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Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *
f(x)\) Die Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x\,\to\,2} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,2} \dfrac{\textcolor{#0087c1}{\overbrace{4x^2-6x-4}^{\to\,0}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{x-2}_{\to\,0}}}\) führt auf den unbestimmten Ausdruck...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
Abbildung zeigt modellhaft den Verlauf einer Wasserrutsche, der näherungsweise durch die Funktion \(f \colon x \mapsto 0{,}01x^3 -0{,}3x^2 + 2{,}25x\) mit \(D_f = [0:14]\) beschrieben wird. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 0,5 m in der...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
und der Normale bestimmen. Flächeninhalt des Dreiecks \(PQR\) berechnen. Gleichung der Tangente Ansatz: \(y = \textcolor{#cc071e}{m}x + t\) {slider Allgemeine Geradengleichung} Allgemeine Geradengleichung \[y = mx + t\] Wobei \(m\) die Steigung und...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
der Abbildung, dass \(k\) an der Stelle \(x = 6\) nicht differenzierbar ist \[\underbrace{\lim \limits_{\textcolor{#cc071e}{\underset{x \,...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
im Nenner gekürzt. Wenn das einmal nicht funktioniert, liegt ein Rechenfehler vor. \(f(x) = 0{,}5x^2 + 3x\); \(\textcolor{#cc071e}{x_0 = -2}\) 1. Möglichkeit: \(\boldsymbol{h}\)-Methode Der Tipp in der Aufgabenstellung verweist auf die \(h\)-Methode,...

Datenschutzerklärung

Type: Article Author: Christian Rieger Category: AGB Language: *
Datenschutzerklärung 1) Einleitung und Kontaktdaten des Verantwortlichen 1.1 Wir freuen uns, dass Sie unsere Website besuchen und bedanken uns für Ihr Interesse. Im Folgenden informieren wir Sie über den Umgang mit Ihren personenbezogenen Daten bei der...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\(K\), für den \(\overline{KE} = \overline{EF}\) gilt. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(K\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe d 1. Möglichkeit: Einheitsvektor \(\overrightarrow{ED}^{\circ}\) Planskizze (optional): Der Einheitsvektor...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Abb. 1 Der in Abbildung 1 dargestellte Körper wird begrenzt von der quadratischen Grundfläche \(ABCD\) mit \(A(5|5|0)\), \(B(-5|5|0)\), \(C(-5|-5|0)\) und \(D(5|-5|0)\), acht dreieckigen Seitenflächen und einem weiteren Quadrat \(EFGH\) mit...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
der Marmorkugel treten an vier Stellen Wasserfontänen aus. Eine dieser Austrittsstellen wird im Modell durch den Punkt \(L_{0}(1|1|6)\) beschrieben. Die zugehörige Fontäne wird modellhaft durch Punkte \(L_{t}\left(t + 1|t + 1|6{,}2 - 5 \cdot (t -...

Teilaufgabe 4c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Motive auf den Anstecken befinden, ist aus Teilaufgabe 4b bekannt. \[P(\text{„Drei verschiedene Motive"}) = \frac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\] Diese Wahrscheinlichkeit soll größer als 90 % sein. Nach geeigneten Umformungen ergibt die Bedingung eine...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{e^{x}}{e^{x} + 1}\). Ihr Graph wird mit \(G_{g}\) bezeichnet. Zeigen Sie, dass \(g\) streng monoton zunehmen ist und die Wertemenge \(]0;1[\) besitzt. (zur Kontrolle:...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Skizzieren Sie in die Abbildung den Graphen von \(F\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere, dass \(F(1) \approx 3{,}5\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F(x) = 2\) gilt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Skizze des Graphen der Stammfunktion \(F\)...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\) ist diejenige Stammfunktion von \(f\), deren Graph durch den Punkt \(T(-1|2)\) verläuft. Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von \(F\) im Punkt \(T\) einen Tiefpunkt besitzt. (2 BE) Lösung...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie rechnerisch die \(x\)-Koordinaten der beiden Extrempunkte von \(G_{f}\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = (x^{2} - 2x - 1) \cdot e^{-x}\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{-x}; \; D_{f} = \mathbb R\] {slider...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
die Uhrzeit am Nachmittag auf Minuten genau, ab der die Leistung der Anlage weniger als 40 % ihres Tageshöchstwerts von 10 kW beträgt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \(p(x) = \dfrac{40}{(x - 12)^{2} + 4}; \; 4 \leq x \leq 20\) (vgl. Angabe Aufgabe 3)...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(p \colon x \mapsto \dfrac{40}{(x - 12)^{2} + 4}\); die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{p}\) von \(p\). Beschreiben Sie, wie \(G_{p}\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
genau zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat. Dies ist dann der Fall, wenn die quadratische Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{a}x^{2} + 2bx - ac = 0\) mit \(\textcolor{#cc071e}{a \neq 0}\) zwei Lösungen hat. \[f'{a,b,c}(x) = 0 \enspace \Rightarrow...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
des Koordinatenursprungs, aber nicht identisch mit der \(x\)-Achse ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[f_{\textcolor{#cc071e}{a},\textcolor{#0087c1}{b},\textcolor{#e9b509}{c}}(x) = \frac{\textcolor{#cc071e}{a}x + \textcolor{#0087c1}{b}}{x^{2} +...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
einer Funktion \(x \mapsto f(x)\) mit der \(x\)-Achse. An einer Nullstelle gilt: \(f(x) = 0\). {/sliders} \[\textcolor{#0087c1}{b \neq 0} \enspace \Rightarrow \enspace f_{0,\textcolor{#0087c1}{b},c}(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{b}}{x^{2} + c}...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
im Punkt \((0|f(0))\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = -\dfrac{6 \cdot (x^{2} + 4)}{(x^{2} - 4)^{2}}\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = \frac{6x}{x^{2} - 4}\] \[D_{f} = \mathbb R \backslash \{-2;2\} = \;]-\infty;-2[\; \cup \; ]-2;2[\; \cup\;...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\), sowie eine weitere Gerade \(h\), welche parallel zu \(g\) ist und...

Teilaufgabe j

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
j \(x\): Höhe des Bohrlochs über dem Speicherboden in Metern \(f(x)\): Spritzweite in Metern \[f(x) = 2 \cdot \sqrt{10x - x^2}\] Berechnung der Höhen, in denen das Loch gebohrt werden kann, damit die Spritzweite 6 m beträgt Bedingung: \(f(x) = 6\)...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von \(h\): \[\textsf{I}\quad \overrightarrow{Q} = \begin{pmatrix} 11 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -22 \\ 0 \\ 28 \end{pmatrix}, \; t \in [0;1]\] \[\textsf{II}\quad...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
streng monoton steigend. {slider Monotoniekriterium} Anwendung der Differetialrechnung: Monotoniekriterium \(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\) \(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
streng monoton steigend. {slider Monotoniekriterium} Anwendung der Differetialrechnung: Monotoniekriterium \(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\) \(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
da seine Steigung (Steigung der Wendetangente) an der Stelle \(x = 0\) kleiner als \(F'(0) = f(0) = 2\) ist (vgl. Teilaufgabe 1a). Graph III kommt nicht infrage, da dieser in Bereichen streng monoton fallend ist. Wegen \(F'(x) = f(x) =...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Der Körper wird so um die Gerade \(AB\) gedreht, dass der mit \(D\) bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt und dabei eine positive \(x_2\)-Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Sie die \(x_3\)-Koordinate von \(Q\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Planskizze (optional): Das Dreieck \(\textcolor{#cc071e}{FQR}\) hat bei \(\textcolor{#cc071e}{Q}\) einen rechten Winkel, wenn die Verbindungsvektoren...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2e^{-\frac{1}{8}x^2}\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\), der die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote besitzt. Abb. 1 Berechnen Sie die Koordinaten des...

