1

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Aufgabe B4 (Stochastik) Language: *

der fehlerhaften CD-Hüllen unter der Stichprobe von 250 CDs „In diesem Fall wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn mindestens 18 Hüllen fehlerhaft sind." \[\textcolor{#0087c1}{A = \{0;1;\dots;17\}}\] \[\textcolor{#cc071e}{\overline{A} = \{18;...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Aufgabe B4 (Stochastik) Language: *

(4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b CD mit zehn Musikstücken, vier davon sind kurz, sechs sind lang. Zwölf Stücke werden abgespielt. Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter genau fünf lange Stücke befinden Es liegt eine Bernoulli-Kette der Länge...

Teilaufgabe 3d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Aufgabe B3 (Stochastik) Language: *

eine Versicherung abgeschlossen wurde (vgl. Teilaufgabe 3c). Bestimmung des größtmöglichen Werts von \(k\)

{slider Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)}

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)

Kumulative Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \geq k)\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) lassen sich im Stochastischen Tafelwerk (TW) nicht nachschlagen. Die Betrachtung des Gegenereignisses \(X \leq k - 1\) ermöglicht das Verwenden des Tafelwerks (rechte Spalte):

\[\underbrace{P(X \geq k)}_{\text{mind.}\,k\,\text{Treffer}} = \underbrace{1 - \underbrace{P(X \leq k - 1)}_{\text{höchstens}\,k\,-\,1\,\text{Treffer}}}_{\text{nicht höchsten}\,k\,-\,1\,\text{Treffer}}\]

{/sliders}

\[\begin{align*}P_{0{,}1}^{200}(Y \geq \textcolor{#e9b509}{k}) &> 0{,}8 &&| \; \text{Gegenereignis} \;Y \leq k - 1\;...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Aufgabe B3 (Stochastik) Language: *

(2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \(p_1 = P(\overline{E} \cap H)\), \(p_2 = P_{\overline{E}}(H)\) (vgl. Teilaufgabe 1b) Ansatz mit der 1. Pfadregel (Produktregel):

{slider Baumdiagramm und Pfadregeln}

{/sliders}

\[p_1 = P(\overline{E} \cap H) = P(\overline{E}) \cdot...

Mathematik Abiturskript Bayern G9

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Abiturskript G9 Language: *

und werden als persönliche Einzellizenz zur Verfügung gestellt. Auf das Cover klicken, um im Skript zu blättern.

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Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *

von 4 % Bildstörungen auf. Wenn das Bild gestört ist, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % auch zu Tonstörungen. Bei 13,6 % der Übertragungen kommt es zu Bild- oder Tonstörungen. Betrachte werden folgende Ereignisse: \(B\): „Es tritt eine...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *

Die Graphen der Funktionen \(f \colon x \mapsto 0{,}5x^2 - 3x + 4\) und \(g \colon x \mapsto x^3 - x+1\) besitzen genau einen gemeinsamen Punkt. Berechnen Sie die \(x\)-Koordinate dieses Punktes mit dem Newton-Verfahren auf zwei Dezimalen genau. Wählen...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *

Abbildung zeigt modellhaft den Verlauf einer Wasserrutsche, der näherungsweise durch die Funktion \(f \colon x \mapsto 0{,}01x^3 -0{,}3x^2 + 2{,}25x\) mit \(D_f = [0:14]\) beschrieben wird. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 0,5 m in der...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *

f(x)\) Die Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x\,\to\,2} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,2} \dfrac{\textcolor{#0087c1}{\overbrace{4x^2-6x-4}^{\to\,0}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{x-2}_{\to\,0}}}\) führt auf den unbestimmten Ausdruck...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *

den Definitionslücken. b) Untersuchen Sie \(G_f\) auf schräge oder waagrechte Asymptoten. c) Berechnen Sie \(f(-4)\) und \(f(1)\) und zeichnen Sie \(G_f\) im Bereich \(-7 < x...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *

und der Normale bestimmen. Flächeninhalt des Dreiecks \(PQR\) berechnen. Gleichung der Tangente Ansatz: \(y = \textcolor{#cc071e}{m}x + t\) {slider Allgemeine Geradengleichung} Allgemeine Geradengleichung \[y = mx + t\] Wobei \(m\) die Steigung und...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *

\(g\) sind ganzzahlig. Geben Sie an, welcher der folgenden Funktionsterme die Funktion \(g\) beschreibt. \[\text{A}\quad\frac{1}{x - 2} -x +4\] \[\text{B}\quad-\frac{1}{x-2} -x +4\] \[\text{C}\quad\frac{1}{2-x} +x - 4\]...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *

der Abbildung, dass \(k\) an der Stelle \(x = 6\) nicht differenzierbar ist \[\underbrace{\lim \limits_{\textcolor{#cc071e}{\underset{x \,...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *

den Punkt \((x_{0}|f(x_{0}))\) und einen weiteren Punkt des Graphen der Funktion \(f\). {/sliders} \[m_S = \textcolor{#cc071e}{\frac{1{,}5}{4}} = \frac{3}{8}\] Beurteilung, ob die mittlere Änderungsrate von \(p\) kleiner als null sein kann Da der Graph...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *

Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). Erläutern Sie anhand des Graphen, ob die Funktion \(f\) an den Stellen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) jeweils stetig ist. b) Gegeben ist die Funktion \[g \colon x \mapsto \begin{cases} \begin{align*} &ax +...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *

= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} -\frac{3}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{x - 2}_{\to\,-\infty}}} = 0^{\textcolor{#0087c1}{\boldsymbol{+}}}\] \[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty}...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *

im Nenner gekürzt. Wenn das einmal nicht funktioniert, liegt ein Rechenfehler vor. \(f(x) = 0{,}5x^2 + 3x\); \(\textcolor{#cc071e}{x_0 = -2}\) 1. Möglichkeit: \(\boldsymbol{h}\)-Methode Der Tipp in der Aufgabenstellung verweist auf die \(h\)-Methode,...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *

Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = -\dfrac{3}{x - 2}\). a) Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}f(x)\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x)\). Beschreiben Sie Ihre Ergebnisse in Worten und interpretieren Sie diese...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *

Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion \(f\)mit \(f(x) = 0{,}5x^2 + 3x\) an der Stelle \(x = -2\) mithilfe des Differentialquotienten. Tipp: Verwenden Sie die h-Methode. Aufgabe 2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(p\). a)...

Videos

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Videos Language: *

Zunächst ist geplant, das Abiturskript um Videos zu ergänzen. Die Videos enthalten Werbung und sind bei Verwendung eines Werbeblockers nicht sichtbar.

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

des Mittelpunkts dieser Kugel. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe g Da der gesamte Körper sowohl symmetrisch bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene als auch bezüglich der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene ist (vgl. Angabe), kann der Mittelpunkt \(M\) einer Kugel, auf der alle...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

drei Pyramiden \(ABFS\), \(HDES\) bzw. \(EFGHS\) ist (vgl. Abbildung 2). Die Pyramide \(ABFS\) hat das Volumen \(\sf{33\frac{1}{3}}\) und die Pyramide \(HDES\) hat das Volumen \(\sf{13\frac{1}{3}}\). Bestimmen Sie das Volumen des gesamten Körpers. (4...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

\(N(1{,}6|0|3{,}2)\) ist der Mittelpunkt der Strecke \([KF]\). Begründen Sie, dass die Gerade \(EN\) den Innenwinkel des Dreiecks \(DFE\) bei \(E\) halbiert, und weisen Sie rechnerisch nach, dass \(S\) auf der Geraden \(EN\) liegt. (4 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

\(K\), für den \(\overline{KE} = \overline{EF}\) gilt. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(K\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe d 1. Möglichkeit: Einheitsvektor \(\overrightarrow{ED}^{\circ}\) Planskizze (optional): Der Einheitsvektor...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

\(ABF\) und die Grundfläche \(ABCD\) einschließen, entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) der Ebene \(W\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Dieser ist gleich der Größe des spitzen Winkels, den die Normalenvektoren der Ebenen einschließen (Skizze nicht...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

BE) Lösung zu Teilaufgabe b Gleichung von \(W\) in Koordinatenform Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{FA}} \times \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{FB}}\) der beiden linear unabhängigen Verbindungsvektoren...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Abb. 1 Der in Abbildung 1 dargestellte Körper wird begrenzt von der quadratischen Grundfläche \(ABCD\) mit \(A(5|5|0)\), \(B(-5|5|0)\), \(C(-5|-5|0)\) und \(D(5|-5|0)\), acht dreieckigen Seitenflächen und einem weiteren Quadrat \(EFGH\) mit...

Teilaufgabe h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

h Planskizze (optional): Wenn der Brunnen vollständig gefüllt ist, reicht das Wasser bis zur Ebene \(\textcolor{#0087c1}{E}\), welche im Abstand 4 parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene liegt (vgl. Teilaufgabe a). Da der Mittelpunkt...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

der höchste Punkt des Brunnens. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe g Planskizze (optional): Der quadratische Term \(\textcolor{#0087c1}{6{,}2 - 5 \cdot (t - 0{,}2)^{2}}\) der \(x_{3}\)-Koordinate der Punkte \(\textcolor{#0087c1}{L_{t}}\) beschreibt für...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

der Marmorkugel treten an vier Stellen Wasserfontänen aus. Eine dieser Austrittsstellen wird im Modell durch den Punkt \(L_{0}(1|1|6)\) beschrieben. Die zugehörige Fontäne wird modellhaft durch Punkte \(L_{t}\left(t + 1|t + 1|6{,}2 - 5 \cdot (t -...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

e Planskizze (optional): Der höchste Punkt des Brunnens liegt vertikal über dem Mittelpunkt \(M(0|0|\textcolor{#cc071e}{4})\) der Marmorkugel. Aus Teilaufgabe d ist der Radius \(\textcolor{#cc071e}{r = \sqrt{6}}\) bekannt. Eine Längeneinheit entspricht...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

der Pyramide \(ABCDS\) beschrieben, die Marmorkugel durch eine Kugel mit Mittelpunkt \(M(0|0|4)\) und Radius \(r\). Die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene des Koordinatensystems stellt im Modell den horizontal verlaufenden Erdboden dar; eine Längeneinheit entspricht...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Berechnen Sie das Volumen \(V\) der Pyramide \(ABCDS\). (zur Kontrolle: \(V = 72\)) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe c 1. Möglichkeit: \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\) (vgl. Merkhilfe) Die Höhe einer Pyramide ist definiert als der Abstand der...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene \(F\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(F \colon x_{1} + x_{2} - 2x_{3} + 2 = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{SA}} \times...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

in der Ebene \(E\) und bilden die Eckpunkte der quadratischen Grundfläche einer Pyramide \(ABCDS\) mit der Spitze \(S(0|0|1)\). \(A\), \(B\) und \(S\) liegen in der Ebene \(F\). Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck \(ABS\) gleichschenklig ist. Geben...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

= \sqrt{Var(Y_{n})}\) (vgl. Merkhilfe) folgt: \[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{\frac{\sigma}{E(Y_{n})}} &= \textcolor{#0087c1}{0{,}05}&&|\;\sigma = \sqrt{Var(Y_{n})} \\[0.8em] \frac{\sqrt{Var(Y_{n})}}{E(Y_{n})} &= 0{,}05&&| \;E(Y_{n})=n;...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

sichtbar werden. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\). Die Zufallsgröße \(X\) hat den Erwartungswert 1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(p_{0}\) und \(p_{1}\) und berechnen Sie die Varianz von \(X\). (3 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms \(1 - P_{\overline{V}}(R)\) im Sachzusammenhang. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3c \(V\): „Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als vegan gekennzeichnet." \(R\): „Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

\cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\) (vgl. Merkhilfe) {/sliders} \[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{P_{\overline{V}}(R)} &= 1 - \textcolor{#0087c1}{P_{\overline{V}}(\overline{R})} \\[0.8em] &= 1 -...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

weder als vegan noch als zuckerreduziert gekennzeichnet." \[\Rightarrow \enspace P(\overline{V} \cap \overline{R}) = 0{,}63\] 1. Möglichkeit: Baumdiagramm Nach der 1. bzw. 2. Pfadregel gilt: {slider Baumdiagramm - Pfadregeln (Knoten-, Produkt-,...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Gummibärchen, das in die Tüte gelangt, ist ein rotes Gummibärchen." Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) \(\textcolor{#cc071e}{p = 0{,}25}\) (Anteil roter Gummibärchen, vgl. Angabe Aufgabe 2) \(q = 1 - p = 0{,}75\) (Anteil andersfarbiger...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

nach \(B(50;\textcolor{#e9b509}{p})\) binomialverteilt (vgl. Anmerkung). {slider Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)} Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer) Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Zufallsgröße Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt: Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe) \[P_{p}^{n}(X = k) =...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei Gummibärchen die gleiche Farbe haben. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 5 weiße, 2 rote und 3 grüne Gummibärchen Die drei dem Tütchen entnommenen Gummibärchen können entweder alle weiß oder alle...

