Mathematik Abitur Bayern 2023

(3 BE) 

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform sowie die Größe \(\varphi\) des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt.

(zur Kontrolle: \(x_1+x_2+x_3-19= 0; \enspace \varphi \approx 55^{\circ}\))

(6 BE) 

Gegeben sind die Punkte \(A(19|0|0)\), \(B(0|19|0)\), \(E(12|0|7)\) und \(F(0|12|7)\) (vgl. Abbildung 1). Das Viereck \(ABFE\) liegt in der Ebene \(L\).

Weisen Sie nach, dass das Viereck \(ABFE\) ein Trapez mit zwei gleich langen Seiten ist.

(3 BE) 

Im Dezember 2021 wurden in Norwegen rund 14 000 Pkw neu zugelassen. In einer vereinfachten Übersicht sind die Anteile der verschiedenen Antriebsarten an diesen Neuzulassungen dargestellt.

Für eine Untersuchung werden aus diesen Neuzulassungen 200 Fahrzeuge zufällig ausgewählt und deren Besitzer nach den Gründen für die Wahl der Antriebsart befragt. Da aus einer großen Anzahl von Fahrzeugen nur verhältnismäßig wenige ausgewählt werden, wird das Urnenmodell „Ziehen mit Zurücklegen" verwendet.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

\(D\): „Unter den ausgewählten Pkw befinden sich sieben oder acht Verbrenner mit Dieselmotor."

\(E\): „Unter den ausgewählten Pkw befinden sich mehr als 135 mit rein elektrischem Antrieb."

(4 BE) 

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) kann mit dem Term \(6 \cdot 6 - \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 - 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6\) berechnet werden. Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.

(3 BE) 

Die vier Seiten eines regelmäßigen Tetraeders sind mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4 durchnummeriert. Das Tetraeder wird fünfmal geworfen.

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\left( \dfrac{3}{4} \right)^5\) berechnet werden kann, und begründen Sie Ihre Angabe. 

(2 BE) 

Der Graph einer Stammfunktion von \(g\) verläuft durch \(P\). Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2.

(3 BE) 

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2e^{-\frac{1}{8}x^2}\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\), der die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote besitzt.

Abb. 1

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_f\) mit der \(y\)-Achse und weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_f\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist.

(2 BE) 

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt.

(3 BE) 

Geben Sie alle Werte von \(k\) an, für die der Graph von \(f_k\) und der Graph der Umkehrfunktion von \(f_k\) keinen gemeinsamen Punkt haben.

(2 BE) 

Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt.

(5 BE) 

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{(x - 3)}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\) und Ableitungsfunktion \(f'\).

Geben Sie \(D\) sowie die Nullstelle von \(f\) an. 

(2 BE) 

Der Körper wird so um die Gerade \(AB\) gedreht, dass der mit \(D\) bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt und dabei eine positive \(x_2\)-Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der Drehung:

\(\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = 0 \; \Leftrightarrow \; \lambda = 0{,}8\), d. h. \(S(4{,}8|3{,}6|0)\)

\(\overrightarrow{T} = \overrightarrow{S} + \vert \overrightarrow{CS} \vert \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und geben Sie die Bedeutung von \(S\) an.

(3 BE) 

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{e^x}{e^x - 2}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).

Bestimmen Sie \(D\) und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von \(f\) mit der \(y\)-Achse an.

(3 BE) 

Der Graph einer Stammfunktion von \(g\) verläuft durch \(P\). Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2.

(3 BE) 

Bestimmen Sie die Koordinaten zweier Punkte \(C\) und \(D\) so, dass \(C\) auf \(h\) liegt und das Viereck \(ABCD\) eine Raute ist.

(4 BE) 

Begründen Sie dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist, und zeigen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

Für jeden geraden Wert von \(k\) mit \(k \geq 4\) stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für \(k\) und der Flächeninhalt des Trapezes für \(k + 1\) überein.

(7 BE) 

Abb. 3

Geben Sie die Breite und Höhe der Vorderseite der Dachgaube an.

(2 BE) 

Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist. Begründen Sie Ihre Angabe.

(2 BE) 

Tatsächlich ist der Anteil der Beschäftigten mit einem Jobticket an beiden Standorten unterschiedlich; am Standort B besitzt nur die Hälfte der Beschäftigten ein Jobticket. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Beschäftigter des Autozulieferers, der ein Jobticket besitzt, am Standort A arbeitet.

(3 BE)