Varianz einer Zufallsgröße

Die Varianz von \(Y\) ist gleich \(\frac{11}{8}\).

Bestimmen Sie die Werte von \(a\) und \(b\).

(5 BE)

Bei einer Werbeaktion werden den Fruchtgummitüten Rubbellose beigelegt. Beim Freirubbeln werden auf dem Los bis zu drei Goldäpfel sichtbar. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln sichtbar werden. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\).

Die Zufallsgröße \(X\) hat den Erwartungswert 1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(p_{0}\) und \(p_{1}\) und berechnen Sie die Varianz von \(X\).

(3 BE)

Ohne Kenntnis des Erwartungswerts ist die Varianz in der Regel nicht aussagekräftig. Daher wird für den Vergleich verschiedener Zufallsgrößen oft der Quotient aus der Standardabweichung und dem Erwartungswert betrachtet, der als relative Standardabweichung bezeichnet wird.

Die Zufallsgröße \(Y_{n}\) beschreibt die Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln von \(n\) Losen sichtbar werden. Es gilt \(E(Y_{n}) = n\) und \(Var(Y_{n}) = n\). Bestimmen Sie den Wert von \(n\), für den die relative Standardabweichung 5 % beträgt.

(2 BE)

Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße \(X\), die nur die Werte \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) und \(5\) annehmen kann.

Die Wahrscheinlichkeiten \(P(X = 4)\) und \(P(X = 5)\) sowie der Erwartungswert und die Varianz von \(X\) sind bekannt. Aus diesen Informationen ergibt sich das folgende Gleichungssystem, mit dem die fehlenden Wahrscheinlichkeiten \(p_1\), \(p_2\) und \(p_3\) berechnet werden können.

\[\textsf{I} \enspace \; \;  p_1+p_2+p_3=0{,}65\]

\[\textsf{II} \enspace \; p_1+2p_2+3p_3=1{,}45\]

\[\textsf{III} \; \, 4p_1+p_2=0{,}6\]

Ermitteln Sie, ohne das Gleichungssystem zu lösen, welche Werte für den Erwartungswert und die Varianz von \(X\) beim Aufstellen des Gleichungssystems verwendet worden sind.

(4 BE)

Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße \(X\).

(Ergebnis: \(E(X) = 2\), \(Var(X) = \frac{6}{11}\))

(3 BE)

Abbildung 2 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße \(Y\) mit den Parametern \(n = 3\) und \(p = \frac{2}{3}\). Zeigen Sie rechnerisch, dass \(Y\) den gleichen Erwartungswert wie die Zufallsgröße \(X\), aber eine größere Varianz als \(X\) besitzt.

Erläutern Sie, woran man durch Vergleich der Abbildungen 1 und 2 erkennen kann, dass \(Var(Y) > Var(X)\) gilt.

(4 BE)