Mathematik Abitur Bayern 2023

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{(x - 3)}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\) und Ableitungsfunktion \(f'\).

Geben Sie \(D\) sowie die Nullstelle von \(f\) an. 

(2 BE) 

Ermitteln Sie diejenige Stelle \(x \in D\), für die \(f'(x) = 2\) gilt.

(3 BE) 

Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{0\}\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{x^2} - 1\).

Geben Sie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) sowie die Wertemenge von \(g\) an.

(2 BE) 

Berechnen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{2}g(x)dx\).

(3 BE) 

Begründen Sie, dass der Grad von \(f\) mindestens 3 ist.

(2 BE)

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von \(f\).

(3 BE) 

Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h(x) = -g(x - 3)\) an.

(2 BE) 

Der Graph einer Stammfunktion von \(g\) verläuft durch \(P\). Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2.

(3 BE) 

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{e^x}{e^x - 2}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).

Bestimmen Sie \(D\) und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von \(f\) mit der \(y\)-Achse an.

(3 BE) 

Geben Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von \(f\) an.

(2 BE) 

Gegeben ist die in \(\mathbb R_0^+\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \sqrt{x} + 1\).

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \((1|g(1))\).

(3 BE) 

Die Funktion \(g\) ist umkehrbar. Die Umkehrfunktion \(g^{-1}\) von \(g\) ist in \([1;+\infty[\) definiert. Bestimmen Sie einen Term von \(g^{-1}\).

(2 BE) 

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion  \(f \colon x \mapsto -x^2 + 2ax\) mit \(a \in \; ]1;+\infty[\). Die Nullstellen von \(f\) sind \(0\) und \(2a\).

Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt, den Inhalt \(\frac{4}{3}a^3\) hat.

(2 BE) 

(3 BE) 

Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h(x) = -g(x - 3)\) an.

(2 BE) 

Der Graph einer Stammfunktion von \(g\) verläuft durch \(P\). Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2.

(3 BE) 

Die vier Seiten eines regelmäßigen Tetraeders sind mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4 durchnummeriert. Das Tetraeder wird fünfmal geworfen.

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\left( \dfrac{3}{4} \right)^5\) berechnet werden kann, und begründen Sie Ihre Angabe. 

(2 BE) 

Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass jede Zahl mindestens einmal erzielt wird.

(3 BE) 

In einen leeren Behälter werden drei Kugeln gelegt. Dabei wird die Farbe jeder Kugel durch Werfen eines Würfels festgelegt, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind: Wird die „1" oder die „2" erzielt, wird eine gelbe Kugel gewählt, sonst eine schwarze.

Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich nun mindestens zwei schwarze Kugeln im Behälter befinden, \(\large{\frac{20}{27}}\) beträgt.

(2 BE) 

Aus dem Behälter werden zwei der drei Kugeln zufällig entnommen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide entnommenen Kugeln schwarz sind.

(3 BE)