardabweichung von ihrem Erwartungswert abweicht.

(5 BE)

Ein Telekommunikationsunternehmen möchte neue Kunden gewinnen. Dazu schickt es an zufällig ausgewählte Haushalte Werbematerial. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass die angeschriebenen Haushalte unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 20 % noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 angeschriebenen Haushalten

● mindestens zwei noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

● genau acht bereits über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

(4 BE)

Ermitteln Sie unter Zuhilfenahme des Tafelwerks den kleinsten symmetrischen um den Erwartungswert liegenden Bereich, in dem die Werte der Zufallsgröße \(X\) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75 % liegen.

(5 BE)

Ein Unternehmen lässt im Rahmen von Bewerbungsverfahren graphologische Gutachten zu den Personen erstellen, die sich um eine Stelle bewerben. Im Mittel werden 25 % der Bewerber aufgrund ihres graphologischen Gutachtens abgewiesen. Für eine Stelle bewerben sich 20 Personen.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl derjenigen Bewerber, die aufgrund ihres graphologischen Gutachtens abgelehnt werden, kleiner als die dafür im Mittel zu erwartende Anzahl ist.

(3 BE)

Bestimmen Sie unter Verwendung dieser Binomialverteilung die kleinste Geschwindigkeit \(v^{*}\), für die die folgende Aussage zutrifft: „Bei mehr als 95 % der erfassten Fahrten wird \(v^{*}\) nicht überschritten."

(2 BE)

Die Schulleitung fordert, den Vortest so zu gestalten, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, den Vortest zu bestehen, für einen Bewerber, der nur rät, höchstens 3 % beträgt. Man entscheidet sich dafür, die Anzahl vorgelegter Schriftproben auf 30 festzulegen.

Zeigen Sie, dass mit dieser Festlegung die Forderung der Schulleitung erfüllt ist.

(3 BE)

Ein Skeptiker nimmt an, dass der Anteil der Raucherinnen unter den 40- bis 44-jährigen Frauen größer als 30 % ist. Er testet die Nullhypothese \(H_0\,\colon\;p \leq 0{,}3\); dabei gibt \(p\) die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine 40- bis 44-jährige Frau raucht. Im Rahmen des Tests stellt er jeder der zehn ausgewählten Frauen die Frage „Rauchen Sie?" und erhält dabei folgende Antworten: Ja - Nein - Ja - Nein - Ja - Ja - Nein - Nein - Nein - Ja. Untersuchen Sie, ob das Ergebnis der Befragung die Annahme des Skeptikers auf einem Signifikanzniveau von 5 % stützt.

(5 BE)

Zehn 40- bis 44-jährige Frauen wurden zufällig ausgewählt.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

\(A\,\colon\;\)„Unter ihnen sind genau drei Raucherinnen."

\(B\,\colon\;\)„Unter ihnen sind höchstens vier Raucherinnen." 

(4 BE)

Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind 4 % der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.

50 Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

\(A\):  „Genau zwei der Teile sind fehlerhaft."

\(B\):  „Mindestens 6 % der Teile sind fehlerhaft."

(3 BE)

Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob die Vermutung gerechtfertigt ist, soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens 4 %." auf der Grundlage einer Stichprobe von 200 Teilen auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden.

Bestimmen sie die zugehörige Entscheidungsregel.

(4 BE)

Im Eingangsbereich des Freizeitparks können Bollerwagen ausgeliehen werden. Erfahrungsgemäß nutzen 15 % der Familien dieses Angebot. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Bollerwagen, die von den ersten 200 Familien, die an einem Tag den Freizeitpark betreten, entliehen werden. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass eine Familie höchstens einen Bollerwagen ausleiht und dass die Zufallsgröße \(X\) binomialverteilt ist.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 Bollerwaagen ausgeliehen werden. 

(2 BE)

Im Dezember 2021 wurden in Norwegen rund 14 000 Pkw neu zugelassen. In einer vereinfachten Übersicht sind die Anteile der verschiedenen Antriebsarten an diesen Neuzulassungen dargestellt.

Für eine Untersuchung werden aus diesen Neuzulassungen 200 Fahrzeuge zufällig ausgewählt und deren Besitzer nach den Gründen für die Wahl der Antriebsart befragt. Da aus einer großen Anzahl von Fahrzeugen nur verhältnismäßig wenige ausgewählt werden, wird das Urnenmodell „Ziehen mit Zurücklegen" verwendet.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

\(D\): „Unter den ausgewählten Pkw befinden sich sieben oder acht Verbrenner mit Dieselmotor."

\(E\): „Unter den ausgewählten Pkw befinden sich mehr als 135 mit rein elektrischem Antrieb."

(4 BE) 

Liegt in einer Stichprobe von 50 Geschwindigkeitsmessungen die Zahl der Tempoverstöße um mehr als eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert, geht die Polizei davon aus, dass wirksam vor der Geschwindigkeitskontrolle gewarnt wurde, und bricht die Kontrolle ab. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Geschwindigkeitskontrolle fortgeführt wird, obwohl die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Tempoverstoß begangen wird, auf 10 % gesunken ist.

(5 BE)