Teilaufgabe 1g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
ersten Ableitung von \(\boldsymbol{f_k}\), dass \(f_k\) für jeden Wert von \(k\) umkehrbar ist. Skizzieren Sie in Abbildung 1 den Graphen der Umkehrfunktion von \(f_0\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1g \[f(x) = 2e^{-\frac{1}{8}x^2}\] \[f_k(x) = f(x) +...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
ausgewählten Fahrzeugen. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von \(X\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[\mu = 200 \cdot 0{,}9 = 180\] \[\sigma = \sqrt{200 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1} \approx 4{,}2\] Ergänzende Erklärung (nicht...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Sie die Koordinaten dieses Punkts und begründen Sie, dass es sich um einen Hochpunkt handelt. (zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\); \(y\)-Koordinate des Hochpunkts: \(10\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe b \[f(x) = 2 \cdot...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate der Staulänge, beschrieben durch die Funktion \(f\), maximal ist. Die...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben sind die Punkte \(P(4|5|-19)\), \(Q(5|9|-18)\) und \(R(3|7|-17)\), die in der Ebene \(E\) liegen, sowie die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -12 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
für den der Graph von \(h'_k\) Tangente an den Graphen von \(h_k\) ist. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[h_k(x) = (x - 3)^k + 1; \;D_{h_k} = \mathbb R, \; k \in \{1;2;3;\dots\}\] Erste Ableitung \(h'_k\) bilden: {slider title="Erste Ableitung...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
In Deutschland waren zu Beginn des Jahres 2021 etwa 320 000 Pkw mit rein elektrischem Antrieb und 280 000 Plug-in-Hybride zugelassen, also insgesamt 600 000 Pkw mit Elektromotor. Der Anteil der Pkw mit Elektromotor am Gesamtbestand aller in Deutschland...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Für einen bestimmten Wert \(n \in \{1;2;3;\dots\}\) werden für \(p \in \;]0;1[\) die binomialverteilten Zufallsgrößen \(Z_p\) mit den Parametern \(n\) und \(p\) betrachtet. Weisen Sie nach, dass unter diesen Zufallsgrößen diejenige mit \(p = 0{,}5\)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}\). Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f\) ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem. Abb. 1 Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = e^{2x + 1}\). Zeigen Sie, dass \(f\) umkehrbar ist, und ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von \(f\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[f(x) = e^{2x + 1}; \; D_{f} =...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(f\). Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Rechnerische Untersuchung des Monotonieverhaltens von \(f\) Gemäß dem...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
das Thema Abstand Punkt - Gerade (vgl. Bestimmung des Abstands zwischen Punkt und Gerade - 3 Möglichkeiten, Abiturskript - 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade) Planskizze (optional): Im Modell entspricht die Länge der kürzestmögliche Strecke von der Uferlinie...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\). Zeigen Sie, dass \(g\) in der Ebene mit der Gleichung \(x_1 +...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
der Ebene \(E\) in Koordinatenform und zeigen Sie, dass die Gerade \(g\) in \(E\) liegt. (zur Kontrolle: \(E \colon 2x_1 - x_2 + 2x_3 + 35 = 0\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform Die Punkte \(P\), \(Q\) und...

2.1.6 Nachweis von Vierecken

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
dass vier bekannte Punkte ein Viereck festlegen, die Punkte also in einer Ebene liegen. (Vorkenntnisse: Abiturskript - 2.1.1 Rechnen mit Vektoren, Abiturskript - 2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren und Abiturskript - 2.1.3 Skalarprodukt von...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Schnittwinkel \(\boldsymbol{\varphi}\) zwischen Gerade und Ebene \[\cos{(90^{\circ} - \varphi)} = \frac{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \vert}{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}}...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Ebene \(E \colon 4x_{1} - 8x_{2} + x_{3} + 50 = 0\) und die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Der Punkt \(T(7|10|0)\) liegt auf der Kante \([A_{3}A_{4}]\). Untersuchen Sie rechnerisch, ob es Punkte auf der Kante \([B_{3}B_{4}]\) gibt, für die gilt: Die Verbindungsstrecken des Punktes zu den Punkten \(B_{1}\) und \(T\) stehen aufeinander...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 1 + 7e^{-0{,}2x}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R_{0}^{+}\); die Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\). Begründen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) waagrechte Asymptote von \(G_{f}\)...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) für \(0 \leq x \leq 3\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d Arithmetisches Mittel der beiden Näherungswerte für \(F(1)\) Näherungswert aus Teilaufgabe 2b:...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Funktion \(x \mapsto \cos{x}\) hervorgeht, und berechnen Sie durch Integration von \(g\) einen weiteren Näherungswert für \(F(1)\). (zur Kontrolle: \(F(1) \approx -\frac{2}{\pi}\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[x \mapsto \cos{x}\] \[g(x) =...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
in \(x = 0\) eine Nullstelle hat, und machen Sie mithilfe des Verlaufs von \(\mathbf{G_{f}}\) plausibel, dass im Intervall \([1;3]\) eine weitere Nullstelle von \(F\) liegt. Geben Sie an, welche besondere Eigenschaft \(G_{F}\) im Punkt \((-1|F(-1))\)...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(G_{f}\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Nach dem Monotoniekriterium lässt sich das Monotonieverhalten von \(G_{f}\) mithilfe der ersten...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\); die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen \(G_{f}\). Bestätigen Sie rechnerisch, dass \(G_{f}\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, und...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Koordinaten des Eckpunkts \(S\) der Raute \(PQRS\). Zeigen Sie, dass \(PQRS\) kein Quadrat ist. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Koordinaten des Eckpunkts \(S\) Der Punkt \(S\) liegt ebenfalls auf der Mittelsenkrechten \(m\) der Strecke \([PR]\) (vgl....

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Integralfunktion \(\displaystyle J \colon x \mapsto \int_{2}^{x} f(t) dt\). Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2, dass \(J(1) \approx -1\) gilt, und geben Sie einen Näherungswert für den Funktionswert \(J(4{,}5)\) an. Skizzieren Sie den Graphen von...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\mathbb R; \; m \in \mathbb R\] Für \(-4 < m...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
auf einen Berührpunkt hinweist. \[f(x) = x^{2} + 4; \; D_{f} = \mathbb R\] \[g_{4}(x) = 4 \cdot x; \; D_{g_{4}} = \mathbb R\] 1. Möglichkeit: Funktionsterme gleichsetzen Für die Berechnung der \(x\)-Koordinate des gemeinsamen Punkts von \(G_{f}\) und...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix}; \;\lambda \in \mathbb R, \; a \in \mathbb R^{+}\) (vgl. Teilaufgabe c) \(T \colon 5x_{1} +...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
mit der Erfolgsquote des Angestellten unzufrieden. Die Inhaberin möchte dem Angestellten das Gehalt kürzen, wenn weniger als 15 % der angesprochenen Besucher Lose kaufen. Die Entscheidung über die Gehaltskürzung soll mithilfe eines Signifikanztests auf...