Teilaufgabe 4c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Motive auf den Anstecken befinden, ist aus Teilaufgabe 4b bekannt. \[P(\text{„Drei verschiedene Motive"}) = \frac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\] Diese Wahrscheinlichkeit soll größer als 90 % sein. Nach geeigneten Umformungen ergibt die Bedingung eine...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, den Wert \(\dfrac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\) hat. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \(\textcolor{#0087c1}{n}\) verschiedene Motive 3 Anstecker Da...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

bzw. mit/ohne Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln unterteilen. {/sliders} Es gibt insgesamt \(\textcolor{#0087c1}{5}^{\textcolor{#e9b509}{3}}\) Möglichkeiten, 3 Anstecker mit einem von 5 verschiedenen Motiven zu bedrucken. Bei 5 verschiedenen...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

für den Freizeitpark gewonnen werden können. Zu Beginn des Spiels wirft man einen Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind. Erzielt man dabei die Zahl 6, darf man anschließend einmal an einem Glücksrad mit drei Sektoren drehen...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Anzahl der Bollerwagen, die von den ersten 200 Familien entliehen werden \(n = 200\) (Länge der Bernoulli-Kette) \(p = 0{,}15\) (Trefferwahrscheinlichkeit für das Ereignis „Familie entleiht einen Bollerwagen.") Schematische Darstellung: Kleinster...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

die fünfte Familie die erste ist, die einen Bollerwagen ausleiht. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[P = 0{,}85^{4} \cdot 0{,}15 \approx 0{,}07830 \approx 7{,}8\,\%\] Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) \(p = \textcolor{#e9b509}{0{,}15}\)...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Im Eingangsbereich des Freizeitparks können Bollerwagen ausgeliehen werden. Erfahrungsgemäß nutzen 15 % der Familien dieses Angebot. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Bollerwagen, die von den ersten 200 Familien, die an einem Tag den...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

lassen: \[P(A) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6^{4}}; \enspace P(B) = \frac{6}{6^{4}}\] (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[P(A) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6^{4}}\] \(A\): „Die vier Familien zahlen an verschiedenen Kassen." \[P(B) =...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

zu Teilaufgabe 2d Planskizze (optional) Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{-\ln{3}}^{b}g(x)dx = \textcolor{#0087c1}{\int_{-\ln{3}}^{0}g(x)dx} + \textcolor{#cc071e}{\int_{0}^{b}g(x)dx}\) errechnet die Maßzahl des Inhalts der Fläche, die...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Graph der Funktion \(g^{*}\) geht aus \(G_{g}\) durch Strecken und Verschieben hervor. Die Wertemenge von \(g^{*}\) ist \(]-1;1[\). Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für \(g^{*}\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c Zum Beispiel: \(g^{*}(x) = 2...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

seinen einzigen Wendepunkt hat, in ein Koordinatensystem ein. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[g(x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}; \; D_{g} = \mathbb R\] \(g'(x) = \dfrac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^{2}}\) (vgl. Teilaufgabe 2a) Funktionswert \(g'(0)\) \(g'(0)\)...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{e^{x}}{e^{x} + 1}\). Ihr Graph wird mit \(G_{g}\) bezeichnet. Zeigen Sie, dass \(g\) streng monoton zunehmen ist und die Wertemenge \(]0;1[\) besitzt. (zur Kontrolle:...

Teilaufgabe 1i

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

gibt, sodass \(G_{k}\) und \(G_{f}\) bezüglich der \(x\)-Achse symmetrisch zueinander liegen. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1i \[h_{k}(x) = (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}; \;k \in \mathbb R, \; D_{h_{k}} = \mathbb R\] \(f(x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{-x}; \;...

Teilaufgabe 1h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

mit der \(x\)-Achse, die voneinander den Abstand 4 haben. Berechnen Sie diesen Wert. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1h \[h_{k}(x) = (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}; \; k \in \mathbb R, \; D_{h_{k}} = \mathbb R\] Für \(k > 0\) ergeben sich die Nullstellen von...

Teilaufgabe 1g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Betrachtet wird nun die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(h_{k} \colon x \mapsto (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}\) mit \(k \in \mathbb R\). Der Graph von \(h_{k}\) wird mit \(G_{k}\) bezeichnet. Für \(k = 1\) ergibt sich die bisher...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Deuten Sie die Aussage \(F(2{,}5) - F(0) \approx 0\) in Bezug auf \(G_{f}\) geometrisch. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f Die Aussage \(F(2{,}5) - F(0) \approx 0\) bedeutet, dass die Inhalte der beiden Flächen, die \(G_{f}\) im Intervall \([0;2{,}5]\)...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Skizzieren Sie in die Abbildung den Graphen von \(F\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere, dass \(F(1) \approx 3{,}5\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F(x) = 2\) gilt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Skizze des Graphen der Stammfunktion \(F\)...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\) ist diejenige Stammfunktion von \(f\), deren Graph durch den Punkt \(T(-1|2)\) verläuft. Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von \(F\) im Punkt \(T\) einen Tiefpunkt besitzt. (2 BE) Lösung...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen Näherungswert für das Integral \(\displaystyle \int_{-1}^{4}f(x)dx\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Der Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{-1}^{4}f(x)dx\) entspricht der Flächenbilanz der...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Bestimmen Sie rechnerisch die \(x\)-Koordinaten der beiden Extrempunkte von \(G_{f}\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = (x^{2} - 2x - 1) \cdot e^{-x}\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{-x}; \; D_{f} = \mathbb R\] {slider...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto (1 - x^{2}) \cdot e^{-x}\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) von \(f\). Zeigen Sie, dass \(f\) genau zwei Nullstellen besitzt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) =...

Teilaufgabe 3d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

in das Stromnetz eingespeist. Der Hauseigentümer erhält für die eingespeiste elektrische Energie eine Vergütung von 10 Cent pro Kilowattstunde (kWh). Die in \([4;20]\) definierte Funktion \(x \mapsto E(x)\) gibt die elektrische Energie in kWh an, die...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Die Funktion \(p\) besitzt im Intervall \([4;12]\) eine Wendestelle. Geben Sie die Bedeutung dieser Wendestelle im Sachzusammenhang an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3c Die Wendestelle von \(p\) im Intervall \([4;12]\) entspricht dem Zeitpunkt, zu dem...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

die Uhrzeit am Nachmittag auf Minuten genau, ab der die Leistung der Anlage weniger als 40 % ihres Tageshöchstwerts von 10 kW beträgt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \(p(x) = \dfrac{40}{(x - 12)^{2} + 4}; \; 4 \leq x \leq 20\) (vgl. Angabe Aufgabe 3)...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(p \colon x \mapsto \dfrac{40}{(x - 12)^{2} + 4}\); die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{p}\) von \(p\). Beschreiben Sie, wie \(G_{p}\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

genau zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat. Dies ist dann der Fall, wenn die quadratische Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{a}x^{2} + 2bx - ac = 0\) mit \(\textcolor{#cc071e}{a \neq 0}\) zwei Lösungen hat. \[f'{a,b,c}(x) = 0 \enspace \Rightarrow...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

des Koordinatenursprungs, aber nicht identisch mit der \(x\)-Achse ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[f_{\textcolor{#cc071e}{a},\textcolor{#0087c1}{b},\textcolor{#e9b509}{c}}(x) = \frac{\textcolor{#cc071e}{a}x + \textcolor{#0087c1}{b}}{x^{2} +...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

einer Funktion \(x \mapsto f(x)\) mit der \(x\)-Achse. An einer Nullstelle gilt: \(f(x) = 0\). {/sliders} \[\textcolor{#0087c1}{b \neq 0} \enspace \Rightarrow \enspace f_{0,\textcolor{#0087c1}{b},c}(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{b}}{x^{2} + c}...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

+ b}{x^{2} + c}\) mit \(a, b, c \in \mathbb R\) und maximaler Definitionsmenge \(D_{a,b,c}\). Die Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar. Geben Sie die zugehörigen Werte von \(a\), \(b\) und \(c\) an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Sie den Inhalt der Fläche, die von \(G_{f}\) und der Strecke \([AB]\) eingeschlossen wird. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d \[f(x) = \frac{6x}{x^{2} - 4}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-2;2\}\] Flächeninhalt \(\textcolor{#0087c1}{A}\) der Fläche,...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

zwischen diesen beiden Punkten verläuft \(G_{f}\) unterhalb der Strecke \([AB]\). Skizzieren Sie \(G_{f}\) im Bereich \(-10 \leq x \leq 10\) unter Verwendung der bisherigen Informationen in einem Koordinatensystem. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[f(x)...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

im Punkt \((0|f(0))\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = -\dfrac{6 \cdot (x^{2} + 4)}{(x^{2} - 4)^{2}}\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = \frac{6x}{x^{2} - 4}\] \[D_{f} = \mathbb R \backslash \{-2;2\} = \;]-\infty;-2[\; \cup \; ]-2;2[\; \cup\;...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

von \(G_{f}\) an. Begründen Sie, dass \(G_{f}\) die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote besitzt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \frac{6x}{x^{2} - 4}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-2;2\}\] Gleichungen aller senkrechter Asymptoten Die...

Aufgabe

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Situation wird modellhaft in einem Koordinatensystem dargestellt. Der Ausgangspunkt des Laserstrahls wird durch den Punkt \(P(104|-42|10)\) beschrieben, seine Richtung durch den Vektor \(\begin{pmatrix} -13 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\). Das Verkehrsschild...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Berechnen Sie den Abstand von \(g\) und \(h\). (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Planskizze (optional): Der Abstand zwischen der Gerade \(\textcolor{#cc071e}{g}\) und der parallelen Gerade \(\textcolor{#0087c1}{h}\) ist gleich dem Betrag des...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Gegeben ist die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\), sowie eine weitere Gerade \(h\), welche parallel zu \(g\) ist und...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Gegeben ist die Zufallsgröße \(X\) mit der Wertemenge \(\{0;1;2;3;4;5\}\). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) ist symmetrisch, d. h. es gilt \(P(X = 0) = P(X = 5)\), \(P(X = 1) = P(X = 4)\), \(P(X = 2) = P(X = 3)\). Die Tabelle zeigt die...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Zufallsgröße Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt: Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe) \[P_{p}^{n}(X = k) =...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Zufallsgröße Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt: Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe) \[P_{p}^{n}(X = k) =...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Gegeben ist die Zufallsgröße \(X\) mit der Wertemenge \(\{0;1;2;3;4;5\}\). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) ist symmetrisch, d. h. es gilt \(P(X = 0) = P(X = 5)\), \(P(X = 1) = P(X = 4)\), \(P(X = 2) = P(X = 3)\). Die Tabelle zeigt die...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Berechnen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{2}^{3} f(x)dx\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[\begin{align*}f(x) &= \sqrt{x - 2} + 1 &&| \; a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} \; \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] &= (x - 2)^{\frac{1}{2}}...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \sqrt{x - 2} + 1\) und maximalem Definitionsbereich. Zeichnen Sie den Graphen von \(f\) im Bereich \(2 \leq x \leq 11\) in ein Koordinatensystem. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \sqrt{x - 2} + 1\]...

Teilaufgabe 4a

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in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\). \(G_{f}\) ist streng monoton fallend und schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \((1|0)\). Betrachtet wird ferner die Funktion \(g\) mit \(g(x) = \dfrac{1}{f(x)}\) und maximalem Definitionsbereich \(D_{g}\)....

Teilaufgabe 4b

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die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von \(f\) und \(g\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \(g(x) = \dfrac{1}{f(x)}; \; x \neq 1\) (vgl. Teilaufgabe 4a) Der Ansatz für die Bestimmung der \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(W\) hat. \[W =\; ]-\infty;1]\] (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a zum Beispiel: \(-x^{2} + 1\) Begründung (nicht verlangt) Der Graph der Funktion \(x...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto ax^{2} + c\) mit \(a, c \in \mathbb R\), deren Graph im Punkt \(N(1|0)\) die Tangente mit der Gleichung \(y = -x + 1\) besitzt. Bestimmen Sie \(a\) und \(c\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b...

Teilaufgabe 3a

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BE) Lösung zu Teilaufgabe 3a Mögliche Beschreibung Der Ansatz kann mit der allgemeinen Geradengleichung \(y = \textcolor{#cc071e}{m} \cdot x + \textcolor{#0087c1}{t}\) erfolgen. Für die Steigung \(\textcolor{#cc071e}{m}\) der Tangente an den Graphen von...

Teilaufgabe 2b

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2b zum Beispiel: \(e^{x} + 3\) Begründung (nicht verlangt) Der Graph der Funktion \(x \mapsto e^{x} \textcolor{#cc071e}{+ 3}\) ist gegenüber dem Graphen der natürlichen Exponentialfunktion \(x \mapsto e^{x}\) um + 3 LE (Längeneinheiten) in y-Richtung...

Teilaufgabe 4b

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Wert von \(a \in \mathbb R\), für den \(t_{a}\) durch \(P\) verläuft. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \[f(x) = \frac{1}{8}x^{3}; \; D_{f} = \mathbb R\] Da die Tangente durch die Punkte \(P\) und \(Q_{a}\) verlaufen soll, gilt einerseits für deren...

Teilaufgabe 4a

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Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = \frac{1}{8}x^{3}\) sowie die Punkte \(Q_{a}(a|f(a))\) für \(a \in \mathbb R\). Die Abbildung zeigt den Graphen von \(f\) sowie die Punkte \(P(0|2)\) und \(Q_{2}\). Berechnen Sie...

Teilaufgabe 3b

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Der Graph von \(f\) schließt mit der \(x\)-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen \(x = 1\) und \(x = b\) mit \(b > 1\) ein Flächenstück ein. Bestimmen Sie denjenigen Wert von \(b\), für den dieses Flächenstück den Inhalt 1 hat. (3 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe 3a

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Betrachtet wird die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}}\). Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(F\) mit \(F(x) = -\dfrac{2}{\sqrt{x}}\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. (2 BE)...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto \ln{\left( \dfrac{1}{x^{2} + 1} \right)}\). Begründen Sie, dass die Wertemenge von \(h\) das Intervall \(]-\infty;0]\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[h(x) =...

Teilaufgabe 2a

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- x}\) schränkt die Definitionsmenge der Funktion \(g\) ein. Der Radikand (Ausdruck unter der Wurzel) \(\textcolor{#cc071e}{2 - x}\) darf nicht negativ sein. \[\textcolor{#cc071e}{2 - x \geq 0} \enspace \Leftrightarrow \enspace x \leq 2 \enspace...

Teilaufgabe a

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Gegeben sind die Punkte \(P(4|5|-19)\), \(Q(5|9|-18)\) und \(R(3|7|-17)\), die in der Ebene \(E\) liegen, sowie die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -12 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0...

Teilaufgabe c

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Begründen Sie ohne Rechnung, dass \(g\) in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe c \[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -12 \\ 11 \\ \textcolor{#e9b509}{0} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\...

Teilaufgabe f

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eine Betrachtung von oben dar. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Mögliche Vektoren zu Abb. 3 sind z.B.: \(\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) oder \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) zu Abb. 4 sind z.B.: \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0...

Teilaufgabe 1c

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die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter mindestens eine Retoure ist, größer als 90 % ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Eine klassische „3-Mindestens-Aufgabe" in der Variante „Mindestens 1 Treffer" „Ermitteln Sie, wie viele Pakete mindestens...

Teilaufgabe b

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b Die Koordinaten von \(R\) lassen sich durch Vektoraddition bestimmen. Beispielsweise wie folgt: Planskizze optional \(P(1|2|3)\), \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}}\) (vgl. Teilaufgabe a)...

Teilaufgabe a

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Wird der Punkt \(P(1|2|3)\) an der Ebene \(E\) gespiegelt, so ergibt sich der Punkt \(Q(7|2|11)\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe a Planskizze (optional): Der Verbindungsvektor...

Teilaufgabe a

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Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der...

Teilaufgabe 3c

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zu Teilaufgabe 3c Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Höhe der Auszahlung in Euro beschreibt. Sind \(n\) und \(n + 1\) zwei aufeinanderfolgende Werte von \(n\), so sind \(E_n(X) = 5n \cdot 0{,}9^n\) und \(E_{n\,+\,1}(X) = 5(n+1) \cdot...

