Verbindungsvektor

  • Der Punkt \(A(4|-1|0)\) ist Mittelpunkt der Kugel \(K\), auf deren Oberfläche der Punkt \(B(-1|1|4)\) liegt. 

    Ermitteln Sie die Koordinaten eines weiteren Punktes \(C\), der ebenfalls auf der Kugeloberfläche liegt.

  • Gegeben sind die Punkte \(A(-3|-1|4)\), \(B(0|6|5)\) und \(C(3|2|1)\).

    a) Prüfen Sie, ob die drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) auf einer Gerade liegen.

    b) Eine Gleichung der Gerade \(AB\) in Parameterform ist gegeben mit \(AB \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}; \; \lambda \in \mathbb R\). Beschreiben Sie ausgehend von dieser Geradengleichung die Strecke [AB].

  • In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte \(A(6|3|3)\), \(B(3|6|3)\) und \(C(3|3|6)\) das gleichseitige Dreieck \(ABC\) fest.

    Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebenen \(E\), in der das Dreieck \(ABC\) liegt, in Normalenform.

    (mögliches Ergebnis: \(E \colon x_{1} + x_{2} + x_{3} - 12 = 0\))

    (4 BE)

  • Spiegelt man die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) am Symmetriezentrum \(Z(3|3|3)\), so erhält man die Punkte \(A'\), \(B'\) bzw. \(C'\).

    Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte \(A\), \(B\) und \(Z\) liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke \([CC']\) senkrecht auf dieser Ebene steht.

    (3 BE)

  • Der Torwart führt den Abstoß aus. Der höchste Punkt der Flugbahn des Balls wird im Modell durch den Punkt \(H(50|70|15)\) beschrieben.

    Ermitteln Sie eine Gleichung der durch die Punkte \(W_{1}\), \(W_{2}\) und \(K_{2}\) festgelegten Ebene \(E\) in Normalenform und weisen Sie nach, dass \(H\) unterhalb von \(E\) liegt.

    (Mögliches Teilergebnis: \(E \colon x_{2} + 5x_{3} - 150 = 0\))

    (7 BE)

  • Auf der Strecke \([AB]\) gibt es einen Punkt \(D\), der von \(B\) dreimal so weit entfernt ist wie von \(A\). Bestimmen Sie die Koordinaten von \(D\).

    (2 BE)

  • Gegeben sind die Punkte \(A(2|1|-4)\), \(B(6|1|-12)\) und \(C(0|1|0)\).

    Weisen Sie nach, dass der Punkt \(C\) auf der Geraden \(AB\), nicht aber auf der Strecke \([AB]\) liegt.

    (3 BE)

  • Gegeben sind die beiden bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene symmetrisch liegenden Punkte \(A(2|3|1)\) und \(B(2|-3|1)\) sowie der Punkt \(C(0|2|0)\).

    Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) bei \(C\) rechtwinklig ist.

    (3 BE)

  • In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A(0|0|1)\), \(B(2|6|1)\), \(C(-4|8|5)\) und \(D(-6|2|5)\) gegeben. Sie liegen in einer Ebene \(E\) und bilden ein Viereck \(ABCD\), dessen Diagonalen sich im Punkt \(M\) schneiden.

    Begründen Sie, dass die Gerade \(AB\) parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene verläuft.

    (1 BE)

  • Weisen Sie nach, dass das Viereck \(ABCD\) ein Rechteck ist. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(M\).

    (4 BE)

  • Bestimmen Sie eine Gleichung der Symmetrieachse \(g\) des Dreiecks \(CDS\).

    (2 BE)

  • Die Strecke \([PQ]\) mit den Eigenschaften \(P(8|-5|1)\) und \(Q\) ist Durchmesser einer Kugel mit Mittelpunkt \(M(5|-1|1)\).

    Berechnen Sie die Koordinaten von \(Q\) und weisen Sie nach, dass der Punkt \(R(9|-1|4)\) auf der Kugel liegt.

    (3 BE)

  • Ermitteln Sie die Koordinaten des Eckpunkts \(S\) der Raute \(PQRS\). Zeigen Sie, dass \(PQRS\) kein Quadrat ist.

    (2 BE)