Teilaufgabe 2f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens 10 %." (vgl. Teilaufgabe 2d) {slider Fehler 1. Art / Fehler 2. Art} Da die Entscheidung über die Annahme oder Ablehnung einer...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens 10 %." mithilfe einer Stichprobe von 200 Personen mit Reservierung auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Vor der...

Teilaufgabe j

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
und kontinuierlich zugeführt. Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto \dfrac{3 \cdot e^{2x}}{e^{2x} + 1} - 1{,}5\) beschreibt für \(x \geq 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration während einer...

Teilaufgabe h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Zeitpunkt, zu dem die zweite Tablette eingenommen werden soll. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe h \[f(x) = \frac{4x}{(x + 1)^{2}}; \; x \in [0;9]\] Die Bedingung \(f(x) = 0{,}75\) legt den spätesten Zeitpunkt \(x\) fest, zu dem die zweite Tablette...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe b \[f(x) = \frac{4x}{(x + 1)^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\] Lage des Extrempunkts von \(G_{f}\) Die notwendige Bedingung für einen...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). Geben Sie das Monotonieverhalten von \(F\) im Intervall \([1;3]\) an. Begründen Sie Ihre Angabe. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \(F\) ist im Intervall \([1;3]\) streng monoton fallend. Begründung...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Die quadratische Gleichung hat keine Lösung (keine Nullstelle), wenn der Wert der sogenannten Diskriminante \(\textcolor{#0087c1}{D}\) der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel) negativ ist. \[\begin{align*}p_{k}(x) &= 0...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). Geben Sie das Monotonieverhalten von \(F\) im Intervall \([1;3]\) an. Begründen Sie Ihre Angabe. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \(F\) ist im Intervall \([1;3]\) streng monoton fallend. Begründung...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
= \mathbb R \backslash \{0\}\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von f. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[f(x) = \frac{e^{2x}}{x};\; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\] Bestimmung der Lage des Extrempunkts Die notwendige Bedingung...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
vorliegenden Situation nötig ist (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Es ist der Flächeninhalt \(A\) des Sonnensegels (Dreieck \(S_{1}S_{2}S_{3}\)) zu berechnen und mit der Herstellerermpfehlung zu vergleichen. Der Flächeninhalt \(A\) lässt sich mithilfe des...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
wobei der Mittelpunktswinkel des roten Sektors wieder doppelt so groß wie der des grünen Sektors ist." \[P(R) = 2p\] \[P(B) = 1 - P(G) - P(R) = 1 - p - 2p = 1 - 3p\] Entsprechend des abgebildeten Teils eines Baumdiagramms gilt nach der ersten Pfadregel:...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Bestimmen sie die zugehörige Entscheidungsregel. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Die Entscheidungsregel wird mithilfe eines Signifikanztests ermittelt. Ein Signifikanztest gibt der Wahrscheinlichkeit für...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gewinn lautet: \[G'(x) = 0\] Gewinnfunktion \(G\) beschreiben: \[\begin{align*}G(x) &= E(x) - K(x) \\[0.8em] &= 23x - (x^{3} - 12x^{2} + 50x + 20) \\[0.8em] &=-x^{3} + 12x^{2} - 27x - 20 \end{align*}\] Im Sachzusammenhang ist der in Teilaufgabe 2c...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\(G_{f}\) geht aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto \frac{1}{18} \cdot (x^{3} - 25x)\) durch Verschiebung in positive \(x\)-Richtung hervor. Ermitteln Sie, um wie viel der Graph von \(g\) dazu verschoben werden...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2 \cdot \left( \left( \ln{x} \right)^{2} - 1\right)\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) von \(f\). Abb. 1 Zeigen Sie, dass \(x = e^{-1}\) und \(x = e\) die einzigen...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\). Die Gerade \(h\) verläuft durch die Punkte \(A\) und \(B\). Zeigen Sie, dass sich...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
\(g\) berührt die Kugel im Punkt \(B(-3|8|2)\). Ermitteln Sie eine mögliche Gleichung von \(g\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Es gibt unendliche viele Geraden, welche die Kugel im Punkt \(B\) berühren. Da eine Tangente an eine Kugel stets senkrecht...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben. Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für...

Teilaufgabe 5a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben. Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *
Beschreiben Sie unter Verwendung einer geeigneten Skizze, wie sich nachweisen lässt, dass eine Gerade orthogonal zu einer Ebene ist. Eine Gerade \(g\) verläuft orthogonal (senkrecht) zu einer Ebene \(E\) \((g \perp E)\), wenn der Richtungsvektor...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *
der Funktion \(f\) an. b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist. Bestimmen Sie den Funktionsterm \(f^{-1}(x)\). Geben Sie die Definitions- und die Wertemenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) an. c) Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-002 Language: *
Lagebeziehung Gerade - Kugel). Anstatt nun relativ aufwendig den Abstand \(d(M;g)\) zu berechnen (vgl. Abiturskript - 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade), ist es einfacher, den Ansatz für die Berechnung der gemeinsamen Punkte der Kugel \(K\) und der Geraden...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-002 Language: *
Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform, in der die Grundfläche \(OPQ\) liegt. (mögliches Ergebnis: \(E \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} = 0\)) b) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Grudfläche \(QPS\) gegenüber der Horizontalen. c) Berechnen...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-001 Language: *
die Ebene \(E\) fest. a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 12\)) b) Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte \(S_{1}\), \(S_{2}\) und \(S_{3}\) der Ebene \(E\)...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-004 Language: *
\quad I'_{0}(x) \geq 0\] {slider Monotoniekriterium} Anwendung der Differetialrechnung: Monotoniekriterium \(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\) \(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-003 Language: *
Erscheint die Eins bei der ersten Drehung, erhält der Spieler 5 €, erscheint die Eins bei der zweiten Drehung, erhält er 1 €.. a) Berechnen Sie den Einsatz des Spiels, sodass das Spiel „fair" ist. b) Der Einsatz des Spiels beträgt nun 1 €. Wie sind die...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-003 Language: *
Gegeben sind die Funktionen \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{3} - 4x\) und \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{2} - x\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g\). a) Berechnen Sie...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-001 Language: *
der Nullstellen von \(G_{f}\) Der Verlauf von \(G_{f}\) zeigt, dass die Funktion \(f\) die einfache Nullstelle \(x = -1\) mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) und die einfache Nullstelle \(x = 1\) mit Vorzeichenwechsel von \(x\) nach \(-\) hat....