Teilaufgabe d

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Berechnen Sie die Größe \(\varphi\) des Winkels, unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet. Geben Sie einen Term an, mit dem aus \(\varphi\) die Größe des Winkels zwischen den Ebenen \(E\) und \(F\) berechnet werden kann. (5 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe b

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Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) die Eckpunkte eines Quaders sind (vgl. Angabe), haben die Diagonalen \(\textcolor{#cc071e}{[AB]}\) und \(\textcolor{#cc071e}{[CD]}\) die gleiche Länge. \(A(11|11|0)\), \(B(-11|11|28)\), \(C(11|-11|28)\),...

Teilaufgabe g

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Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von \(h\): \[\textsf{I}\quad \overrightarrow{Q} = \begin{pmatrix} 11 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -22 \\ 0 \\ 28 \end{pmatrix}, \; t \in [0;1]\] \[\textsf{II}\quad...

Teilaufgabe b

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der Ebene \(E\) in Koordinatenform und zeigen Sie, dass die Gerade \(g\) in \(E\) liegt. (zur Kontrolle: \(E \colon 2x_1 - x_2 + 2x_3 + 35 = 0\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform Die Punkte \(P\), \(Q\) und...

Teilaufgabe e

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das Thema Abstand Punkt - Gerade (vgl. Bestimmung des Abstands zwischen Punkt und Gerade - 3 Möglichkeiten, Abiturskript - 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade) Planskizze (optional): Im Modell entspricht die Länge der kürzestmögliche Strecke von der Uferlinie...

Teilaufgabe c

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Ebene \(F\) die Punkte \(B\), \(C\) und \(D\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(14x_1 + 14x_2 + 11x_3 = 308\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Planskizze (optional): Beispielsweise liefert das Vektorprodukt...

Teilaufgabe 2b

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bequem mithilfe der in Teilaufgabe 2a erstellten Vierfeldertafel berechnen. \(S\) \(\overline{S}\) \(T\) \(\textcolor{#89ba17}{x}\) \(19 -x\) \(\textcolor{#89ba17}{19}\) \(\overline{T}\) \(105 - x\) \(\textcolor{#89ba17}{3x}\) \(131\)...

Teilaufgabe d

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Berechnen Sie das Volumen des Körpers \(ABCDEF\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe d \[A_{\text{ABC}} = 6\cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 13{,}5\] \[V_{\text{ABCDEF}} = 13{,}5 \cdot 6 + \frac{1}{3} \cdot 13{,}5...

Teilaufgabe b

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die nicht in \(H\) liegen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Mittelpunkt \(M\) der Strecke \([AC]\): \[\overrightarrow{M} = \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix}1\\2\\1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3\\-6\\9 \end{pmatrix}\right] =...

Teilaufgabe b

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die nicht in \(H\) liegen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Mittelpunkt \(M\) der Strecke \([AC]\): \[\overrightarrow{M} = \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix}1\\2\\1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3\\-6\\9 \end{pmatrix}\right] =...

Teilaufgabe 1c

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mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens eine Person älter als 40 Jahre ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Eine klassische „3-Mindestens-Aufgabe" in der Variante „Mindestens 1 Treffer" „Bestimmen Sie die Anzahl der Abonnenten, die...

Teilaufgabe f

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Gerade \(OS\) die Ebene \(E_k\) schneidet, unabhängig von \(k\) ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f \[E_k \colon 4k \cdot x_1 + 4\sqrt{1-k^2} \cdot x_2 + 3 \cdot x_3 - 12 = 0; \;k \in [-1;1]\] \(\textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 4k \\4\sqrt{1-k^2} \\...

Teilaufgabe a

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Gegeben sind die im Folgenden beschriebenen Zufallsgrößen \(X\) und \(Y\): Ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert sind, wird zweimal geworfen. \(X\) gibt die dabei erzielte Augensumme an. Aus einem Behälter mit 60...

Teilaufgabe b

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(3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Zuordnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) Da \(\boldsymbol{P(X = 4) = P(X = 10)}\) gilt (vgl. Teilaufgabe a) kann Diagramm III nicht die Wahrscheinlichkeitverteilung von \(X\) darstellen. Um die...

Teilaufgabe 1a

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soll davon ausgegangen werden, dass \(X_n\) binomialverteilt ist mit den Parametern \(n\) und \(p = 0{,}05\). Es werden 15 Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht. Bestimmen Sie jeweils die...

Teilaufgabe a

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drei Kugeln gelegt. Dabei wird die Farbe jeder Kugel durch Werfen eines Würfels festgelegt, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind: Wird die „1" oder die „2" erzielt, wird eine gelbe Kugel gewählt, sonst eine schwarze. Weisen Sie...

Teilaufgabe a

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Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders (vgl. Abbildung). Die Eckpunkte \(A(1|2|1)\), \(B\), \(C(-3|-6|9)\) und \(D\) des Oktaeders liegen in der Ebene \(H\) mit der Gleichung \(2x_1 + x_2 + 2x_3 - 6 = 0\)....

Teilaufgabe a

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Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders (vgl. Abbildung). Die Eckpunkte \(A(1|2|1)\), \(B\), \(C(-3|-6|9)\) und \(D\) des Oktaeders liegen in der Ebene \(H\) mit der Gleichung \(2x_1 + x_2 + 2x_3 - 6 = 0\)....

Teilaufgabe b

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Lösung zu Teilaufgabe b \[\begin{align*} &\quad \; \, P(\text{„Beide entnommenen Kugeln sind schwarz"}) = \\[0.8em] &= \frac{12}{27} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{8}{27} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{4}{27} + \frac{8}{27} = \frac{12}{27} =...

Teilaufgabe f

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Sie die \(x_3\)-Koordinate von \(Q\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Planskizze (optional): Das Dreieck \(\textcolor{#cc071e}{FQR}\) hat bei \(\textcolor{#cc071e}{Q}\) einen rechten Winkel, wenn die Verbindungsvektoren...

Teilaufgabe 2b

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Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von \(g\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Abb. 1 (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[g(x) = x^3+x^2; \;D_g = \mathbb R\] Der Inhalt der Fläche, die der Graph von \(g\) mit der \(x\)-Achse einschließt,...

Teilaufgabe c

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Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(4x_2+3x_3-12=0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Die Punkte \(C\), \(D\) und \(S\) liegen in der Ebene \(E\) (vgl. Angabe). Somit liefert beispielsweise das Vektorprodukt...

Teilaufgabe 1

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erzielt." \(B\): „Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt." (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[\begin{align*} P(A) &= P_{0{}5}^{20}(X = 7) \\[0.8em] &= B(20;0{,}5;7) \\[0.8em] &= \binom{20}{7} \cdot 0{,}5^7 \cdot...

Teilaufgabe a

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Die Abbildung zeigt den Körper \(ABCDEF\) mit \(A(6|3|0)\), \(B(0|6|0)\), \(C(3|0|0)\), \(D(6|3|6)\), \(E(0|6|6)\) und \(F(3|0|12)\). Die Punkte \(D\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform....

Teilaufgabe e

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Die Ebene \(E\) gehört zur Schar der Ebenen \(E_k \colon 4k \cdot x_1 + 4\sqrt{1-k^2} \cdot x_2 + 3 \cdot x_3 - 12 = 0\) mit \(k \in [-1;1]\). Die Seitenfläche \(ADS\) der Pyramide liegt in der Ebene \(E_{-1}\) der Schar, die Seitenfläche \(BCS\) in...

Teilaufgabe 2c

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dafür, dass die SMV mehr als zweimal mindestens 4 € ausbezahlen muss. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[P(Z \geq 2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}\] \(Y\): Anzahl wie oft die SMV mindestens 4 € ausbezahlen muss....

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Wahrscheinlichkeit dafür, dass an die ersten drei Personen drei unterschiedliche Beträge ausbezahlt werden, die in der Summe 12 € ergeben. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d \[\begin{align*}&\quad \; P(\text{„Drei untersch. Auszahlungen, in Summe 12 €"}) =...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

auf die Knickpyramide Sonnenstrahlen, die im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{S_{15}E}\) dargestellt werden. Der Schatten der Spitze der Knickpyramide auf dem horizontalen Boden wird durch den Punkt \(T\)...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

die beiden Aktionen 300 € beträgt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Zu erwartende Einnahme pro Spiel in Euro: \[3 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + (-1) \cdot \frac{1}{4} + (-3) \cdot \frac{1}{12} = \frac{5}{6}\] Anzahl der Spiele:...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

„2022" an. Bei dem Spiel werden zwei Glücksräder mit drei bzw. vier gleich großen Sektoren verwendet, die wie in Abbildung 1 beschriftet sind. Für einen Einsatz von 3 € darf man jedes der beiden Glücksräder einmal drehen. Für jede Ziffer 2, die auf den...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Gegeben sind die Punkte \(A(19|0|0)\), \(B(0|19|0)\), \(E(12|0|7)\) und \(F(0|12|7)\) (vgl. Abbildung 1). Das Viereck \(ABFE\) liegt in der Ebene \(L\). Weisen Sie nach, dass das Viereck \(ABFE\) ein Trapez mit zwei gleich langen Seiten ist. (3 BE)...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter genau zehn Plug-in-Hybride befinden. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \dfrac{0{,}25}{0{,}25 + 0{,}65} = \dfrac{5}{18}\) \[\begin{align*}P(X = 10) &= B\Big(40;\small...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Wirksamkeit des Pflanzenschutzmittels gegen einen nur in den Tropen auftretenden Pilz zu untersuchen, wurde ein Experiment mit 150 Pflanzen durchgeführt. Dabei wurden 70 % der Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend alle 150...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Im Dezember 2021 wurden in Norwegen rund 14 000 Pkw neu zugelassen. In einer vereinfachten Übersicht sind die Anteile der verschiedenen Antriebsarten an diesen Neuzulassungen dargestellt. Für eine Untersuchung werden aus diesen Neuzulassungen 200...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

sind. Einer dieser Kreisbögen erstreckt sich im Bereich \(0 \leq x \leq 2\) und ist Teil des Kreises mit Mittelpunkt \(M(0|-1)\) und Radius 3. Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel des zu diesem Kreisbogen gehörenden Kreissektors und ermitteln Sie damit...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\) \[m_{T} = f'(x_0)\] (vgl. Merkhilfe) {/sliders} \[\textcolor{#cc071e}{g'(x) = 0}\] Mit \(g'(x) = f'\left( f(x) \right) \cdot f'(x)\) ist die Bedingung erfüllt, falls...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Gegeben ist die in \([0;10]\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2 \cdot \sqrt{10x -x^2}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet. Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f\). (zur Kontrolle: \(0\) und \(10\)) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe a...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Teilaufgabe d Nachweis, dass für \(0 \leq x \leq 5\) die Gleichung \(f(5 - x) = f(5 + x)\) erfüllt ist \[f(x) = 2 \cdot \sqrt{10x - x^2}\] \[\begin{align*}f(\textcolor{#0087c1}{5 - x}) &= 2 \cdot \sqrt{10 \cdot \textcolor{#0087c1}{(5 - x)} -...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Geben Sie den maximalen Definitionsbereich des Terms \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\) an. Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,0}f'(x)\) und deuten Sie das Ergebnis geometrisch. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe e \(f'(x) = \dfrac{10 -...

Teilaufgabe i

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Ein Wasserspeicher hat die Form eines geraden Zylinders und ist bis zu einem Füllstand von 10 m über dem Speicherboden mit Wasser gefüllt. Bohrt man unterhalb des Füllstands ein Loch in die Wand des Wasserspeichers, so tritt unmittelbar nach...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Person die Aktion „Baumpatenschaft" kennt, die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sie die Aktion „Umweltwoche" nicht kennt. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Da die Ereignisse \(B\) und \(U\) stochastisch unabhängig sind (vgl. Teilaufgabe 1a), tritt das...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Abbildung zeigt den Graphen \(G_g\) der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\) mit \(g(x) = 2 \cdot \sin{\left( \dfrac{1}{2}x \right)}\). Beurteilen Sie mithilfe der Abbildung, ob der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-2}^8 g(x)dx\) negativ...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

von \(f\) sowie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von \(f\) mit der \(y\)-Achse an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \frac{x^2-9}{x+2}; \; D_f = \mathbb R \backslash \{-2\}\] Nullstellen von \(f\): \(x = -3\) und \(x = 3\)...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Begründen Sie, dass \(h\) umkehrbar ist, und beschreiben Sie, wie der Graph der Umkehrfunktion \(h^{-1}\) von \(h\) aus dem Graphen von \(h\) hervorgeht. Geben Sie den Definitions- und den Wertebereich von \(h^{-1}\) an. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

geeignet umformen, und begründen Sie, dass \(f\) genau die Nullstellen \(-2\) und \(2\) hat. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[f(x) = x -3 + \frac{5}{x+3}; \; D_f = \mathbb R \backslash \{-3\}\] Nachweis, dass \(f(x) = \dfrac{x^2-4}{x+3}\) gilt...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

anhand der Abbildung einen Näherungswert für das Integral \(\displaystyle \int_{-2}^2 f(x)dx\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Der Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{-2}^2 f(x)dx\) entspricht der Flächenbilanz des Inhalts der Fläche,...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

mit \(k \in \mathbb R \backslash \{9\}\). Der Graph von \(f_k\) wird mit \(G_k\) bezeichnet. Die Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 ist somit die Funktion \(f_4\) dieser Schar. Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von \(f_k\) in Abhängigkeit von \(k\) an und...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Gleichungen (vgl. Merkhilfe) \[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\] \[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Stammfunktion von \(f\) exakt bestimmt werden kann, und geben Sie den Wert des Integrals an. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f Da der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt \((0|2)\) ist (vgl. Angabe Aufgabe 1), haben die beiden Flächen,...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

\(f_a\) mit \(f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3\) und \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\). Zeigen Sie, dass \(f'_a(0) = -a\) gilt. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4a \[f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R \backslash \{0\}\]...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

\(f_a\) mit \(f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3\) und \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\). Zeigen Sie, dass \(f'_a(0) = -a\) gilt. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4a \[f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R \backslash \{0\}\]...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Abbildung 2 zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\), dessen einzige Extrempunkte \((-1|1)\) und \((0|0)\) sind, sowie den Punkt \(P\). Abb. 2 Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in \(\mathbb R\)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von \(f\) mit der \(y\)-Achse an. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}\] Maximaler Definitionsbereich \(D\) der Funktion \(f\) Der Nenner der Funktion \(f\) darf nicht...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Abbildung 2 zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\), dessen einzige Extrempunkte \((-1|1)\) und \((0|0)\) sind, sowie den Punkt \(P\). Abb. 2 Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in \(\mathbb R\)...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

ist. Die Vorderseite wird modellhaft durch das Flächenstück beschrieben, das der Graph \(G_f\) der Funktion \(f\) aus Aufgabe 1, die \(x\)-Achse und die Geraden mit den Gleichungen \(x = -4\) und \(x = 4\) einschließen. Dabei entspricht eine...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Es gilt \(f(2)...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g\) mit \(g(x) = x^3+x^2\). Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(g\). Geben Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von \(g\) an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[g(x) = x^3+x^2; \; D_g =...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

die Anzahl der blauen Sektoren des Glücksrads. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Der Abbildung ist zu entnehmen: \(\mu = 75\) \[100 \cdot p = 75\; \Leftrightarrow \; p = \frac{75}{100} = 0{,}75\] \[0{,}75 \cdot 20 = 15\] 15 Sektoren des Glücksrads sind...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Die Abbildung zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4}{1+e^x}\). Der Graph ist symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts \((0|2)\). Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass \(f\) keine Nullstelle...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Kennwort erforderlich. Für das Kennwort können 80 verschiedene Zeichen verwendet werden: je 26 Groß- und Kleinbuchstaben, 10 Ziffern sowie 18 Sonderzeichen. Einige Abonnenten verwenden ein Kennwort, das genau acht Zeichen lang ist und nur aus...

