Vereinigungsmenge

  • Beim Fernsehsender „Sport TV" treten bei Live-Übertragungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % Bildstörungen auf. Wenn das Bild gestört ist, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % auch zu Tonstörungen. Bei 13,6 % der Übertragungen kommt es zu Bild- oder Tonstörungen.

    Betrachte werden folgende Ereignisse:

    \(B\): „Es tritt eine Bildstörung bei der Live-Übertragung auf",

    \(T\): „Es tritt eine Tonstörung bei der Live-Übertragung auf".

    a) Zeigen Sie, dass bei 12 % aller Live-Übertragungen Tonstörungen auftreten.

    b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Live-Übertragung

    1. ein einwandfreies Bild empfangen wird, falls der Ton gestört ist.
    2. Bild oder Ton einwandfrei empfangen werden.

    c) Untersuchen Sie, ob die Ereignisse \(B\) und \(T\) stochastisch unabhängig sind.

  • Aufgabe 1

    Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = -\dfrac{3}{x - 2}\).

    a) Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}f(x)\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x)\). Beschreiben Sie Ihre Ergebnisse in Worten und interpretieren Sie diese graphisch.

    b) Der Graph der Funktion \(g\) geht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch Verschiebung in \(x\)-Richtung und in \(y\)-Richtung hervor, wobei er die Asymptoten mit den Gleichungen \(x = 3\) und \(y = -2\) besitzt. Geben Sie die zugehörige Verschiebung in \(x\)-Richtung und in \(y\)-Richtung an sowie einen Funktionsterm von \(g\).

    c) Der Graph der Funktion \(h\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch eine Streckung mit dem Faktor 3 in \(y\)-Richtung und eine anschließende Verschiebung um 2 in \(y\)-Richtung. Der Graph der Funktion \(k\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch die angegebene Streckung und Verschiebung in umgekehrter Reihenfolge. Entscheiden Sie, ob folgende Aussage richtig ist: „Die Funktionsterme von \(h\) und \(k\) unterscheiden sich." Begründen Sie ihre Entscheidung.

     

    Aufgabe 2

    Graph einer Funktion f, Auf Stetigkeit zu beurteilende Stellen x₁,x₂ und x₃

    a) Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). Erläutern Sie anhand des Graphen, ob die Funktion \(f\) an den Stellen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) jeweils stetig ist.

    b) Gegeben ist die Funktion

    \[g \colon x \mapsto \begin{cases} \begin{align*} &ax + a &&\text{für} \; x < 1 \\[0.8em] &-2 &&\text{für}\;1 \leq x < 5 \\[0.8em] &b \cdot (x^3 - 10x^2 + 25x)-2 &&\text{für}\;x \geq 5 \end{align*} \end{cases}\enspace\text{mit}\;a, b \in \mathbb R\]

    Bestimmen Sie den Wert von \(a\) so, dass \(g\) an der Stelle \(x = 1\) stetig ist und zeigen Sie, dass \(g\) an der Stelle \(x = 5\) unabhängig vom Wert von \(b\) stetig ist.

      

    Aufgabe 3

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x(x-3)}{(x-2)^2}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f\).

    a) Geben Sie \(D_f\) an und entscheiden Sie, welcher der Graphen I bis IV den Graphen der Funktion \(f\) darstellt. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

    Klausur Q11/1-005 Aufgabe1 Graph I

    Klausur Q11/1-005 Aufgabe1 Graph II

     

    Klausur Q11/1-005 Aufgabe1 Graph III

    Klausur Q11/1-005 Aufgabe1 Graph IV

    b) Graph IV zeigt den Graphen einer gebrochenrationalen Funktion \(g\), der eine schräge Asymptote mit der Gleichung \(y = -x + 4\) besitzt. Die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von \(g\) mit den Koordinatenachsen sowie die Polstelle von \(g\) sind ganzzahlig.

    Geben Sie an, welcher der folgenden Funktionsterme die Funktion \(g\) beschreibt.

    \[\text{A}\quad\frac{1}{x - 2} -x +4\]

    \[\text{B}\quad-\frac{1}{x-2} -x +4\]

    \[\text{C}\quad\frac{1}{2-x} +x - 4\]

    \[\text{D}\quad\frac{1}{2-x}-x-4\]

     

    Aufgabe 4

    Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{-2x-4}{x^3+6x^2+9x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

    a) Geben Sie die Nullstelle von \(f\) an. Untersuchen Sie \(f\) auf Polstellen und geben Sie \(D_f\) an. Bestimmen Sie das Verhalten von \(G_f\) an den Definitionslücken.

    b) Untersuchen Sie \(G_f\) auf schräge oder waagrechte Asymptoten.

    c) Berechnen Sie \(f(-4)\) und \(f(1)\) und zeichnen Sie \(G_f\) im Bereich \(-7 < x < 4\) in ein Koordinatensystem.