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-001 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{20}x^{5} + \dfrac{1}{12}x^{4} - \dfrac{1}{3}x^{3}\). Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und geben Sie das Kümmungsverhalten von...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-001 Language: *
Integrale bzw. die Integrationsgrenze \(a\) mit \(a \in \mathbb N\). Geben Sie exakte Werte an. a) \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{-6x^{2} + 6}{x^{3} - 3x + 3} dx\) b) \(\displaystyle \int_{-a}^{3a} (3t - 2) dt = 4\) c) \(\displaystyle...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
= \mathbb R\] {slider Ableitungregeln} Ableitung einer Potenzfunktion \[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\] Faktorregel \(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\) Summenregel...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
wird die Konzentration \(K\) des Medikaments im Blut eines Patienten gemessen. Die Funktion \(K \colon t \mapsto \dfrac{100t}{t^{2} + 25}\) mit \(t \geq 0\) beschreibt näherungsweise den Verlauf \(K(t)\) der Konzentration des Medikaments in Milligramm...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
&= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{\cancel{x^{2}} \cdot \left( \frac{8}{x}\right)}{\cancel{x^{2}} \cdot \left( 1 + \frac{4}{x^{2}} \right)} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{\overbrace{\frac{8}{x}}^{\to\,0}}{1 +...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *
Die Punkte \(A(3|-1|5)\), \(B(5|3|1)\) und \(C(7|-3|9)\) legen das Dreieck \(ABC\) fest. a) Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist. b) Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks \(ABC\). c) Berechnen Sie die...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *
\Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\] Ableitung einer Potenzfunktion \[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\] Faktorregel \(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\) Summenregel...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x^{2} + 9} - 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet a) Bestimmen Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion \(f\). b) Untersuchen Sie die...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-002 Language: *
der Funktion \(f\) an. b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist. c) Berechnen Sie die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Funktion \(f\) und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion an. Skizzieren Sie den Graphen der...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-002 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f\colon x \mapsto 2(e^{x} - 1)^{2}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(f\) an. b) Ermitteln Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-002 Language: *
oder den Faktor \(-0{,}5\) des anderen Exponenten durch die Zahl \(-0{,}4\). Es ergeben sich somit folgende Funktionen \(f_{1}\) und \(f_{2}\): \[f_{1}(x) = -3 \cdot \left( e^{0{,}5x} + e^{-0{,}5x} \right) + 9\] \[f_{2}(x) = -3 \cdot \left( e^{0{,}4x} +...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-001 Language: *
\mathbb Z, \; n \in \mathbb N\) vorab in der Potenzschreibweise. \[f_{k}(x) = x \cdot \sqrt{k - 2x} = x \cdot (k - 2x)^{\frac{1}{2}}\] 1. Möglichkeit (ohne Formulierung in der Potenzschreibweise) \[f_{k}(x) = x \cdot \sqrt{k - 2x}\] {slider...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
Merkhilfe) {/sliders} {slider Monotoniekriterium} Anwendung der Differetialrechnung: Monotoniekriterium \(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\) \(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
ist. \[\begin{align*}f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4x + 4 &= 0 & &| - 4 \\[0.8em] 4x &= -4 & &| : 4 \\[0.8em] x &= -1 \end{align*}\] oder \[\begin{align*}f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4x + 4 &= 0 \\[0.8em] 4 \cdot (x + 1) &= 0 \\[0.8em] x...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
dieser Eckpunkt des Solarmoduls bei der Drehung des Metallrohrs bewegt, auf Zentimeter genau. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f 1. Lösungsansatz: Lage der Punkte \(A\) und \(M\) betrachten 2. Lösungsansatz: Abstand Punkt - Gerade 1. Möglichkeit:...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Diagonalen \(e\) und \(f\) sind gleich lang und schneiden sich nicht rechtwinklig im Mittelpunkt \(M\) der Diagonalen. 1. Möglichkeit: Zwei Seiten und einen Innenwinkel überprüfen Planskizze: Das Viereck \(ABCD\) ist ein Rechteck, wenn zwei...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A(0|0|1)\), \(B(2|6|1)\), \(C(-4|8|5)\) und \(D(-6|2|5)\) gegeben. Sie liegen in einer Ebene \(E\) und bilden ein Viereck \(ABCD\), dessen Diagonalen sich im Punkt \(M\) schneiden. Begründen...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist höchstens 70 %." auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Dazu werden 100 der verändert aufbereiteten Samenkörner der Qualität B zufällig ausgewählt und gesät. Bestimmen Sie die zugehörige...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Art des Extrempunkts von \(G_{f}\). (Teilergebniss: \(x\)-Koordinate des Extrempunkts: \(\ln 4\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Lage und Art des Extrempunkts des Graphen einer Funktion bestimmen \[f(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 2e^{-x} - 1 \right); \;...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für \(0 \leq t \leq 12\) modellhaft durch die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g \colon t \mapsto 0{,}4 \cdot (2t^{3} - 39t^{2} + 180t)\)...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
für \(x \to +\infty\) an und begründen Sie, dass \([-3;+\infty[\) die Wertemenge von \(h\) ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Monotonieverhalten und Verhalten im Unendlichen des Graphen einer Funktion, Wertemenge einer Funktion Anmerkung: Der...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
an, so dass das Dreieck \(ABD\) bei \(D\) rechtwinklig ist. Begründen Sie Ihre Antwort. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Spiegelung (eines Punktes) an einer Ebene, Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks (Thaleskreis) \(A(2|3|1)\), \(B(2|-3|1)\),...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\). Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben sind die beiden bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene symmetrisch liegenden Punkte \(A(2|3|1)\) und \(B(2|-3|1)\) sowie der Punkt \(C(0|2|0)\). Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) bei \(C\) rechtwinklig ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\). Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Anmerkung: Der Funktionsterm der gesuchten Funktion \(f\) ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung kann entfallen. 1. Möglichkeit: Gebrochenrationale Funktion Beispielsweise erfüllen die Graphen folgender gebrochenrationaler Funktionsterme die...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
anzugeben. Jede Erklärung kann entfallen. Beispielsweise gilt \(\displaystyle \int_{0}^{2} g(x) dx = 0\) für: \[g(x) = x - 1\] oder \[g(x) = (x - 1)^{3}\] oder \[g(x) = \sin(x - 1)\] oder \[g(x) = \sin(\pi \cdot x)\] Erklärung: Der Wert des Integrals...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
c) \(f'(6) > f'(7)\) d) \(f'(4) \approx f'(6)\) e) Der Graph von \(F(x)\) hat an der Stelle \(x = 6\) in etwa die Steigung \(-1\). f) Der Graph von \(F(x)\) hat an der Stelle \(x = 7\) einen Terrassenpunkt. a) \(f'(x)\) hat genau zwei Nullstellen. Die...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
\(x_{0}\) einen Extrempunkt. (vgl. Merkhilfe) {/sliders} Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x = -1\) einen Hochpunkt und an der Stelle \(x = 2\) einen Tiefpunkt. Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) beschreibt die...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto -\dfrac{1}{8}x^{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} - \dfrac{9}{2}x\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion \(f\)...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 3x + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bzgl. des Koordinatensystems. b) Geben Sie die Art und die...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{3x^{2} + 3x - 6}{{(x + 1)}^{2}}\) mit dem maximalen Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Geben Sie \(D_{f}\) an. b) Ermitteln Sie die...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{32}x^{4} - \dfrac{1}{4}x^{2} + 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(f\). b) Untersuchen Sie das Verhalten von \(G_{f}\)...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
Extremstelle(n) von \(f\) an. b) Ermitteln Sie den Funktionsterm der Funktion \(f\), deren Graph \(G_{f}\) durch den Punkt \(P(1|-1)\) verläuft und skizzieren Sie \(G_{f}\). a) Monotonieverhalten und Extremstelle(n) von \(f\) Monotonieverhalten von...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
des Nennerterms nicht definiert. \[\begin{align*} x^{2} - 9 &= 0 &&| + 9 \\[0.8em] x^{2} &= 9 &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm 3 \end{align*}\] oder \[\begin{align*} \underbrace{x^{2} - 9}_{\large{a^{2} \, - \, b^{2}}} &= 0 & &| \; \text{3....