Teilaufgabe j

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

j \(x\): Höhe des Bohrlochs über dem Speicherboden in Metern \(f(x)\): Spritzweite in Metern \[f(x) = 2 \cdot \sqrt{10x - x^2}\] Berechnung der Höhen, in denen das Loch gebohrt werden kann, damit die Spritzweite 6 m beträgt Bedingung: \(f(x) = 6\)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Weisen Sie nach, dass die Ereignisse \(B\) und \(U\) stochastisch unabhängig sind. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[P(\overline{B}) \cdot P(\overline{U}) = 0{,}8 \cdot 0{,}3 = 0{,}24 = P(\overline{B} \cap \overline{U})\] Somit sind die Ereignisse \(B\)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

\(D\) und Ableitungsfunktion \(f'\). Geben Sie \(D\) sowie die Nullstelle von \(f\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \ln{(x - 3)}\] Maximale Definitionsmenge von \(f\): \(D = \;]3;+\infty[\) Nullstelle von \(f\): \(x = 4\) Ausführliche...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 8x^3+3x\) mit der Ableitungsfunktion \(f'\). Berechnen Sie \(f'(1)\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Ableitungsfunktion \(f'\) bilden: Hierfür wird die Ableitung einer Potenzfunktion sowie...

Teilaufgabe 1g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass \(J\) mindestens zwei Nullstellen besitzt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1g \[J(x) = \int_{-2}^x f(t)dt; \; D_J = ]-3;+\infty[\] 1. Nullstelle Die Integralfunktion \(J\) hat an der unteren Integrationsgrenze...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto 4x - 4 \cdot \ln{(e^x+1)}\). Zeigen Sie, dass die Funktion \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d \[F(x) = 4x - 4 \cdot \ln{(e^x+1)}; \; D_F...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

eine positive Steigung hat und zudem die \(x\)-Achse in einem Punkt schneidet, dessen \(x\)-Koordinate größer als \(\dfrac{1}{2}\) ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \[f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R \backslash...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

eine positive Steigung hat und zudem die \(x\)-Achse in einem Punkt schneidet, dessen \(x\)-Koordinate größer als \(\dfrac{1}{2}\) ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \[f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R \backslash...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

zeigt das Netz eines Würfels, von dem nur drei Seiten beschriftet sind. Der Würfel wird so lange geworfen, bis die Zahl 1 zum ersten Mal erzielt wird. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau viermal gewürfelt wird. (2 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Graphen der Gruppe II. Abb. 2 Abb. 3 Die Extremstellen von \(f_a\) stimmen mit den Lösungen der Gleichung \(a \cdot x^2 = 1\) überein. Geben Sie zu jeder der beiden Gruppen I und II alle zugehörigen Werte von \(a\) an und begründen Sie Ihre Angabe. (3...

Teilaufgabe 2g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

da er auf der Gerade mit der Gleichung \(y = x\) liegt (vgl. Teilaufgabe 2f). Die Punkte \((0|0)\), \((\textcolor{#cc071e}{v}|0)\), \((\textcolor{#e9b509}{v}|\textcolor{#0087c1}{v})\) und \(\left(0|\textstyle \textcolor{#0087c1}{\frac{2}{v}}\right)\)...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

kleinst- und die größtmögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[\mu = 400 \cdot 0{,}05 = 20\] \[\sigma = \sqrt{400 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} \approx 4{,}4\] \[\mu - \sigma = 15{,}6\]...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

der Pyramide ist halb so groß wie die des Quaders. {slider Volumen einer Pyramide} Volumen einer Pyramide \[V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\] \(G\): Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide \(h\): Höhe der Pyramide (vgl. Merkhilfe) {/sliders}...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

von \(f\) liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung 1). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

den Eckpunkten \(P(-c|0)\), \(Q(c|0)\), \(R(c|f(c))\) und \(S\). Zeichnen Sie für \(c = 2\) das Rechteck \(PQRS\) in Abbildung 1 ein. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[f(x) = 2e^{-\frac{1}{8}x^2}; \; D_f = \mathbb R\] Für \(\textcolor{#e9b509}{c = 2}\)...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

des Rechtecks \(PQRS\) an und begründen Sie, dass der Flächeninhalt des Rechtecks durch den Term \(A(c) = 4c \cdot e^{-\frac{1}{8}c^2}\) gegeben ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e \[f(x) = 2e^{-\frac{1}{8}x^2}; \; D_f = \mathbb R\] Skizze optional...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist. Begründen Sie Ihre Angabe. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d Der Stau ist um 07:36 Uhr am längsten. Begründung (Skizze optional) Abb. 1 Abbildung 1 zeigt, dass der Graph von...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) kann mit dem Term \(6 \cdot 6 - \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 - 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6\) berechnet werden. Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung. (3 BE)...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Zahl a die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f_a\) mit \(f_a(x) = ax^2\). Abbildung 2 zeigt den Graphen von \(f_{\frac{1}{2}}\) sowie die Tangente \(t\) an den Graphen von \(f_{\frac{1}{2}}\) im Punkt \(\big(4 \big| f_{\frac{1}{2}}(4) \big)\)....

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

werden. Das folgende Gleichungssystem ermöglicht die Bestimmung der zugehörigen Werte von \(a\), \(b\) und \(c\). \[\textsf{(1)} \enspace \frac{a}{b+1} = 20\] \[\textsf{(2)}\enspace \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{a}{b+e^{cx}} = 45\] \[\textsf{(3)}...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term \(\displaystyle 1 - \sum \limits_{i\,=\,0}^{8} \binom{30}{i} \cdot 0{,}2^{i} \cdot 0{,}8^{30\,-\,i}\) berechnet werden kann, und geben Sie...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Genau eine der folgenden Gleichungen (1) bis (3) beschreibt eine Symmetrieebene der Pyramide. Geben Sie diese Gleichung an und begründen Sie für eine der anderen Gleichungen, dass die durch sie beschriebene Ebene keine Symmetrieebene der Pyramide ist....

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

\log_{a}{x}\) und somit auch die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitz die einzige Nullstelle \(x = 1.\) Mit \(\ln{1} = 0\) folgt: \[\begin{align*}h(x) &= 0 \\[0.8em] \ln{(\textcolor{#e9b509}{2x - 3})} &= 0 &&| \;...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

\(\mathbb R^+\) definiert. Deshalb muss im Falle der Funktion \(g(x) = \ln{\left( f(x) \right)}\) gelten: \(\textcolor{#0087c1}{f(x) > 0}\). {slider Maximale Definitionsmenge bestimmen} Maximale Definitionsmenge bestimmen Gebrochenrationale Funktion /...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

\(f\) die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(s\) mit \(s(x) = \left( \frac{x}{4} \right)^2 \cdot (4 - x)^3 = -\frac{1}{16}x^5 + \frac{3}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2\) von Bedeutung. Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: Die Staulänge kann...

Teilaufgabe 1g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 2 gezeigten Graphen dargestellt. Dabei ist \(x\) die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und \(y\) die...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

dafür, dass er eine Auszahlung erhält. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3a \[P(\text{„Auszahlung"}) = 0{,}9^4 = 0{,}65610 \approx 65{,}6\,\%\] Ergänzende Erklärung (nicht verlangt) Der Spieler bekommt eine Auszahlung, wenn er viermal keine „0" erzielt....

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

\colon x \mapsto \dfrac{a}{b+e^{cx}}\) mit \(a,b \in \mathbb R^+\) und \(c \in \mathbb R\). Die Funktion aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar. Jeder der abgebildeten Graphen I, II und III der Schar gehört, bei festen Werten von \(a\) und \(b\),...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Die gerade Fahrlinie liegt dabei im Modell auf der Gerade \(g_{0{,}8} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1{,}8\\0{,}2\\-1 \end{pmatrix}\). Die \(x_1x_2\)-Ebene beschreibt die Horizontale;...

Teilaufgabe g

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Jede Ebene \(E_k\) der Schar schneidet die \(x_1x_2\)-Ebene in einer Gerade \(g_k\). Mit \(R_k\) wird jeweils derjenige Punkt auf \(g_k\) bezeichnet, der von \(O\) den kleinsten Abstand hat. In Abbildung 2 sind \(g_k\) und \(R_k\) beispielhaft für eine...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^2 + 2x}{x+1}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f\). Geben Sie \(D_f\) und die Nullstellen von \(f\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}\] Maximale...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

\(\sqrt{e}\) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0|0)\) Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) \[f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R\] \[\begin{align*}f_\textcolor{#e9b509}{0}(x) &= x...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Standardabweichung \(\sigma\) folgende Ungleichung für \(k > 0\): \[P(\mu - k \cdot \sigma < X...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Ermitteln Sie diejenige Stelle \(x \in D\), für die \(f'(x) = 2\) gilt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = \ln{(x - 3)};\; D = \;]3;+\infty[\] Erste Ableitungfunktion \(f'\) bilden: Hierfür wird die Kettenregel sowie die Ableitung der natürlichen...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

streng monoton steigend. {slider Monotoniekriterium} Anwendung der Differetialrechnung: Monotoniekriterium \(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\) \(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

streng monoton steigend. {slider Monotoniekriterium} Anwendung der Differetialrechnung: Monotoniekriterium \(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\) \(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

da seine Steigung (Steigung der Wendetangente) an der Stelle \(x = 0\) kleiner als \(F'(0) = f(0) = 2\) ist (vgl. Teilaufgabe 1a). Graph III kommt nicht infrage, da dieser in Bereichen streng monoton fallend ist. Wegen \(F'(x) = f(x) =...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Uhr bis 08:00 Uhr und bestimmen Sie für diesen Zeitraum die mittlere Änderungsrate der Staulänge. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f \[s(x) = \left( \frac{x}{4} \right)^2 \cdot (4 - x)^3 = -\frac{1}{16}x^5 + \frac{3}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2; \; D_s = \mathbb...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Zeichnen Sie die Pyramide \(EFGHS_{15}\) in Abbildung 1 ein. Die Seitenfläche \(EFS_{15}\) und die Grundfläche \(EFGH\) dieser Pyramide schließen einen Winkel ein. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass die Größe dieses Winkels kleiner als 45° ist;...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Der Körper wird so um die Gerade \(AB\) gedreht, dass der mit \(D\) bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt und dabei eine positive \(x_2\)-Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ersten beiden Pakete Retouren sind. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e \[\frac{6}{25} \cdot \frac{5}{24} = \frac{1}{20} = 0{,}05 = 5\,\%\] bzw. \[\frac{6 \cdot 5}{25 \cdot 24} = \frac{1}{20} = 0{,}05 =...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Gegeben sind die Punkte \(A(8|0|6)\), \(B(7|1|6)\) und \(S(0|0|10)\), die in der Ebene \(E\) liegen. Berechnen Sie die Länge der Strecke \([AB]\) und geben Sie die besondere Lage dieser Strecke im Koordinatensystem an. (zur Kontrolle: \(\overline{AB} =...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

mit erster Ableitungsfunktion \(f'\) und zweiter Ableitungsfunktion \(f''\) hat folgende Eigenschaften: \(f\) hat bei \(x_1\) eine Nullstelle. Es gilt \(f'(x_2) = 0\) und \(f''(x_2) \neq 0\). \(f'\) hat ein lokales Minimum an der Stelle \(x_3\)....

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(h_k\) mit \(h_k(x) = (x - 3)^k + 1\) und \(k \in \{1;2;3;\dots\}\). Geben Sie in Abhängigkeit von \(k\) das Verhalten von \(h_k\) für \(x \to -\infty\) an und begründen Sie Ihre...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Abbildung 1 zeigt den Körper \(ABCDEFGH\), bei dem die quadratische Grundfläche \(ABCD\) parallel zur quadratischen Deckfläche \(EFGH\) liegt. Der Körper ist symmetrisch sowohl bezüglich der \(x_1x_3\)-Ebene als auch bezüglich der \(x_2x_3\)-Ebene....

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

werden die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f\) und \(F\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_F\) von \(F\). Abb. 1 Bestimmen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_1^7 f(x)dx\). (2 BE)...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto -x^2 + 2ax\) mit \(a \in \; ]1;+\infty[\). Die Nullstellen von \(f\) sind \(0\) und \(2a\). Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2e^{-\frac{1}{8}x^2}\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\), der die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote besitzt. Abb. 1 Berechnen Sie die Koordinaten des...

