Mathematik Beispiel-Abitur Bayern 2026

Eine in \(\mathbb R\) definierte ganzrationale Funktion \(g\) hat die folgenden Eigenschaften:

• \(t\) ist Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \(\big(\frac{9}{4} \big| 0\big)\).
• Der Graph von \(g\) verläuft für \(0 < x < \frac{9}{4}\) oberhalb von \(t\).

Geben Sie einen möglichen Term von \(g\) an.

(3 BE)

Die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(\big(\frac{9}{4}\big|0\big)\) wird mit \(t\) bezeichnet.

Weisen Sie nach, dass \(t\) durch den Punkt \(\big(0 \big| \frac{27}{8}  \big)\) verläuft. Begründen Sie, dass der Inhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im ersten Quadranten mit \(t\) und der \(y\)-Achse einschließt, kleiner als \(\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{27}{8}\) ist.

(5 BE)

Die Bigband einer Schule nimmt anlässlich des 50-jährigen Jubiläums der Schule eine CD mit zehn Musikstücken auf; vier dieser Stücke sind kurz, sechs lang. Diese CD wird in großer Anzahl hergestellt.

Bei der Jubiläumsfeier werden von einer dieser CDs in zufälliger Reihenfolge Stücke abgespielt, wobei jedes Stück mehrfach abgespielt werden kann.

Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter zwölf abgespielten Stücken

• genau fünf lange Stücke befinden.
• mehr lange als kurze Stücke befinden.

(4 BE)

Ermitteln Sie den größtmöglichen Wert von \(k\), für den \(P_{0{,}1}^{200}(Y \geq k) > 0{,}8\) gilt, und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(4 BE)

(2 BE)

Die Seitenfläche \(ADT\) liegt in der Ebene \(F\). Geben Sie einen Normalenvektor von \(F\) an und begründen Sie Ihre Angabe, ohne die Koordinaten von \(A\) und \(D\) zu verwenden. Bestimmen Sie denjenigen Wert von \(k\), für den \(E_k\) senkrecht zu \(F\) steht.

(4 BE)

\(E\) gehört zur Schar der Ebenen \(E_k \colon ky - 5z = 5k - 60\) mit \(k \in \mathbb R\). Die Strecke \(\overline{BC}\) liegt auf jeder Ebene dieser Schar.

Ermitteln Sie diejenigen Werte von \(k\), für die \(E_k\) mit der Seitenfläche \(ADS\) mindestens einen Punkt gemeinsam hat.

(4 BE)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Seitenfläche \(BCT\) mit der Fläche \(ABCD\) einschließt.

(3 BE)

(3 BE)

Gegeben sind die Punkte \(A(5|-5|12)\), \(B(5|5|12)\) und \(C(-5|5|12)\).

Begründen Sie, dass \(A\), \(B\) und \(C\) Eckpunkte eines Quadrats sein können, und geben Sie die Koordinaten des vierten Eckpunkts \(D\) dieses Quadrats an. 

(4 BE)

Bei der Weinlese steht ein Arbeiter auf dem Hang an einer Stelle, die durch den Punkt \(P(5{,}75|-2{,}5|6)\) beschrieben wird. Er stellt sich dort auf seine Zehenspitzen und versucht, aus einer Blickhöhe von zwei Metern die Burg zu sehen. Beurteilen Sie, ob der Hang dabei die freie Sicht auf die höchste Stelle der vorderen Fassade der Burg verhindert.

(5 BE)

Der durch das Trapez \(ABCD\) beschriebene Hang wird auf seiner gesamten Fläche für den Weinanbau genutzt. Berechnen Sie den Inhalt der Weinanbaufläche des Hangs in Hektar und untersuchen Sie mithilfe der folgenden Tabelle, um welche Art von Weinanbaulage es sich handelt.

(5 BE)

In einem Modell stellt die \(x_1x_2\)-Ebene die horizontale Grundfläche dar, auf der sich ein Hügel erhebt. Ein Hang des Hügels wird durch das Trapez \(ABCD\) dargestellt. Auf einem parallel zur Grundfläche verlaufenden Plateau, das durch ein Viereck mit \(C\) und \(D\) als Eckpunkten beschrieben wird, steht eine Burg. Die höchste Stelle der vorderen Fassade der Burg wird dabei durch den Punkt \(S(-6|2|12)\) dargestellt (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit entspricht 10 m in der Realität.

Bestimmen Sie die Höhe der vorderen Burgfassade an ihrer höchsten Stelle in Metern.

(2 BE)

Das Trapez \(ABCD\) liegt in der Ebene \(H\).

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(H\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(H \colon 8x_1 + 15x_3 - 136 = 0\))

(3 BE)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Trapezes \(ABCD\).

(zur Kontrolle: 374)

(3 BE)

Gegeben sind die Punkte \(A(17|-10|0)\), \(B(17|20|0)\), \(C(2|4|8)\) und \(D(2|-10|8)\). Es gilt \(\overline{AB} \parallel \overline{CD}\), somit ist das Viereck \(ABCD\) ein Trapez.

Zeigen Sie, dass das Trapez \(ABCD\) bei \(D\) einen rechten Innenwinkel hat.

(2 BE)

Es gibt Werte von \(b\), für die die Bigband bei vielfacher Durchführung des Spiels im Mittel pro CD die gleichen Einnahmen erwarten könnte wie beim Verkauf der CD. Geben Sie eine Gleichung an, mit der diese Werte von \(b\) berechnet werden könnten.

(3 BE)

Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei diesem Spiel eine CD zu erhalten, mithilfe des Terms \(\dfrac{3}{4\pi^2}b^2 - \dfrac{3}{8\pi^3}b^3\) berechnet werden kann.

(4 BE)

Beschreiben Sie die Bedeutung des Fehlers zweiter Art im Sachzusammenhang und ermitteln Sie den Bereich, in dem der Tatsächliche Anteil fehlerhafter Hüllen liegen müsste, damit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art kleiner als 25 % ist.

(6 BE)

Als die CDs vor der Jubiläumsfeier geliefert wurden, entdeckten die Mitarbeiter der Bigband unter den ersten 20 betrachteten CDs ein Exemplar mit fehlerhafter Hülle und befürchteten, dass mindestens 5 % aller Hüllen fehlerhaft sind. Sie planten deshalb, die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Hüllen ist kleiner als 5 %." mithilfe einer Stichprobe von 150 CDs auf einem Signifikanzniveau von 10 % zu testen. Sollte das Ergebnis des Tests dafür sprechen, dass die Befürchtung zutrifft, wollten sie beim Hersteller einen Preisnachlass verlangen.

Begründen Sie, dass die Nullhypothese genau dann abgelehnt wird, wenn mindestens zwölf Hüllen fehlerhaft sind.

(3 BE)