1.7.5 Extrem- / Wendepunkte einer Kurvenschar

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *

1.7.4 Graph einer Scharfunktion mit vorgegebener Steigung

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *
Ableitung \(f'_{k}(x_{0})\) beschreibt die Tangentensteigungen der Kurvenschar an der Stelle \(x_{0}\) (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Tangentensteigung). Folglich muss an der Stelle \(x_{0}\) gelten: \[f'_{k}(x_{0}) = m\] Beispiel: Geben sei...

Copyright

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Copyright Language: *
ist urheberrechtlich geschützt. Die kostenlose Überlassung der Online-Inhalte Abiturlösungen, Abiturskript und Klausuren Q11 / Q12 erfolgt ausschließlich für den persönlichen Gebrauch. Jede andere Verwertung erfordert eine schriftliche Genehmigung. Dies...

Datenschutzerklärung

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Datenschutz Language: *
Datenschutzerklärung 1) Einleitung und Kontaktdaten des Verantwortlichen 1.1 Wir freuen uns, dass Sie unsere Website besuchen und bedanken uns für Ihr Interesse. Im Folgenden informieren wir Sie über den Umgang mit Ihren personenbezogenen Daten bei der...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
= 3\sqrt{2}\) gilt und schlussfolgert daraus, dass das Viereck \(ABA'B'\) ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3\sqrt{2}\) ist. 1. Lösungsansatz: Berücksichtigung der Lage des Punktes \(Z\) (ohne Berechnung von \(A'\) und \(B'\)) Verbindungsvektoren...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
dafür, in einer Flasche eine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens 0,05." auf einem Signifikanzniveau von 1 % durchzuführen. Für den Fall, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt, verspricht der Getränkehersteller,...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Zeigen Sie, dass Bedingung III weder bei der Modellierung mit \(p\) aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit \(k\) erfüllt ist. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Funktionswerte im Sachzusammenhang bewerten \[p(x) = -0{,}2x^{2} + 5; \; D_{p} =...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
einem Meter in der Realität. Für den Tunnelquerschnitt sollen folgende Bedingungen gelten: I Breite des Tunnelbodens: b = 10 m II Höhe des Tunnels an der höchsten Stelle: h = 5 m III Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens 6 m mindestens 4 m...

Teilaufgabe 3d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade \(g\) mit der Gleichung \(y = -\frac{4}{3}x + 12\) modelliert. Zeigen Sie, dass die Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) im Punkt \(R(4|f(4))\) parallel zu \(g\) verläuft....

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
für die \(d(x)\) minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Extremwertaufgabe, Tangentensteigung, Normalensteigung \[d(x) = \sqrt{0{,}04x^{4} - x^{2} + 25}\] 1. Lösungsansatz:...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Sie den Graphen von \(f\) in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: \(-5 \leq x \leq 9\), \(-1 \leq y \leq 13\)) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
von \(G_{f}\) sowie das Verhalten von \(f\) für \(x \to - \infty\) und für \(x \to +\infty\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Symmetrieverhalten und Verhalten im Unendlichen \[f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}; \; D = \mathbb R\]...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d Extrempunkt bestimmen \[f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}; \; D = \mathbb R\] Lage des Extrempunkts von \(G_{f}\) Notwendige Bedingung für eine...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Kugel \[g = AB\] Es sei \(h\) eine der Geraden, für die die Bedingungen I und II gelten. \(h \perp g\), \(d(h;A) = 3\) \(A(-2|1|4)\), \(B(-4|0|6)\) (vgl. Teilaufgabe 2a) Es gibt unendlich viele Geraden, welche die Gerade \(g\) im Punkt \(P\) bzw. \(P'\)...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Kugel \[g = AB\] Es sei \(h\) eine der Geraden, für die die Bedingungen I und II gelten. \(h \perp g\), \(d(h;A) = 3\) \(A(-2|1|4)\), \(B(-4|0|6)\) (vgl. Teilaufgabe 2a) Es gibt unendlich viele Geraden, welche die Gerade \(g\) im Punkt \(P\) bzw. \(P'\)...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
und rechtsgekrümmt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Monoptoniekriterium, Krümmungsverhalten, Entwicklung von Funktionen 1. Lösungsansatz: Monotoniekriterium, Krümmungsverhalten Für die gesuchte Funktion \(h\) muss im gesamten Definitionsbereich...

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\(x_{0}\) einen Punkt \((x_{0}|k'(x_{0})\) des Graphen der Ableitungsfunktion \(k'\). Verhalten von \(G_{k'}\) für \(x < 1\) bzw. \(x \to -6\) Für \(x...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
ist eine in \(\mathbb R\) definierte ganzrationale Funktion \(f\) dritten Grades, deren Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 1\) einen Hochpunkt und an der Stelle \(x = 4\) einen Tiefpunkt besitzt. Begründen Sie, dass der Graph der Ableitungsfunktion...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Zeigen Sie, dass der Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto x^{2} \cdot \sin{x}\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und geben Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} x^{2} \cdot...

1.6.5 Uneigentliches Integral

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.6 Integralrechnung Language: *
dessen Integrandenfunktion an der unteren oder oberen Integrationsgrenze nicht beschränkt ist, heißt uneigentliches Integral. 1. Der Integrationsbereich ist nach mindestens einer Seite nicht beschränkt Ist \(f\) eine im Intervall \([a;+\infty[\) bzw....

3.3.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.3 Zufallsgrößen Language: *
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung (vgl. Merkhilfe) Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2},..., x_{n}\) sind, dann gilt: Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(X\) \[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum...

2.4.4 Abstand Punkt - Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *
den Abstand des Punktes von der Ebene. Abstand eines Punktes von einer Ebene Für den Abstand \(d(P;E)\) eines Punktes \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) zu einer in der Hesseschen Normalenform (HNF) vorliegenden Ebene \(E\) gilt: Vektordarstellung \[E \colon...

2.2.1 Geradengleichung in Parameterform

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.2 Geraden und Ebenen im Raum Language: *
+ \lambda \cdot \overrightarrow{u}; \; \lambda \in \mathbb R\] \[\overrightarrow{u} = k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \enspace k \in \mathbb R \quad \Longrightarrow \quad g \parallel x_{1}\text{-Achse}\] \[\overrightarrow{u} = k \cdot...