Teilaufgabe 1g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

ersten Ableitung von \(\boldsymbol{f_k}\), dass \(f_k\) für jeden Wert von \(k\) umkehrbar ist. Skizzieren Sie in Abbildung 1 den Graphen der Umkehrfunktion von \(f_0\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1g \[f(x) = 2e^{-\frac{1}{8}x^2}\] \[f_k(x) = f(x) +...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

ausgewählten Fahrzeugen. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von \(X\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[\mu = 200 \cdot 0{,}9 = 180\] \[\sigma = \sqrt{200 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1} \approx 4{,}2\] Ergänzende Erklärung (nicht...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Sie diese Bedeutung an. Geben Sie zudem die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden an. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = x - 3 + \dfrac{5}{x+3}\; \; D_f = \mathbb R \backslash \{-3\}\] Einzeichnen und Bedeutung der beiden Geraden...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Ermitteln Sie die Werte von \(a\) und \(b\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2e \[\textsf{(1)} \enspace \frac{a}{b+1} = 20\] \[\textsf{(2)}\enspace \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{a}{b+e^{cx}} = 45\] \[\textsf{(3)} \enspace \frac{a}{b+e^{15c}} = 35\]...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Entwicklung der Anzahl der Seeadler. In einem Modell wird diese Entwicklung mithilfe des Graphen der Funktion \(w_{40;1;-0{,}2}\) beschrieben, die im Folgenden mit \(w\) bezeichnet wird. Es gilt also \(w(x) = \dfrac{40}{1+e^{-0{,}2x}}\). Dabei ist \(x\)...

Teilaufgabe k

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

des Wassers im Speicher in Abhängigkeit von der Zeit. Die Funktion \(g \colon t \mapsto 0{,}25t - 25\) mit \(0 \leq t \leq 100\) beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung dieser Volumenänderung. Dabei ist \(t\) die seit der Fertigstellung des...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

der Beschäftigten ein Jobticket." \(\Rightarrow\;P_B(J) = 0{,}5\) Außerdem bereits bekannt (vgl. Angabe Aufgabe 3, Teilaufgabe 1a) \(P(B) = 0{,}2\); \(P(J) = 0{,}6\) „Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein... Beschäftigter..., der ein...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Sie den kleinstmöglichen Wert von n, für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, kleiner als 1 % ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \[\frac{6!}{6^6} \approx 0{,}01543 \approx 1{,}5\,\%;\enspace \frac{7!}{7^7} \approx...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Der Winkel, den die Ebene \(\textcolor{#cc071e}{L}\) mit der \(\textcolor{#0087c1}{x_1x_2}\)-Ebene einschließt (Schnittwinkel), ist...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Ein Glücksrad ist in 20 gleich große Sektoren unterteilt, die entweder blau oder gelb eingefärbt sind. Das Glücksrad wird 100-mal gedreht. Die binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) beschreibt, wie oft dabei die Farbe „Blau", die binomialverteilte...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

zur Gerade mit der Gleichung \(y = x-3\) steht Das Produkt der Steigungen zweier zueinander senkrechter Geraden ist \(-1\). {slider zueinander parallele / senkrechte (orthogonale) Geraden} Zueinander parallele / senkrechte (orthogonale) Geraden \[g_1...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Berechnen Sie die mittlere Steigung des Graphen von \(f\) im Bereich \(-1 \leq x \leq 1\) auf Hundertstel genau und bestimmen Sie grafisch die Steigung des Graphen von \(f\) in seinem Wendepunkt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) =...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

49 % der Pakete enthalten Kleidung. Von den Paketen, bei denen es sich um Retouren handelt, enthalten 91 % Kleidung. Es wird ein Paket zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse: \(R\): „Bei dem Paket handelt es sich um eine Retoure."...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Die binomialverteilte Zufallsgröße \(Y\) hat die Parameter \(n = 8\) und \(p_Y = 1 - p_X\). Kennzeichnen Sie in Abbildung 2 eine Fläche, die die Wahrscheinlichkeit \(P(Y \geq 6)\) darstellt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b Ausführliche Erklärung (nicht...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

In einem Modell für einen Küstenabschnitt am Meer beschreibt die \(x_1x_2\)-Ebene die horizontale Wasseroberfläche und die Gerade \(g\) die Uferlinie. Die Ebene \(E\) stellt im betrachteten Abschnitt den Meeresboden dar. Eine Boje schwimmt auf der...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

\(g\) an, die den Wertebereich \([-2;4]\) hat. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4a zum Beispiel: \(g(x) = 3 \cdot \sin{x} + 1\) oder \(g(x) = 3 \cdot \cos{x} +1\) Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Der vorgegebene Wertebereich \([-2;4]\) schließt die...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Geben Sie das Verhalten für \( x \to -\infty\) sowie für \(x \to +\infty\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = \frac{x^2-9}{x+2}; \; D_f = \mathbb R \backslash \{-2\}\] \[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) = -\infty\] \[\lim...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) und berechnen Sie die \(x\)-Koordinate von \(T\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d \(f(x) = \dfrac{x^2-4}{x+3} = x-3 + \dfrac{5}{x+3}; \; D_f = \mathbb R \backslash \{-3\}\) (vgl. Teilaufgabe 1c) Erste...

Teilaufgabe h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Durchläuft \(k\) alle Werte von \(-1\) bis \(1\), dann dreht sich das Dreieck \(OR_kS\) um die Strecke \([OS]\). Dabei entsteht ein Körper. Beschreiben Sie die Form des entstehenden Körpers und bestimmen Sie das Volumen dieses Körpers. (3 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Sie die Koordinaten dieses Punkts und begründen Sie, dass es sich um einen Hochpunkt handelt. (zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\); \(y\)-Koordinate des Hochpunkts: \(10\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe b \[f(x) = 2 \cdot...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen \(a\), \(a_1\) und \(a_2\): \(f_a(0) = 0\) \(f'_a(0) = f'_0(0)\) \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \enspace \Leftrightarrow \enspace a_1 = a_2\) oder \(x =0\) Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Die Funktion \(g\) ist umkehrbar. Die Umkehrfunktion \(g^{-1}\) von \(g\) ist in \([1;+\infty[\) definiert. Bestimmen Sie einen Term von \(g^{-1}\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[g(x) = \sqrt{x} + 1; \; D_g = \mathbb R_0^+\] {slider Umkehrfunktion}...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate der Staulänge, beschrieben durch die Funktion \(f\), maximal ist. Die...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Autozulieferers haben sich für den Kauf eines Jobtickets entschieden,..." \(\Rightarrow\;P(J) = 0{,}6; \; P(\overline{J}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\) „Bestimmen Sie unter der Annahme, dass der Anteil der Beschäftigten mit einem Jobticket an beiden Standorten...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

dafür, dass unter 200 zufällig ausgewählten Paketen mehr als ein Viertel Retouren sind. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \(X\): Anzahl der Retouren unter 200 zufällig ausgewählten Paketen \[\begin{align*}P_{0{,}2}^{200}(X > 50) &= 1 - P_{0{,}2}^{200}(X...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

dass die folgende Aussage zutrifft: Die Tangente an \(G_g\) im Koordinatenursprung ist die Gerade durch die Punkte \((\textit{-1}|\textit{-1})\) und \((\textit{1}|\textit{1})\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Die Gerade durch die Punkte \((-1|-1)\) und...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Erklärung (nicht verlangt) Das Signifikanzniveau ist per Definition eine Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art. {slider Fehler 1. Art / Fehler 2. Art} Da die Entscheidung über die Annahme oder Ablehnung einer Nullhypothese aufgrund...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Geben Sie \(D_g\) sowie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[g(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 - 9}\] \[D_{g} = \mathbb R \backslash \{-3;3\}\] Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Bestimmen Sie den Funktionswert von \(f\) an der Stelle 1; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 1. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Abb. 1 \[f(1) = F'(1) = 4\] Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Abb. 1 Abbildung 1 zeigt den Graphen...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Berechnen Sie denjenigen Wert von \(c\), für den \(\overline{QR} = 1\) gilt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d \[f(x) = 2e^{-\frac{1}{8}x^2}; \; D_f = \mathbb R\] Skizze optional Die Länge der Strecke \(\textcolor{#e9b509}{[QR]}\) entspricht dem...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

für den der Graph von \(h'_k\) Tangente an den Graphen von \(h_k\) ist. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[h_k(x) = (x - 3)^k + 1; \;D_{h_k} = \mathbb R, \; k \in \{1;2;3;\dots\}\] Erste Ableitung \(h'_k\) bilden: {slider title="Erste Ableitung...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

In Deutschland waren zu Beginn des Jahres 2021 etwa 320 000 Pkw mit rein elektrischem Antrieb und 280 000 Plug-in-Hybride zugelassen, also insgesamt 600 000 Pkw mit Elektromotor. Der Anteil der Pkw mit Elektromotor am Gesamtbestand aller in Deutschland...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

(Tor) in einem gemeinsamen Punkt schneiden (vgl. Teilaufgabe e). \[g_{0{,}8} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1{,}8\\0{,}2\\-1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\] Strecke \([AB]\)...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

und Radius \(2\sqrt{6}\). Geben Sie eine Gleichung von \(K\) in Koordinatenform an und zeigen Sie, dass der Punkt \(P(5|-4|1)\) auf \(K\) liegt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe a Gleichung der Kugel \(K\) in Koordinatenform...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

dafür, dass mindestens eine Pflanze von Pilzen befallen wird, mindestens 99 % beträgt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \(X_n\): Anzahl der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden. Die Zufallsgröße \(X_n\) ist nach...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Flächeninhalt \(A(c)\) des Rechtecks \(PQRS\) maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von \(c\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f \(A(c) = 4c \cdot e^{-\frac{1}{8}c^2}; \; c \in \mathbb R^{+}\) (vgl. Teilaufgabe 1e) Notwendige Bedingung für einen...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau. An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in \(\mathbb R\)...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

gespielt. Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3\) berechnet werden kann. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Zum Beispiel: „Das Spiel...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Betrachtet werden die Schar der Geraden \(g_k \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1+k\\1-k\\-1 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\) und \(k \in \mathbb R\) sowie der Punkt...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Die lokale Änderungsrate von \(g\) an der Stelle \(x_0\) stimmt mit der mittleren Änderungsrate von \(g\) im Intervall \([1;4]\) überein. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Abb. 1 Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Die Steigung...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Für einen bestimmten Wert \(n \in \{1;2;3;\dots\}\) werden für \(p \in \;]0;1[\) die binomialverteilten Zufallsgrößen \(Z_p\) mit den Parametern \(n\) und \(p\) betrachtet. Weisen Sie nach, dass unter diesen Zufallsgrößen diejenige mit \(p = 0{,}5\)...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

x \mapsto \int_{-2}^x f(t) dt\). Begründen Sie, dass die in \(]-3;+\infty[\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto \frac{1}{2}x^2 -3x + 5 \cdot \ln{(x+3)}\) für \(x > -3\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Zeigen Sie damit, dass \(\lim...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Begründen Sie, dass die Größe des Schnittwinkels von \(g_k\) und der \(x_1x_2\)-Ebene weniger als 30° beträgt, wenn \(2k^2 > 1\) gilt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Schnittwinkel \(\varphi\) zwischen \(g_k\) und der \(x_1x_2\)-Ebene (schematische...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Gegeben ist die in \(\mathbb R^+\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{4}{x}\). Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(g\). Abb. 1 Berechnen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_1^e g(x)dx\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[g(x) =...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

für die Beschriftung dieser drei Seiten, sodass bei einmaligem Werfen des Würfels der Erwartungswert für die Zahl \(\dfrac{31}{6}\) beträgt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise wählt man \(a\), \(b\) und \(c\) stellvertretend für die...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Term I oder Term II ist, ohne einen Term von \(\boldsymbol{f''}\) zu berechnen. \[\textsf{I}\quad\; f''(x) = \frac{50}{(x^2-10x)\cdot\sqrt{10x-x^2}}\] \[\textsf{II}\quad f''(x) = \frac{50}{(10x-x^2)\cdot\sqrt{10x-x^2}}\] (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe c...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

welche Tiefe unter der Wasseroberfläche der Fotograf bei diesem Tauchvorgang erreicht. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe f 1. Möglichkeit: Hessesche Normalenform der Ebenen \(E\) anwenden 2. Möglichkeit: Parallele Hilfsebene zu Ebene \(E\) aufstellen 3....

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von \(f\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b Abb. 1 Abb. 1 Mögliche Graphen von \(f\) Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Analyse der Eigenschaften: \(f\) hat bei \(x_1\) eine Nullstelle. Der...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Schritte eines Lösungswegs, mit dem der Wert von \(a\) rechnerisch so bestimmt werden könnte, dass bei einer Fensterhöhe von 1,50 m der Teil der Vorderseite der Dachgaube, der in Abbildung 3 schraffiert dargestellt ist, den Flächeninhalt 6 m2 hat. (5...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Bestimmen Sie einen Term derjenigen Stammfunktion \(F\) von \(f\), deren Graph durch den Punkt \((-1|5)\) verläuft. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = 8x^3 + 3x; \; D_f = \mathbb R\] Zunächst wird die Menge aller Stammfunktionen \(F_C =...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Kurve fortgesetzt. Während der Fahrt entlang dieser Kurve erreicht die Skifahrerin eine Stelle, die dem Punkt \(D(18|-2|2)\) entspricht. Der Kreisbogen, der diese Kurve beschreibt, ist Teil eines Kreises mit Mittelpunkt \(M(m_1|m_2|m_3)\). Die...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Die vier Seiten eines regelmäßigen Tetraeders sind mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4 durchnummeriert. Das Tetraeder wird fünfmal geworfen. Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\left( \dfrac{3}{4}...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Abbildung 1 zeigt die Pyramide \(ABCDS\) mit den Eckpunkten \(A(-3|-3|0)\), \(B(3|-3|0)\), \(C(3|3|0)\), \(D(-3|3|0)\) und \(S(0|0|4)\) sowie den Punkt \(O(0|0|0)\), der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt. Die Seitenfläche \(CDS\) der...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\displaystyle \sum \limits_{k\,=\,0}^{25}\binom{200}{k} \cdot 0{,}1^k \cdot (1 - 0{,}1)^{200 - k}\) berechnet werden kann. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Mögliche Formulierungen: „Unter den 200...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = \left( 1 - x^2 \right) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}\)) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Für die Bestimmung von \(f'\) wird u. a. die Produkt-...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{0\}\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{x^2} - 1\). Geben Sie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) sowie die Wertemenge von \(g\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden \(h_a \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(\mu \in \mathbb R\) und \(a \in \mathbb R\). Weisen Sie nach, dass...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Fehler 2. Art, dass die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, obwohl sie nicht zutrifft, beträgt dann: \[P_{0{,}65}^{200}(Y \leq 131) = 0{,}58520 \approx 58{,}5\,\% > 50\,\%\] Ergänzende Erklärung (nicht verlangt) Der Fehler 2. Art bedeutet: Die...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Berechnen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{2}g(x)dx\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[g(x) = \frac{1}{x^2} - 1; \; D_g = \mathbb R \backslash \{0\}\] {slider Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale} Berechnung...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Gegeben sind die Punkte \(A(3|5|5)\) und \(B(1|1|1)\) sowie die Geraden \(g\) und \(h\), die sich in \(B\) schneiden. Die Gerade \(g\) hat den Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), die Gerade \(h\) den Richtungsvektor...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

jeweils zwei gegenüberliegende zueinander parallel sind (Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten). (vgl. Abiturskript - 2.1.6 Nachweis von Vierecken, spezielle Vierecke) Planskizze (schematisch, optional): Der Punkt \(C\) soll auf der Gerade \(h\)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}\). Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f\) ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem. Abb. 1 Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