     

    Aufgabe 5

    a) Bestimmen Sie den Grenzwert \(\lim \limits_{x\,\to\,2} f(x)\) mit \(f(x) = \dfrac{4x^2-6x-4}{x-2}\).

    (Zwischenergebnis: \(x = 2\) ist Nullstelle von \(f\))

    b) Die Grenzwertbetrachtung lässt auf eine besondere Eigenschaft der gebrochrationalen Funktion \(f\) schließen. Geben sie diese an und beschreiben Sie kurz wie sich der Graph von \(f\) an der Stelle \(x = 2\) verhält.

     

    Aufgabe 6

    Beim Fernsehsender „Sport TV" treten bei Live-Übertragungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % Bildstörungen auf. Wenn das Bild gestört ist, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % auch zu Tonstörungen. Bei 13,6 % der Übertragungen kommt es zu Bild- oder Tonstörungen.

    Betrachte werden folgende Ereignisse:

    \(B\): „Es tritt eine Bildstörung bei der Live-Übertragung auf",

    \(T\): „Es tritt eine Tonstörung bei der Live-Übertragung auf".

    a) Zeigen Sie, dass bei 12 % aller Live-Übertragungen Tonstörungen auftreten.

    b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Live-Übertragung

    1. ein einwandfreies Bild empfangen wird, falls der Ton gestört ist.
    2. Bild oder Ton einwandfrei empfangen werden.

    c) Untersuchen Sie, ob die Ereignisse \(B\) und \(T\) stochastisch unabhängig sind.

  • Die beiden Diagramme zeigen für die Bevölkerungsgruppe der über 14-jährigen in Deutschland Daten zur Altersstruktur und zum Besitz von Mobiltelefonen.

    Diagramme zu Teilaufgabe 1 Stochastik 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2015

    Aus den über 14-jährigen in Deutschland wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

    \(M\): „Die Person besitzt ein Mobiltelefon."

    \(S\): „Die Person ist 65 Jahre oder älter."

    \(E\): „Mindestens eines der Ereignisse \(M\) und \(S\) tritt ein."

    Geben Sie an, welche zwei der folgenden Mengen I bis VI jeweils das Ereignis \(E\) beschreiben.

    \[\textsf{I}\enspace \, \quad M \cap S\]

    \[\textsf{II} \;\, \quad M \cup S\]

    \[\textsf{III} \quad \overline{M \cup S}\]

    \[\textsf{IV} \quad (M \cap \overline{S}) \cup (\overline{M} \cap S) \cup (\overline{M} \cap \overline{S})\]

    \[\textsf{V} \; \quad (M \cap S) \cup (M \cap \overline{S}) \cup (\overline{M} \cap S)\]

    \[\textsf{VI} \quad \overline{M \cap S}\]

     

    (2 BE)

  • Drücken Sie jedes der beiden folgenden Ereignisse unter Verwendung der Mengenschreibweise durch \(\mathbf{T}\) und \(\mathbf{E}\) aus.

    \(A\): „Das Kind hat sich in keine der Listen eingetragen."

    \(B\): „Das Kind hat sich in genau eine Liste eingetragen."

    (3 BE)

  • Bei Flugzeugen eines anderen Typs Y liegt ein Mangel der Klimaanlage mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % vor. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer der beiden Mängel vorliegt, beträgt 5 %. Wenn mindestens einer der beiden Mängel vorliegt, so funktioniert mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % die Beleuchtung nicht einwandfrei. Stellen Sie zu der für Flugzeuge des Typs Y beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf.

    (5 BE)

  • Bei 0,074 % der neugeborenen Kinder liegt eine bestimmte Stoffwechselstörung vor. Wird diese Störung frühzeitig erkannt, lässt sich durch eine geeignete Behandlung eine spätere Erkrankung vermeiden. Zur Früherkennung kann zunächst ein einfacher Test durchgeführt werden. Zeigt das Ergebnis des Tests die Stoffwechselstörung an, so bezeichnet man es als positiv.

    Liegt bei einem neugeborenen Kind die Stoffwechselstörung vor, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,5 % positiv. Liegt bei einem neugeborenen Kind die Stoffwechselstörung nicht vor, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis irrtümlich positiv ist, 0,78 %.

    Bei einem zufällig ausgewählten neugeborenen Kind wird der Test durchgeführt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

    \(S\): „Die Stoffwechselstörung liegt vor."

    \(T\): „Das Testergebnis ist positiv."

    Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{S \cup T}\) im Sachzusammenhang.

    (2 BE)