2.2.4 Umwandlung: Parameterform - Normalenform

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.2 Geraden und Ebenen im Raum Language: *
\(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) einen Normalenvektor \(n_{E}\) der Ebene \(E\) (vgl. Abiturskript - 2.1.4 Vektorprodukt). \(\overrightarrow{n}_{E} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}\) mit \(\overrightarrow{n}_{E} \perp...

2.1.4 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
= \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\] Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) bilden in dieser...

2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
= \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\] Sind die Koordinaten zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) gegeben, lässt sich das...

2.1.1 Rechnen mit Vektoren

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
im Raum. Sie gelten analog für Vektoren in der Ebene. Schreibweise als Spaltenvektor \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix}\) Die reellen Zahlen \(a_{1}, a_{2}\) und \(a_{3}\) heißen Vektorkoordinaten. Nullvektor...

1.6.1 Stammfunktion

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.6 Integralrechnung Language: *
\(f(x)\), welche sich durch eine additive Konstante \(C\) voneinander unterscheiden. Beispiel: \(f(x) = x^{2}\) \(F(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 5\) ist eine Stammfunktion von \(f(x)\), denn es gilt: \(F'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{2} + 0 = x^{2} = f(x)\)....

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Kurve beginnt. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(B\) und berechnen Sie den Kurvenradius im Modell. (Teilergebnis: \(B\left( -1|2\sqrt{2}|3 \right)\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Koordinaten eines Lotfußpunktes, Abstand Punkt Gerade...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt \(A\) und verläuft entlang der Geraden \(g\). Der Vektor \(\displaystyle...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene \(E \colon x_{1} + x_{3} = 2\), der Punkt \(A\left( 0|\sqrt{2}|2 \right)\) und die Gerade \(\displaystyle g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
mit Kosten verbunden ist, will der Finanzchef der Handelskette einer Beteiligung an der App nur zustimmen, wenn mindestens 15 % der Kunden der Filiale bereit sind, diese App zu nutzen. Der Marketingchef warnt jedoch davor, auf eine Beteiligung an der...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Die Geschäftsführung will im Mittel für einen Einkauf einen Rabatt von 16 % gewähren. Berechnen Sie für diese Vorgabe den Wert der Wahrscheinlichkeit \(p\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses bei vorgegebenem...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Lage und Art eines Extrempunkts bestimmen \[f(x) = x^{4} -2x^{3}\,; \enspace D = \mathbb R\] Lage des Extrempunkts von \(G_{f}\) Notwendige Bedingung für die...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
mit \(n \in \mathbb N\) sowie die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f_{0} \colon x \mapsto x^4 - 2\). Die Abbildungen 1 bis 4 zeigen die Graphen der Funktionen \(f_{0}\), \(f_{1}\), \(f_{2}\) bzw. \(f_{4}\). Ordnen Sie jeder dieser Funktionen den...

Teilaufgabe 3d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
ist weiterhin bekannt, dass die Stammfunktionen \(G\) der Funktion \(g\) Kosinusfunktionen sind: \(\displaystyle G(t) = \frac{1}{4}\cos\left( \frac{\pi}{2}t \right) + C\). Die Funktion, die den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Eigenschaften des Graphen einer Integralfunktion mithilfe des Graphen der Integrandenfunktion bestimmen \[h(x) = \frac{3}{e^{x+1}-1}\,; \enspace D_{h} = ]-1;+\infty[\] \[H_{0}(x) = \int_{0}^{x} h(t)\,dt\,; \enspace x \in D_{h}\] Begründung für α) Der...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Abbildung 1 zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(p \colon x \mapsto 0{,}5 \cdot (x + 2)^2 - 0{,}5\), die die Nullstellen \(x = -3\) und \(x = -1\) hat. Für \(x \in D_{f}\) gilt \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{p(x)}\). Abb. 1...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Betrachtet wird die Pyramide \(ABCDS\) mit \(A\,(0|0|0)\), \(B\,(4|4|2)\), \(C\,(8|0|2)\), \(D\,(4|-4|0)\) und \(S\,(1|1|-4)\). Die Grundfläche \(ABCD\) ist ein Parallelogramm. Weisen Sie nach, dass das Parallelogramm \(ABCD\) ein Rechteck ist. (2 BE)...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) mit \(f(x) = x^2 - x + 1\), \(g(x) = x^3 - x + 1\) und \(h(x) = x^4 + x^2 + 1\). Abbildung 1 zeigt den Graphen einer der drei Funktionen. Geben Sie an, um welche Funktion...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Strecke \([GH]\) den First des Dachs, d.h. die obere waagrechte Dachkante. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m, d.h. das Haus ist 10 m lang. Berechnen Sie den Inhalt derjenigen Dachfläche, die im Modell durch das Rechteck \(BCHG\)...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Dachfläche, auf der die Dachgaube errichtet wird, liegt im Modell in der Ebene \(E\,\colon\, 3x_1 + 4x_3 - 44 = 0\). Die Dachgaube soll so errichtet werden, dass sie von dem seitlichen Rand der Dachfläche, der im Modell durch die Strecke \([HC]\)...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
legen die Punkte \(A\,(4|0|0)\), \(B\,(0|4|0)\) und \(C\,(0|0|4)\) das Dreieck \(ABC\) fest, das in der Ebene \(E\,\colon \, x_1 + x_2 + x_3 = 4\) liegt. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe a 1....

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
einen Computer besitzen. Die Entscheidung über die Bewilligung der finanziellen Mittel soll mithilfe einer Befragung von 100 zufällig ausgewählten 12- bis 19-jährigen Jugendlichen der Kleinstadt getroffen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Weisen Sie nach, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene \(F\) liegt. (mögliches Teilergebnis: \(F\,\colon\, x_1 - x_2 = 0\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Ebene \(E\), Ebene \(F\), Dreieck \(ABC\), Gerde \(g\) (einfallender Lichtstrahl) und Gerade...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Geben Sie das Monotonieverhalten von \(G_f\) und die Wertemenge von \(f\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Monotonieverhalten von \(G_f\) {slider Monotoniekriterium} Anwendung der Differetialrechnung: Monotoniekriterium \(\textcolor{#cc071e}{f'(x)...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
vier Stunden. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2e Näherungsweise grafische Ermittlung der Eigengeschwindigkeit für \(2 < t(x) < 14\) Die zu Beginn der Aufgabengruppe 2 gegebene Abbildung zeigt den Graphen der Funktion \(f\) für \(5 < x...

Teilaufgabe 5a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\(HoP\,(x_N|F(x_N))\). {slider Monotoniekriterium} Anwendung der Differetialrechnung: Monotoniekriterium \(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\) \(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im...