\(X\) dargestellt. Abb. 2 Ermitteln Sie den Wert des Parameters \(p_X\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3a \(\textcolor{#0087c1}{n = 8}\); \(\sigma = \dfrac{4}{3}\) Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(\textcolor{#0087c1}{8};\textcolor{#cc071e}{p_X})\)...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Im Folgenden wird ein Glücksrad mit n gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen 0 bis n - 1 durchnummeriert sind, betrachtet. Bestimmen Sie für n = 5 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligem Drehen des Glücksrads genau zwei gleiche Zahlen...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

(Laplace-Experiment). {/sliders} Insgesamt gibt es bei zweimaligem Drehen des Glücksrads \(\vert \Omega \vert = 10^2 = 100\) Ergebnisse (mögliche Kombinationen). Ergebnisse und Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(\boldsymbol{C}\) \(C\): „Die Summe der...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = e^{2x + 1}\). Zeigen Sie, dass \(f\) umkehrbar ist, und ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von \(f\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[f(x) = e^{2x + 1}; \; D_{f} =...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

\int_u^v g'(x) \cdot e^{g(x)}dx = \left[ e^{g(x)} \right]_u^v\). Berechnen Sie damit den Wert des Terms \(\displaystyle \int_0^1 f(x) dx\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d Um für die Berechnung des Integrals \(\displaystyle \int_0^1 f(x) dx\) die...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d \[\begin{align*}k \cdot f_{a}\left( \frac{1}{k} \cdot x \right) &= k \cdot \frac{1}{k} \cdot x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot \left(\frac{1}{k} \cdot x\right)^2 + \frac{1}{2}}...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

kann, dass jede Zahl mindestens einmal erzielt wird. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise berechnet der Term \[\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot \binom{5}{2}\] die...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

einem Spiel wird ein Würfel einmal geworfen und ein Glücksrad einmal gedreht. Die Seiten des Würfels sind mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert. Das Glücksrad hat zehn gleich große Sektoren, die mit den Zahlen von 1 bis 10 durchnummeriert sind. Man...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

zu Teilaufgabe 3b Zufallsgröße \(X\): Auszahlungsbetrag in Euro nach einer weiteren Drehung des Glücksrads. \[E(X) = (0+61+62+63+64+65+66+67+68+69)\cdot 0{,}1 = 58{,}5\] Da \(58{,}5...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(f\). Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Rechnerische Untersuchung des Monotonieverhaltens von \(f\) Gemäß dem...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Betrachtet wird nun die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_a \colon x \mapsto x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}\) mit \(a \in \mathbb R\). Zeigen Sie, dass genau ein Graph der Schar den Punkt \((1|1)\) enthält, und...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Der Punkt \(W\Big(-2\Big|2e^{-\frac{1}{2}}\Big)\) ist einer der beiden Wendepunkte von \(G_f\). Die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(W\) wird mit \(w\) bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(w\) und berechnen Sie die Stelle, an der \(w\) die...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Gegeben ist die in \(\mathbb R_0^+\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \sqrt{x} + 1\). Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \((1|g(1))\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[g(x) = \sqrt{x} + 1; \; D_g =...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Für den beschriebenen Test ergibt sich \(\{132;133; \dots ; 200\}\) als Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt: \(Y\): Anzahl der zufriedenen...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

die Koordinaten der Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[h_k(x) = (x - 3)^k + 1; \;D_{h_k} = \mathbb R, \; k \in \{1;2;3;\dots\}\] Für gemeinsame Punkte aller Graphen der Schar muss der Term \((x - 3)^k\)...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße \(X\), die nur die Werte \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) und \(5\) annehmen kann. \(k\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(P(X = k)\) \(p_1\) \(p_2\) \(p_3\) \(0{,}2\) \(0{,}15\) Die...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Gegeben ist die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\). Zeigen Sie, dass \(g\) in der Ebene mit der Gleichung \(x_1 +...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(E \colon x_1+x_2+2x_3-20=0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Die Punkte \(A\), \(B\) und \(S\) liegen in der Ebene \(E\) (schematische Darstellung, vgl. Angabe). Somit liefert...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Ebene \(N_k\) enthält die \(x_3\)-Achse und den Punkt \(P_k(1-k|k|0)\) mit \(k \in \; ]0;1[\). Welche Kanten des Körpers von \(N_k\) geschnitten werden, ist abhängig von \(k\). Durchläuft \(k\) alle Werte zwischen \(0\) und \(1\), so gibt es...

Teilaufgabe 2f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Gerade. Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung \(y = x\) handelt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2f 1. Möglichkeit: Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 berücksichtigen Graph der Funktion \(f\) aus Aufgabe 1, Trägergerade der...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Gleichung \(y = 3\) als waagrechte Asymptote und schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0|4)\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Mögliche Funktionsterme von \(h\) sind beispielsweise: \(h(x) = \dfrac{3x^2 + 4}{x^2 + 1}\quad\) oder \(\quad h(x) =...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Wert von \(k\) mit \(k \geq 4\) stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für \(k\) und der Flächeninhalt des Trapezes für \(k + 1\) überein. (7 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d Begründung, weshalb jedes der Vierecke ein Trapez ist Da die Punkte...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform sowie die Größe \(\varphi\) des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt. (zur Kontrolle: \(x_1+x_2+x_3-19= 0; \enspace \varphi \approx 55^{\circ}\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe...

Teilaufgabe h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

die Gerade mit der Gleichung \(x = 5\) als Symmetrieachse. Zeigen Sie, dass die Diagonalen dieses Rechtecks jeweils die Länge 10 besitzen. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe h Planskizze (optional): Aus Symmetriegründen (vgl. Angabe) ergibt sich...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Der Körper \(ABCDEFGHS_{15}\) stellt modellhaft die Knickpyramide des Pharaos Snofru dar, die ca. 2650 v. Chr. in Ägypten erbaut wurde (vgl. Abbildung 2). Dabei beschreibt die \(x_1x_2\)-Ebene den horizontalen Boden; eine Längeneinheit im...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

dem die Tangente an \(G_f\) im Punkt \((2|f(2))\) die \(x\)-Achse schneidet, entsprich dem Steigungswinkel \(\textcolor{#cc071e}{\alpha}\) der Tangente. Der Zusammenhang zwischen der Steigung \(\textcolor{#cc071e}{m}\) der Tangente und dem...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f \[f(x) = 2 \cdot \sqrt{10x - x^2}; \; D_{f} = [0;10]\] \[f(8) = 2 \cdot \sqrt{10 \cdot 8 - 8^2} = 2 \cdot \sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8\] Bisherige...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei oder drei Retouren entnommen werden. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f \[\frac{\displaystyle \binom{6}{2} \cdot \binom{19}{8} + \binom{6}{3} \cdot \binom{19}{7}}{ \displaystyle \binom{25}{10}} \approx...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

verlangt) Die Schattenlinien der zu den Grundkanten \([AB]\) bzw. \([AD]\) parallel verlaufenden Kanten \(\textcolor{#0087c1}{[EF]}\) bzw. \(\textcolor{#0087c1}{[EH]}\) werden durch die parallel einfallenden Lichtstrahlen parallel abgebildet. Die...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Zeigen Sie, dass der Graph von \(g\) in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[g(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 - 9}; \; D_{g} = \mathbb R \backslash \{-3;3\}\] Der Graph von \(g\) besitzt in genau einem Punkt eine...

Teilaufgabe 1h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Graph von \(f_k\) und der Graph der Umkehrfunktion von \(f_k\) keinen gemeinsamen Punkt haben. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1h \[k \in \;]-2;+\infty[\] Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Allgemein gilt: Die Schnittpunkte des Graphen einer Funktion...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

den Verlauf des Graphen von \(f'\) an und skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von \(f'\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Bedeutung der Beziehung \(f'(-x) = f'(x)\) für den Verlauf des Graphen von \(f'\) Der Graph von \(f'\) ist bezüglich der...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

entschieden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie höchstens 40 Jahre alt ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Zu bestimmen ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_K(A)\). Mithilfe des Baumdiagramms aus Teilaufgabe 1a ergibt sich: {slider...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Komplettpaket entschieden. Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Betrachtet werden beispielsweise folgende Ereignisse: \(A\): „Ein Abonnent ist höchstens 40 Jahre alt." \(\overline{A}\):...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

0\\0\\p \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 0\\4\\3 \end{pmatrix}\] \[\textsf{II} \quad 4 \cdot 4t + 3 \cdot (p+3t) -12 = 0 \vphantom{\begin{pmatrix} 0\\0\\p \end{pmatrix}}\] \[\textsf{III} \quad \vert \overrightarrow{PQ} \vert = p...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Untersuchen Sie, ob \(K\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Planskizze (optional): Der Abstand \(\textcolor{#0087c1}{d(M;x_1x_2\text{-Ebene})}\) des Mittelpunkts \(M\) der Kugel \(K\) von der \(x_1x_2\)-Ebene lässt sich der...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Geben Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von \(f\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Mithilfe der Quotientenregel, der Summenregel sowie der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion ergibt sich: \[f(x) =...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

von \(f\), dass \(G\) für \(x > -3\) oberhalb der Gerade mit der Gleichung \(y = x-3\) verläuft. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = x - 3 + \frac{5}{x+3}; D_f = \mathbb R \backslash \{-3\}\] Koordinaten des Schnittpunkts von \(g\) mit der...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

\(\textcolor{#e9b509}{\mathbb R^{+}}\) definiert! {/sliders} Eine quadratische Funktion mit den Nullstellen \(\textcolor{#0087c1}{x = -2}\) und \(\textcolor{#0087c1}{x = 4}\), deren Parabel nach unten geöffneten ist (negativer Öffnungsfaktor, z.B....

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

\to +\infty\). Für \(a > 0\) gilt: \[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}f_a(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty}\; \textcolor{#0087c1}{\underset{\to\,-\infty}{x}} \cdot \underbrace{e^{\textcolor{#cc071e}{\overset{\to\,-\infty}{ax}}}}_{\to\,0} = 0^-\] \[\lim...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

von \(f\) und für jede reelle Zahl \(w > 2022\) gilt \[F(w) - F(0) \approx \int_0^{2022} f(x)dx\] (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Skizze schematisch (nicht verlangt): Das bestimmte Integral \(\displaystyle \textcolor{#cc071e}{\int_0^{2022}f(x)dx}\)...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Bestimmen Sie die Anzahl aller derartigen Kennwörter. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[\binom{8}{2} \cdot 74 \cdot 73 = 151256\] Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Da 6 Zeichen des 8 Zeichen langen Kennworts mit den Buchstaben des Namens „Niclas"...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

und \(g(6)\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3a Abb. 2 \[g(x) = f\left(f(x)\right); \; D_g = \mathbb R\] \[f(\textcolor{#0087c1}{6}) = \textcolor{#0087c1}{2}\] \[g(6) = f\left( f(\textcolor{#0087c1}{6}) \right) = f(\textcolor{#0087c1}{2}) =...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

2c Gleichung der Tangente an den Graphen von \(w\) im Punkt \((0|w(0))\): Die Steigung der Tangente ist \(\textcolor{#cc071e}{2}\) (vgl. Angabe). Da der Punkt \((0|w(0))\) auf der \(y\)-Achse liegt, ist \(w(\textcolor{#e9b509}{0})\) der...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist. {/sliders} Ansatz der Tangentengleichung: \(t \colon y = \textcolor{#cc071e}{m}x + \textcolor{#0087c1}{c}\) Es ist zu zeigen, dass \(\textcolor{#0087c1}{c} = \textcolor{#0087c1}{-f_a(u)}\) der...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Vorgehensweise: Der Parameter \(k\) der Tangentengleichung \(t_k\) wird einmal durch einen Parameter \(\textcolor{#cc071e}{m}\) und einmal durch einen Parameter \(\textcolor{#0087c1}{n}\) ersetzt, wobei \(\textcolor{#cc071e}{m} \neq...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

rechtwinkliges Dreieck. Die Höhe des Dreiecks entspricht dem Abstand \(d(\textcolor{#e9b509}{K};\textcolor{#cc071e}{E}) = \textcolor{#e9b509}{3}\). Die Höhe teilt das Dreieck wiederum in zwei gleichschenklig rechtwinklige Dreiecke mit den Schenkellängen...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Sie die folgende Aussage: Der Graph von \(F\) verläuft vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e \[F(x) = 4x - \underbrace{4 \cdot \underbrace{\ln{(e^x+1)}}_{>\,x}}_{>\,4x} \textcolor{#cc071e}{ Veranschaulichung der...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

x \mapsto \sqrt{x}\) hervorgeht. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3a \[h(x) = \sqrt{\textcolor{#e9b509}{x+3}}\textcolor{#cc071e}{-2}; \; D_h = [-3;+\infty[\] \[w(x) = \sqrt{x}; \; D_w = \mathbb R_0^+\] ergänzende Skizze {slider Verschieben von...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

g(x) = \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} ax^4 = -\infty \; \Rightarrow \; a...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_a\) mit \(f_a(x) = x \cdot e^{ax}\) und \(a \in \mathbb R \backslash\{0\}\). Für jeden Wert von \(a\) besitzt die Funktion \(f_a\) genau eine Extremstelle. Begründen Sie, dass...