Teilaufgabe 5b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
F'(x) = +\infty\] {slider Monotoniekriterium} Anwendung der Differetialrechnung: Monotoniekriterium \(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\) \(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Der Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h\,\colon x \mapsto -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\) ist die Parabel \(G_h\). Der Graph der in Aufgabe 1e betrachteten Umkehrfunktion \(f^{-1}\) ist ein Teil dieser Parabel. Berechnen Sie die Koordinaten...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
der Kante \([DF]\). Bestimmen Sie \(y_K\) so, dass das Dreieck \(KMP\) in \(M\) rechtwinklig ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Das Dreieck \(KMP\) ist in \(M\) rechtwinklig, wenn die Strecken \([MK]\) und \([MP]\) bzw. die Vektoren...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
ist. Geben Sie die Nullstelle von \(f\) sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von \(G_f\) an. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\,; \quad D_{f} = \mathbb R \,\backslash\,\{-5;5\}\] Maximaler Definitionsbereich \(D_{f}\)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Vektoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{c_t} = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix}\) spannen für jeden Wert...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
ist die Funktion \(\displaystyle f \, \colon x \mapsto \frac{x}{\ln x}\) mit Definitionsmenge \(\mathbb R^+ \, \backslash \{1\}\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von \(f\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[f(x) = \frac{x}{\ln...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
F'(x) = +\infty\] {slider Monotoniekriterium} Anwendung der Differetialrechnung: Monotoniekriterium \(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\) \(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(HoP\,(x_N|F(x_N))\). {slider Monotoniekriterium} Anwendung der Differetialrechnung: Monotoniekriterium \(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\) \(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *
Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(\mathbb W\) hat. \(\mathbb W = [-2;2]\) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b 1. Lösungsansatz: Sinusfunktion oder Kosinusfunktion Eine Sinusfunktion oder eine Kosinusfunktion, die nicht in \(y\)-Richtung...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Sie eine Gleichung einer Geraden \(j\) an, die parallel zu \(H\) durch den Punkt \(Q\) verläuft. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[H\,\colon\; 2x_1 + x_2 - x_3 = 4\,; \qquad Q\,(-3|0|2)\] Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{v}_j\) einer zur Ebene...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Stammfunktion einer Potenzfunktion} Stammfunktion einer Potenzfunktion \[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad F(x) = \frac{1}{r + 1} \cdot x^{r + 1} + C\] \[r \neq -1\] {/sliders} \[t(x) = x^3 \quad \Longrightarrow \quad T(x) = \frac{1}{4} x^4 + C\]...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
der \(x\)-Achse liegt. Berechnen Sie den größtmöglichen Flächeninhalt \(A\) eines solchen Rechtecks. (Ergebnis: \(A = \frac{16}{9}\sqrt{3}\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Flächenstück, das \(G_{h}\) mit der \(x\)-Achse einschließt und Beispiele...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(p\,\colon x \mapsto e^{-\frac{1}{4}x}\) und \(q\,\colon x \mapsto e^{-\frac{1}{4}x} \cdot \cos x\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_q\) von \(q\) füe \(x \geq 0\). Untersuchen Sie das...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
und geben Sie dessen Koordinaten an. (zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate des Hochpunkts: \(\ln 3\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = 3 \cdot \left( 1 - e^{-x} \right) - x\,; \quad D = \mathbb R\] Notwendige Bedingung für einen Extrempunkt von...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
- auch bei unveränderten Flugbahnen - nicht zwingend kollidieren. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Flugbahn von Flugzeug \(F_1\): \[g_1\, \colon \, \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -10 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ 5...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
für die erste Ableitung der Funktion \(I_T\) gilt: \[I'_T(x) = \frac{x^2 \cdot e^{\frac{x}{T}} \cdot \left [ 3 \cdot \left (1 - e^{-\frac{x}{T}} \right ) - \frac{x}{T} \right ]}{\left ( e^{\frac{x}{T}} - 1 \right )^2}\] Vergleichen Sie diesen Term mit...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Berechnen Sie die Größe des Steigungswinkels der Flugbahn von \(F_1\) gegen die Horizontale. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Der Steigungswinkel der Flugbahn von \(F_1\) gegen die Horizontale entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen der Geraden...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
50 km. Berechnen Sie die Länge der Flugstrecke von \(F_2\) in dem vom Radar erfassten Bereich. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe e 1. Lösungsansatz: Betrag eines Vektors / Länge einer Strecke 2. Lösungsansatz: Schnittpunkte einer Geraden mit einer Kugel 3....

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
\leq 0{,}3\) "Ein Skeptiker meint, dass die Raucherrate... höher als 0,3 ist." \(\Longrightarrow \quad\) Gegenhypothese \(H_1\): \(p > 0{,}3\) "Er stellt jeder der 10 ausgewählten Frauen die Frage..." \[\Longrightarrow \quad n = 10\] "......

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Eigenschaften der Graph von \(F\) im Punkt \((a|F(a))\) hat; begründen Sie jeweils Ihre Antwort. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f \[F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt\,; \quad D = \mathbb R\] Die Integralfunktion \(F\) hat an der unteren Integrationsbgrenze...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
\(PUQV\). Beschreiben Sie einen Weg zur Ermittlung der Koordinaten von \(U\) und \(V\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c 1. Lösungsansatz: Länge eines Vektors, Einheitsvektor Da die Längen der Diagonalen eines Rechtecks gleich lang sind, können die...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
\([SB]\) und \([SC]\) sind. Ermitteln Sie den Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d 1. Lösungsansatz: Zweiter Strahlensatz 2. Lösungsansatz: Anwenden des Vektorprodunkts (Flächeninhalt eines...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
sind Parallelogramme. In einem Modell lässt sich der Grundkörper durch einen Spat \(ABCDPQRS\) mit \(A\,(28|0|0)\), \(B\,(28|10|0)\), \(D\,(20|0|6)\) und \(P\,(0|0|0)\) beschreiben (vgl. Abbildung). Die rechteckige Grundfläche \(ABQP\) liegt in der...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 2 Language: *
näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 und anschließend durch Rechnung. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3c \[f(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\,; \quad 0 \leq x \leq 15\] Graphische Lösung Die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte zwischen...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 2 Language: *
Abbildung 2 legt die Vermutung nahe, dass \(G_f\) bezüglich des Schnittpunkts \(P\,(-1|-1)\) seiner Asymptoten symmetrisch ist. Zum Nachweis dieser Symmetrie von \(G_f\) kann die Funktion \(g\) betrachtet werden, deren Graph aus \(G_f\) durch...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 2 Language: *
Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von \(G_f\,\). (8 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\,; \quad D = \mathbb R \, \backslash \, \{-1\}\] Lage der Extrempunkte von \(G_f\) Notwendige...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 1 Language: *
in Kenntnis einiger charakteristischer Eigenschaften gut skizzieren. Eigenschaften der Funktion \(g\,\): \[g(0) = e^{-0} = 1 \quad \Longrightarrow \quad S_y\,(0|1)\] {slider Spiegeln von Funktionsgraphen} Spiegeln von Funktionsgraphen Spiegelung an der...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von \(G_f\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = 2e^{-0{,}5x^2} \cdot (1 - x^2)\,\); y-Koordinate des Hochpunkts: \(\frac{2}{\sqrt{e}}\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\,;...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
Funktionsterms von \(f\) plausibel, dass \(\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} f(x) = 0\) gilt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\,; \quad D = \mathbb R\] Nachweis der Punktsymmetrie von \(G_f\) {slider Symmetrie von...