2.1.6 Nachweis von Vierecken

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *

dass vier bekannte Punkte ein Viereck festlegen, die Punkte also in einer Ebene liegen. (Vorkenntnisse: Abiturskript - 2.1.1 Rechnen mit Vektoren, Abiturskript - 2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren und Abiturskript - 2.1.3 Skalarprodukt von...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Sie diesen Körper. In einer Formelsammlung ist zur Berechnung des Volumens eines solchen Körpers die Formel \(V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{a}{2} \right)^{2} \cdot \pi \cdot b\) zu finden. Geben Sie für den beschriebenen Körper die Strecken an,...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

rechtwinkligen Dreiecks \(MSF\) mit den Katheten \([MF]\) und \([FS]\). \[\begin{align*}A_{MTSF} &= 2 \cdot \textcolor{#cc071e}{A_{MSF}} \\[0.8em] &= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#cc071e}{\overline{MF}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\overline{FS}}...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Weisen Sie nach, dass die Gerade \(g\) die Kugel \(K\) im Punkt \(T(3|12|-2)\) berührt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe d 1. Möglichkeit: Berührpunkt mit Kugelgleichung bestimmen Kugelgleichung in Koordinatendarstellung aufstellen...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M(-13|20|0)\) berührt die Ebene \(E\). Bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Berührpunkts \(F\) sowie den Kugelradius \(r\). (zur Kontrolle: \(F(-5|4|2)\), \(r = 18\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe c...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Schnittwinkel \(\boldsymbol{\varphi}\) zwischen Gerade und Ebene \[\cos{(90^{\circ} - \varphi)} = \frac{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \vert}{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}}...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Ebene \(E \colon 4x_{1} - 8x_{2} + x_{3} + 50 = 0\) und die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Die Abbildung 2 zeigt den Grundriss des Hallenmodells in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Stellen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse den Schattenbereich der Flutlichtanlage in der Abbildung exakt dar. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Mithilfe der...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Die Ebene \(F\) schneidet die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene in der Geraden \(g\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(g\). (zur Kontrolle: \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 30 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Der Punkt \(L\), der vertikal über dem Mittelpunkt der Kante \([A_{1}A_{2}]\) liegt, veranschaulicht im Modell die Position einer Flutlichtanlage, die 12 m über der Grundfläche angebracht ist. Die als punktförmig angenommene Lichtquelle beleuchtet -...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Der Punkt \(T(7|10|0)\) liegt auf der Kante \([A_{3}A_{4}]\). Untersuchen Sie rechnerisch, ob es Punkte auf der Kante \([B_{3}B_{4}]\) gibt, für die gilt: Die Verbindungsstrecken des Punktes zu den Punkten \(B_{1}\) und \(T\) stehen aufeinander...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

b Der Neigungswinkel der Dachfläche gegenüber der Horizontalen entspricht dem Schnittwinkel der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen. {slider...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Die Abbildung 1 zeigt modellhaft eine Mehrzweckhalle, die auf einer horizontalen Fläche steht und die Form eines geraden Prismas hat. Die Punkte \(A_{1}(0|0|0)\), \(A_{2}(20|0|0)\), \(A_{3}\) und \(A_{4}(0|10|0)\) stellen im Modell die Eckpunkte der...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

\(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Treffer von Lisa beschreibt. {slider Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)} Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer) Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

endet unentschieden." \[\underbrace{\sum \limits_{k\,=\,0}^{6}\Big(\underbrace{\underbrace{B(6;\textcolor{#0087c1}{0{,}2};k)}_{P(\text{„}\textcolor{#0087c1}{\text{Joe}},\,k\,\text{Treffer"})} \cdot...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Tafelwerks (ST) ergibt sich: \[\begin{align*} P(\text{„Joe gewinnt"}) &= \sum_{I\,=\,3}^{6}B(6;0{,}2;i) \\[0.8em] &= 1 - \sum_{I = 0}^{2}B(6;0{,}2;i) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 1 - 0{,}90112 \\[0.8em] &= 0{,}09888 \approx 9{,}9\,\% \end{align*}\]...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

für das Torwandschießen eingetragen und nicht für das Elfmeterschießen eingetragen." \[\Longrightarrow \quad \textcolor{#0087c1}{\overline{T}} \textcolor{#89ba17}{\cap} \textcolor{#e9b509}{\overline{E}}\] Mengenschreibweise für \(B\): „Das Kind hat sich...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Listen eintragen. 45 % der Kinder haben sich sowohl für das Torwandschießen als auch für das Elfmeterschießen eingetragen, 15 % haben sich nur für das Elfmeterschießen eingetragen. 90 % der Kinder, die sich für das Torwandschießen eingetragen haben,...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

dafür zu berechnen, dass fünf Mädchen und fünf Jungen einen Ball erhalten, verwendet Max den Ansatz \[\binom{10}{5} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{5}\] Geben Sie an, ob Max dabei vom Modell „Ziehen mit...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

für die Aufstellung der neun Kinder, wenn die drei Spielführerinnen nebeneinanderstehen sollen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a 3 Spielführerinnen, 6 Spielführer Es gibt 7 Möglichkeiten dafür, dass die 3 Spielführerinnen nebeneinander stehen. Anmerkung:...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

binomialverteilten Zufallsgröße} Varianz \(Var(X)\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\): \(Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)\) (vgl. Merkhilfe) Wobei \(n\) die Länge der Bernoulli-Kette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Die Varianz von \(Y\) ist gleich \(\frac{11}{8}\). Bestimmen Sie die Werte von \(a\) und \(b\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b Die Aufgabenstellung gibt die Bedingung \(Var(Y) = \frac{11}{8}\) vor. Außerdem gilt: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Die Zufallsgröße \(Y\) kann die Werte 0, 1, 2, 3 und 4 annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) mit \(a, b \in [0;1]\). Beschreiben Sie, woran man unmittelbar erkennen kann, dass der Erwartungswert von \(Y\) gleich 2 ist....

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

einen solchen einrichten zu lassen. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c {slider Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)} Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer) Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term \(0{,}2^{10} + (1 - 0{,}2)^{10}\) angegeben wird. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[0{,}2^{10} + (1 - 0{,}2)^{10}\] Der Term ist das Ergebnis des folgenden...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

% noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen. Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 angeschriebenen Haushalten ● mindestens zwei noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen. ● genau acht bereits...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

auf und überprüfen Sie, ob die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \(A\): „Ein zufällig ausgewählter Haushalt verfügt über einen schnellen Internetanschluss." \(B\): „Ein zufällig ausgewählter Haushalt...

Teilaufgabe 2f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

welche die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts des Algenteppichs am Nordufer beschreibt. Nordufer \[A_{k}(x) = \frac{8}{1 + 7e^{kx}}; \; k...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in der Abbildung 2. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2e Bisherige Ergebnisse: \(A(0) = 1\) (vgl. Teilaufgabe 2a) Steigung der Tangente im Punkt \((0|1)\): \(\textcolor{#cc071e}{A'(0) = 0{,}175}\) (vgl. Teilaufgabe...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten. {/sliders} Ausführliche Begründung Schematische Darstellung: Graph von \(\textcolor{#0087c1}{A'}\) mit Hochpunkt \(\textcolor{#0087c1}{HoP(x_{0}|A'(x_{0}))}\) sowie Graph von \(A\) mit Wendepunkt \(W(x_{0}|A(x_{0})\)...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

zu Beobachtungsbeginn. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[A(x) = \frac{8}{f(x)}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\] \[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\] {slider Differentialquotient oder lokale (momentane) Änderungsrate}...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Ergebnis im Sachzusammenhang. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[A(x) = \frac{8}{f(x)}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\] \[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\] Die Bedingung \(A(x_{0}) = 4\) führt zu einer Exponetialgleichung, die sich...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

der Zeit ständig zunimmt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[A(x) = \frac{8}{f(x)}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\] \[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\] Bestimmung von \(A(0)\) und Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang \(x\):...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_{f}\), der \(y\)-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen \(y = 1\) und \(x = 5\) begrenzt wird. Einen Teil dieses Flächenstücks nimmt das zu \(s = 5\) gehörige Rechteck ein. Bestimmen Sie den...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Für jeden Wert \(s > 0\) legen die Punkte \((0|1)\), \((s|1)\), \((s|f(s))\) und \((0|f(s))\) ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(R(s)\) fest. Zeichnen Sie dieses Rechteck für \(s = 5\) in die Abbildung 1 ein. Zeigen Sie, dass \(R(s)\) für einen...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 1 + 7e^{-0{,}2x}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R_{0}^{+}\); die Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\). Begründen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) waagrechte Asymptote von \(G_{f}\)...

Teilaufgabe 3b

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sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks \(P_{k}Q_{k}R\). (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[A(k) \frac{2k}{x^{2} + 1}; \; k > 0\] Nachweis, dass es einen Wert von \(k > 0\) gibt, für den \(A(k)\) maximal ist sowie Berechnung des Wertes von \(k\)...

Teilaufgabe 3a

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\(k > 0\) legen die auf \(G_{f}\) liegenden Punkte \(P_{k}(-k|f(-k))\) und \(Q_{k}(k|f(k))\) gemeinsam mit dem Punkt \(R(0|1)\) ein gleichschenkliges Dreieck \(P_{k}Q_{k}R\) fest. Berechnen Sie für \(k = 2\) den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks...

Teilaufgabe 2d

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Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) für \(0 \leq x \leq 3\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d Arithmetisches Mittel der beiden Näherungswerte für \(F(1)\) Näherungswert aus Teilaufgabe 2b:...

Teilaufgabe 2c

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Funktion \(x \mapsto \cos{x}\) hervorgeht, und berechnen Sie durch Integration von \(g\) einen weiteren Näherungswert für \(F(1)\). (zur Kontrolle: \(F(1) \approx -\frac{2}{\pi}\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[x \mapsto \cos{x}\] \[g(x) =...

Teilaufgabe 2b

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Die Gerade mit der Gleichung \(y = x - 1\) begrenzt gemeinsam mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks und den sich daraus ergebenden Näherungswert für \(F(1)\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Flächeninhalt...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

in \(x = 0\) eine Nullstelle hat, und machen Sie mithilfe des Verlaufs von \(\mathbf{G_{f}}\) plausibel, dass im Intervall \([1;3]\) eine weitere Nullstelle von \(F\) liegt. Geben Sie an, welche besondere Eigenschaft \(G_{F}\) im Punkt \((-1|F(-1))\)...

Teilaufgabe 1c

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Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(t\) die \(x\)-Achse schneidet, und zeichnen Sie \(t\) in die Abbildung 1 ein. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}; \; D_{f} = \mathbb R\] \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} +...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(G_{f}\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Nach dem Monotoniekriterium lässt sich das Monotonieverhalten von \(G_{f}\) mithilfe der ersten...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\); die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen \(G_{f}\). Bestätigen Sie rechnerisch, dass \(G_{f}\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, und...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Koordinaten des Eckpunkts \(S\) der Raute \(PQRS\). Zeigen Sie, dass \(PQRS\) kein Quadrat ist. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Koordinaten des Eckpunkts \(S\) Der Punkt \(S\) liegt ebenfalls auf der Mittelsenkrechten \(m\) der Strecke \([PR]\) (vgl....

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Gegeben sind die Punkte \(P(-2|3|0)\), \(R(2|-1|2)\) und \(Q(q|1|5)\) mit der reellen Zahl \(q\), wobei \(Q\) von \(P\) genauso weit entfernt ist wie von \(R\). Bestimmen Sie \(q\). (zur Kontrolle: \(q = -2\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Der Punkt...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Die Strecke \([PQ]\) mit den Eigenschaften \(P(8|-5|1)\) und \(Q\) ist Durchmesser einer Kugel mit Mittelpunkt \(M(5|-1|1)\). Berechnen Sie die Koordinaten von \(Q\) und weisen Sie nach, dass der Punkt \(R(9|-1|4)\) auf der Kugel liegt. (3 BE) Lösung...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Hypotenuse. {/sliders} Der Punkt \(R\) des Dreiecks \(PQR\) liegt auf einem Thaleskreis mit dem Durchmesser \([\textcolor{#cc071e}{PQ]}\). Folglich ist das Dreieck \(PQR\) bei \(\textcolor{#cc071e}{R}\) rechtwinklig.

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\): \(X = x_{i}\) \(2\) \(4\) \(6\) \(P(X = x_{i})\) \(p^{2}\) \(2p \cdot (1 - p)\) \((1 - p)^{2}\) (\(P(X = 4) = 2p \cdot (1 - p)\); vgl. Teilaufgabe a) Der Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsgröße...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Ein Glücksrad besteht aus zwei unterschiedlich großen Sektoren. Der größere Sektor ist mit der Zahl 1 und der kleinere mit der Zahl 3 beschriftet. Die Wahrscheinlichkeit dafür, beim einmaligen Drehen des Glücksrads die Zahl 1 zu erzielen, wird mit...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 7)\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Alle Werte der Zufallsgröße \(X\) \[x_{i} = \{2; 4; 7; 9; 12\}\] Begründung (nicht verlangt) grüner Würfel: 5 Seitenflächen mit Augenzahl 1, eine Seitenfläche mit Augenzahl 6 roter...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

beim Werfen mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Jeder grüne Würfel trägt auf fünf Seitenflächen die Augenzahl 1 und auf einer die Augenzahl 6. Jeder rote Würfel trägt auf jeweils zwei Seitenflächen die Augenzahlen 1, 3 bzw. 6. In einer...

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Integralfunktion \(\displaystyle J \colon x \mapsto \int_{2}^{x} f(t) dt\). Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2, dass \(J(1) \approx -1\) gilt, und geben Sie einen Näherungswert für den Funktionswert \(J(4{,}5)\) an. Skizzieren Sie den Graphen von...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Ermitteln Sie den Term der Ableitungsfunktion \(g'\) von \(g\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Die Ableitungsfunktion \(g'\) lässt sich mithilfe der Kettenregel, der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion sowie der Ableitung einer...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

mit der Gleichung \(y = 2 - x^{2}\) in einem Koordinatensystem und geben Sie \(D_{g}\) an. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[g(x) = \ln{(2 - x^{2})}\] Skizze der Parabel mit der Gleichung \(y = 2 - x^{2}\) \[y = 2 - x^{2} =...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

+ 4}; \; D_{k} = \mathbb R\] Nullstellen von \(k\) Die gebrochenrationale Funktion \(k\) besitzt die Nullstellen \(x_{1} = 0\) und \(x_{2} = 2\) Begründung (nicht verlangt) Die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion \(k\) sind alle Nullstellen des...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Die Abbildung 1 zeigt einen Teil des Graphen \(G_{h}\) einer in \(\mathbb R \backslash \{2\}\) definierten gebrochenrationalen Funktion \(h\). Die Funktion \(h\) hat bei \(x = 2\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; zudem besitzt \(G_{h}\) die...

Teilaufgabe 2b

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Berechnen Sie unter Berücksichtigung des asymptotischen Verhaltens von \(G_{h}\) einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{10}^{20} h(x)dx\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b {slider Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale} Berechnung...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

+ 2x &= -0{,}5 \cdot (2x^{2} + 4) \\[0.8em] -x^{2} + 2x &= -x^{2} - 2 &&| + x^{2} \\[0.8em] 2x &= -2 &&| : 2 \\[0.8em] x &= -1 \end{align*}\] \(G_{k}\) schneidet die waagrechte Asymptote an der Stelle \(x = -1\).