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *
Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\). Skizzieren Sie in Abbildung 1 den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_1^x f(t)\,dt\). Berücksichtigen...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Fenster bei seiner Drehung am Möbelstück anstoßen kann. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe g 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts 3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung...

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *
Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) einer in \(]-\infty;5[\) definierten Funktion \(f\,\). Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\,\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 1 Language: *
Funktion \(f\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{-1}^x f(t)\,dt\) genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie die Nullstellen von \(F\) an. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \[F(x) =...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Sonnenlicht wird im Zimmer durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow v = \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix}\) repräsentiert. Eine dieser Geraden verläuft durch den Punkt \(G\) und schneidet die Seitenwand \(OPQR\) im...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
\(k \colon \enspace \overrightarrow X = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\,\). Abb. 2 Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 die Breite \(b\) des...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 2 Language: *
Modell liefert der Graph der in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(q\) vierten Grades mit \(q(x) = -0{,}11x^4 - 0{,}81x^2 + 5\,\). Der Graph von \(q\) wird mit \(G_q\) bezeichnet. Weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_q\) symmetrisch...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 1 Language: *
\cdot v'(x) \] (vgl. Merkhilfe) {/sliders} \[\begin{align*} g(x) = x \cdot e^{-2x} \quad \Longrightarrow \quad g'(x) &= 1 \cdot e^{-2x} + x \cdot e^{-2x} \cdot (-2) \\[0.8em] &= \underbrace{e^{-2x}}_{> \, 0}(1 - 2x) \end{align*}\]...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 1 Language: *
3}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\). Bestimmen Sie \(D\) sowie die Nullstelle vom \(f\,\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 3}\] Maximale Definitionsmenge \(D\) von \(f\) Die Nullstellen des Nennerterms der...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
Weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_f\) in \(\mathbb R\) streng monoton steigt. (zur Kontrolle: \(f'(x)= \displaystyle \frac{18e^x}{(e^x + 9)^2}\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\,; \quad D = \mathbb R\] {slider...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
beiden Kreise bezüglich der Strecke \([AB]\) und ermitteln Sie den Radius der beiden Kreise. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe b 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts 3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
des Neigungswinkels der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\) sowie das Volumen \(V\) der Pyramide. (Teilergebnis: \(V = 216\)) (7 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Neigungswinkel der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\) Der Neigungswinkel der...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
des Grundstücks übereinstimmt, der im Modell durch den Punkt \(M(-40|30|30)\) dargestellt wird. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe e 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts 3. Lösungsansatz: Anwenden der...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A\,(1|7|3)\), \(B\,(6|-7|1)\) und \(C\,(-2|1|-3)\) gegeben. Weisen Sie nach, dass die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) ein rechtwinkliges Dreieck festlegen, dessen Hypothenuse die Strecke \([AB]\)...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix} = 4 \cdot 3 + 5 \cdot 0 + (-3) \cdot 4 = 12 - 12 = 0\] \[\Longrightarrow \quad \overrightarrow u \perp \overrightarrow {n}_E \quad \Longrightarrow \quad g \parallel E\]...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Das Rechteck \(OABC\) ist das Modell eines steilen Hanggrundstücks; die positive \(x_1\)-Achse beschreibt die südliche, die positive \(x_2\)-Achse die östliche Himmelsrichtung (im Koordinatensystem: 1 LE entspricht 1 m, d.h. die Länge des Grundstücks...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik II Language: *
Fall die Wahrscheinlichkeit ist, dass er bei dem modifizierten Test als ratend eingestuft wird. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Zufallsgröße \(S \colon \enspace\) "Anzahl der richtig beurteilten Schriftproben" Analyse der Angabe: 30 Schriftproben, siehe...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
= \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\] Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe) \[\overrightarrow{a} \circ...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
von 50 km. Berechnen Sie die Länge der Flugstrecke von \(F_2\) im Überwachungsbereich des Radars. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f 1. Lösungsansatz: Betrag eines Vektors / Länge einer Strecke 2. Lösungsansatz: Schnittpunkte einer Geraden mit einer Kugel...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
desjenigen Graphenpunkts \(Q_E(x_E|y_E)\), der von \(P\) den kleinsten Abstand hat. Tragen Sie \(Q_E\) in Abbildung 1 ein. (zur Kontrolle: \(x_E = 1\)) (7 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Notwendige Bedingung für eine Exstremstelle: \(d'(x) \overset{!}{=}...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 2 Language: *
Sie Lage und Art des Extrempunkts \(E(x_E|y_E)\) von \(G_f\). (zur Kontrolle: \(x_E = 2 \cdot \ln 3; \enspace f''(x) = 1{,}5 \cdot e^{-0{,}5x}\)) (10 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Monotonieverhalten von \(G_f\) {slider Monotoniekriterium} Anwendung der...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_g\) einer in \(\mathbb R \backslash \{1\}\) definierten gebrochen-rationalen Funktion \(g\) mit folgenden Eigenschaften: Die Funktion \(g\) hat in \(x = 1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; \(G_g\) verläuft stets...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 2 Language: *
der Graphen von \(f_a\) {slider Monotoniekriterium} Anwendung der Differetialrechnung: Monotoniekriterium \(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\) \(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
\(F\) schneidet den Würfel \(W\) in einem regulären Sechseck. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene \(F\) mit der \(x_1\)- und der \(x_3\)-Koordinatenachse und bestätigen Sie, dass der Mittelpunkt der Strecke \([G_2G_3]\) auf \(F\) liegt. Zeichnen...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 1 Language: *
\limits_{x \, \to \, +\infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \bigg ( \frac{\overbrace{\enspace \sin x \enspace}^{[-1;1]}}{\underbrace{\enspace x^2 \enspace}_{\to \; +\infty}} \bigg ) = 0\]

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 1 Language: *
Stammfunktion einer Potenzfunktion} Stammfunktion einer Potenzfunktion \[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad F(x) = \frac{1}{r + 1} \cdot x^{r + 1} + C\] \[r \neq -1\] {/sliders} \[f(x) = x^3 \quad \Longrightarrow \quad F(x) = \frac{1}{4} x^4 + C\]...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
auch bei unveränderten Flugbahnen nicht zwingend eine Kollision der beiden Flugzeuge folgt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d Flugbahn von Flugzeug \(F_1\): \[g_1 \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -10 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} + \lambda...

Teilaufgabe 7a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(g : x \mapsto e^{- \frac{1}{4}x}\), \(D_g = \mathbb R\), und \(h : x \mapsto e^{- \frac{1}{4}x} \cdot \cos x\), \(D_h = \mathbb R\). Der Graph von \(h\) ist für \(x \geq 0\) im nachfolgenden Diagramm dargestellt. Untersuchen...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Berechnen Sie den Steigungswinkel der Flugbahn von \(F_1\) gegen die Horizontale. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Die Gerade \(g_1\colon \enspace \overrightarrow X = \overrightarrow P + \lambda \cdot \left(\begin{smallmatrix} 5 \\ 5 \\ 1...

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