Teilaufgabe 4c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

D_{g} = \mathbb R\) (vgl. Angabe Aufgabe 4) \[k(x) = x - g(x); \; D_{k} = \mathbb R\] Beispielsweise ist \(K(x) = \dfrac{1}{2}x^{2} + 0{,}7x - 1{,}4 \cdot e^{0{,}5x}\) eine Stammfunktion von \(k(x)\). Mögliche Vorgehensweise (nicht verlangt) Zunächst...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

= 2 \cdot \int_{0}^{2{,}5}(x - g(x))dx\] Begründung (nicht verlangt) Das bestimmte Integral \(\displaystyle \textcolor{#0087c1}{\int_{0}^{2{,}5}(x - g(x))dx}\) berechnet die Maßzahl des Flächeninhalts des Flächenstücks, welches die Winkelhalbierende mit...

Teilaufgabe 4a

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fehlenden Teil von \(G_{h}\) ein. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4a {slider Umkehrfunktion} Umkehrfunktion \(\boldsymbol{f^{-1}}\) einer Funktion \(\boldsymbol{f}\) Bestimmung des Funktionsterms \(\boldsymbol{f^{-1}(x)}\) 1. Funktionsgleichung \(\,y =...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

\mathbb R; \; m \in \mathbb R\] Für \(-4 < m...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

auf einen Berührpunkt hinweist. \[f(x) = x^{2} + 4; \; D_{f} = \mathbb R\] \[g_{4}(x) = 4 \cdot x; \; D_{g_{4}} = \mathbb R\] 1. Möglichkeit: Funktionsterme gleichsetzen Für die Berechnung der \(x\)-Koordinate des gemeinsamen Punkts von \(G_{f}\) und...

Teilaufgabe 2b

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und III. Quadranten sind. Ermitteln Sie anhand des Graphen \(\mathbf{G_{f'}}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) in der Abbildung 1 Näherungswerte für die \(x\)-Koordinaten derjenigen Punkte, in denen der Graph von \(f\) jeweils eine solche Tangente hat. (2...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f'}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) einer in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(f\). Nur in den Punkten \((-4|f'(-4))\) und \((5|f'(5))\) hat der Graph \(G_{f'}\) waagrechte Tangenten. Begründen...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Bestimmen Sie die Koordinaten des im II. Quadranten liegenden Hochpunkts des Graphen von \(h\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[h(x) = x \cdot \ln{(x^{2})}; \; D_{h} = \mathbb R \backslash \{0\}\] \(h'(x) = \ln{(x^{2})} + 2\) (vgl. Teilaufgabe 1a)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion \(h'\) gilt: \(h'(x) = \ln{(x^{2})} + 2\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[h(x) = x \cdot \ln{(x^{2})}\] Maximaler Definitionsbereich \(D_{h}\) \[D_{h} = \mathbb R \backslash \{0\}\] Begründung...

Tabelle zu Aufgabe 2

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Binomialverteilung kumulativ; \(k \mapsto \sum \limits_{i\,=\,0}^{k} B(n;p;i)\)

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

\(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix}; \;\lambda \in \mathbb R, \; a \in \mathbb R^{+}\) (vgl. Teilaufgabe c) \(T \colon 5x_{1} +...

Teilaufgabe f

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der Pyramide \(IJKLS\) liegt auf der Strecke \([FG]\) und hat entsprechend der Abbildung die Koordinaten \(\textcolor{#cc071e}{S(5|s|5)}\) mit \(\textcolor{#cc071e}{s \in [0;5]}\). Die Höhe einer Pyramide ist definiert als der Abstand der...

Teilaufgabe c

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\(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\) gegeben. Bestimmen Sie den Wert von \(a\), sodass die Gerade...

Teilaufgabe a

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in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene \(T\) schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten \(I(5|0|1)\), \(J(2|5|0)\), \(K(0|5|2)\) und \(L(1|0|5)\). Zeichnen Sie das Viereck \(IJKL\) in die Abbildung ein und zeigen Sie, dass...

Teilaufgabe d

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Für jedes \(a \in \mathbb R^{+}\) liegt die Gerade \(g_{a}\) in der Ebene \(U\) mit der Gleichung \(x_{1} = 2{,}5\). Ein beliebiger Punkt \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) des Raums wird an der Ebene \(U\) gespiegelt. Geben Sie die Koordinaten des Bildpunkts...

Teilaufgabe b

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Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(T\) in Normalenform. (zur Kontrolle: \(T \colon 5x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} - 30 = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{IJ} \times \overrightarrow{IL}\) der...

Teilaufgabe f

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soll der Abstand der beiden Stellen, an denen die beiden Bohrkanäle auf die wasserführende Gesteinsschicht treffen, mindestens 1500 m betragen. Entscheiden Sie auf der Grundlage des Modells, ob diese Bedingung für jeden möglichen zweiten Bohrkanal...

Teilaufgabe e

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Nachweis des Punktes \(T(t|-t|4{,}3)\) Im Modell verläuft der zweite Bohrkanal entlang der Lotgeraden \(BT\) zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Ein Richtungsvektor der Lotgeraden \(BT\) ist beispielsweise der Vektor \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0...

Teilaufgabe d

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Koordinaten von \(R\) und ermitteln Sie die Dicke der wasserführenden Gesteinsschicht auf Meter gerundet. (zur Kontrolle: \(x_{1}\)- und \(x_{2}\)-Koordinate von \(R\): \(1{,}04\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Da der Bohrkanal die wasserführende...

Teilaufgabe c

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der Ebene \(E\) (vgl. Abbildung). Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. (zur Kontrolle: \(E \colon 4x_{1} + 4x_{2} - 10x_{3} - 43 = 0\)) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Da die Strecke \([PQ]\) senkrecht auf der Ebene \(E\) steht,...

Teilaufgabe b

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\vert \overrightarrow{b} \vert}\,; \quad \varphi \in [0;\pi]\] {/sliders} \(\overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\); \( \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}\); \(\vert \overrightarrow{AP} \vert...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Bohrkanal heißes Wasser aus einer wasserführenden Gesteinsschicht an die Erdoberfläche. In einem Modell entspricht die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems der horizontal verlaufenden Erdoberfläche. Eine Längeneinheit im...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Der Angestellte konnte bei der Durchführung des Tests zehn von 100 erwachsenen Besuchern dazu animieren, Lose zu kaufen. Er behauptet, dass er zumindest bei Personen mit Kind eine Erfolgsquote größer als 10 % habe. Unter den 100 angesprochenen...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

mit der Erfolgsquote des Angestellten unzufrieden. Die Inhaberin möchte dem Angestellten das Gehalt kürzen, wenn weniger als 15 % der angesprochenen Besucher Lose kaufen. Die Entscheidung über die Gehaltskürzung soll mithilfe eines Signifikanztests auf...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

werden. Im Lostopf befinden sich viermal so viele Lose der Kategorie „Main" wie Lose der Kategorie „Donau". Ein Los kostet 1 Euro. Die Inhaberin der Losbude bezahlt im Einkauf für einen Sachpreis in der Kategorie „Donau" 8 Euro, in der Kategorie „Main"...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

\(X\) höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \(X\): Anzahl der Besucher, die ein Lebkuchenherz tragen. \(n = 25\); \(p = \frac{1}{6}\) Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(25;...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\sum \limits_{i\,=\,5}^{8}B\left( 25;\frac{1}{6};i \right)\) berechnet werden kann. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[\sum \limits_{i\,=\,5}^{8}B\left( 25;\frac{1}{6};i...

Teilaufgabe 1a

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dafür, dass unter den ausgewählten Besuchern höchstens ein Besucher ein Lebkuchenherz trägt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \(X\): Anzahl der Besucher, die ein Lebkuchenherz tragen. \(n = 25\); \(p = \frac{1}{6}\) (jeder sechste Besucher) Die...

Teilaufgabe 2f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens 10 %." (vgl. Teilaufgabe 2d) {slider Fehler 1. Art / Fehler 2. Art} Da die Entscheidung über die Annahme oder Ablehnung einer...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens 10 %." (vgl. Teilaufgabe 2d) Durch die Wahl der Nullhypothese soll die Wahrscheinlichkeit für den Fehler, dass pro Fahrt...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens 10 %." mithilfe einer Stichprobe von 200 Personen mit Reservierung auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Vor der...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Person mit Reservierung abweisen zu müssen, höchstens ein Prozent wäre." {slider Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)} Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer) Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine Person mit Reservierung abgewiesen werden muss. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \(p = 0{,}1\), \(n = 64\) \(X\): Anzahl der Personen mit Reservierung, die nicht zur Fahrt erscheinen. \(X\) ist nach \(B(64; 0{,}1)\)...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

ist, wobei die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, 10 % beträgt. Die auf der nächsten Seite abgebildete Tabelle ergänzt das zugelassene Tafelwerk (vgl. Seitenende). Geben Sie einen...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

den Jugendlichen und Kindern 75 %. Berechnen Sie, wie viele Erwachsene an der Fahrt teilnehmen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \(\frac{60}{2} = 30\) Fahrgäste essen ein Eis. Diese \(30\) Fahrgäste setzen sich zu einem Drittel aus Erwachsenen \((x)\) und...

Teilaufgabe k

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

der Modellierung diese beiden Bedingungen erfüllt sind. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe k \[k(x) = \frac{3 \cdot e^{2x}}{e^{2x} + 1} - 1{,}5; \; D_{k} = \mathbb R\] Grenzwert \(\lim \limits_{x\,˝o\,+\infty} k(x)\) ermitteln \[\begin{align*} \lim...

Teilaufgabe j

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

und kontinuierlich zugeführt. Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto \dfrac{3 \cdot e^{2x}}{e^{2x} + 1} - 1{,}5\) beschreibt für \(x \geq 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration während einer...

Teilaufgabe h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Zeitpunkt, zu dem die zweite Tablette eingenommen werden soll. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe h \[f(x) = \frac{4x}{(x + 1)^{2}}; \; x \in [0;9]\] Die Bedingung \(f(x) = 0{,}75\) legt den spätesten Zeitpunkt \(x\) fest, zu dem die zweite Tablette...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

der zeitlichen Entwicklung der Wirkstoffkonzentration darstellt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe g \(F(x) = 4 \cdot \ln{(x + 1)} + \dfrac{4}{x + 1}; \; D_{F} = \; ]-1;+\infty[\) (vgl. Teilaufgabe d) Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A(b)\), welches die...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

einen Wendepunkt. (vgl. Merkhilfe) Alternative: Es muss \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten. {/sliders} 1) \(f''(2) = 0\) nachweisen 2) Vorzeichenwechsel von \(f''\) an der Stelle \(x = 2\) nachweisen (z.B. mit einer Kümmungstabelle)...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

und geben Sie die maximal auftretende Wirkstoffkonzentration an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe e \[f(x) = \frac{4x}{(x + 1)^{2}}; \; x \in [0;9]\] \(x\): Zeit in Stunden \(f(x)\): Wirkstoffkonzentration in \(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\)...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Gegeben ist ferner die in \(]-1;+\infty[\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto 4 \cdot \ln{(x + 1)} + \dfrac{4}{x + 1}\). Zeigen Sie, dass \(F\) für \(x > -1\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe d \[F(x) = 4 \cdot...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

zu Teilaufgabe c Begründung, dass \(G_{f}\) für \(x < 0\) nur im III. Quadranten verläuft \[f(x) = \frac{4x}{\underbrace{(x + 1)^{2}}_{>\,0}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\] Der Wert des Nenners von \(f\) ist in \(D_{f}\) stets positiv. Der...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe b \[f(x) = \frac{4x}{(x + 1)^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\] Lage des Extrempunkts von \(G_{f}\) Die notwendige Bedingung für einen...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x}{(x + 1)^{2}}\) mit Definitionsmenge \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\). Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen \(G_{f}\) von \(f\) im I. Quadranten. Begründen Sie, dass \(x = 0\) die...

Teilaufgabe 3d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

die Zahlenwerte in Abbildung 3 ein. Abb. 3 (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3d Aufgrund der Steigung der Wendetangente \(m_{W_{-1}} = 9 = \dfrac{9}{1} \left( = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)\) (vgl. Teilaufgabe 3c) hat ein vom Koordinatenursprung...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

an \(G_{k}\) im Punkt \(W_{k}\), die Steigung \(9\) hat. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3c \[g_{k}(x) = kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x; \; k \in \mathbb R \backslash \{0\}\] \(x\)-Koordinate von \(W_{k}\): \(x = -\dfrac{1}{k} - 1\) (vgl. Teilaufgabe...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate von \(W_{k}\) in Abhängigkeit von \(k\). (zur Kontrolle: \(x = -\frac{1}{k} - 1\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[g_{k}(x) = kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x; \; k \in \mathbb R \backslash \{0\}\] Die notwendige...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_{k} \colon x \mapsto kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\) und den zugehörigen Graphen \(G_{k}\). Für jedes \(k\) besitzt der Graph...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Seitenfläche des Hinderniselements wird in Teilbereichen der Auf- und Abfahrt als Werbefläche verwendet (vgl. Abbildung 1). Im Modell handelt es sich um zwei Flächenstücke, nämlich um die Fläche zwischen \(G_{f}\) und der \(x\)-Achse im Bereich \(2 \leq...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

\(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\) \[m_{T} = f'(x_0)\] (vgl. Merkhilfe) {/sliders} \[m = f'(2)\] Mit \(f'(x) = \dfrac{1}{1 - x}\) (vgl. Teilaufgabe 2b) folgt somit: \[\begin{align*} \tan{\alpha} &= f'(2) \\[0.8em] \tan{\alpha} &= \frac{1}{1 - 2}...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

mithilfe von Abbildung 2 bestimmt werden. Erläutern Sie, wie Sie dabei vorgehen würden. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c 1) Die Sekante durch die Punkte \(\textcolor{#0087c1}{(2|f(2))}\) und \(\textcolor{#0087c1}{(8|f(8))}\) in Abbildung 2 einzeichnen....

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

von \(f\) gleich der mittleren Änderungsrate in diesem Intervall ist. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}; \; D_{f} = \; ]1;+\infty[\] Die mittlere Änderungsrate \(m\) im Intervall \([2;8]\) ist gegeben durch: {slider...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Abbildung 1 zeigt ein Hinderniselement in einem Skate-Park. Abb. 1 Die Auffahrt des symmetrischen Hinderniselements geht in ein horizontal verlaufendes Plateau über, an das sich die Abfahrt anschließt. Die vordere und die hintere Seitenfläche verlaufen...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Zeigen Sie, dass \(F \colon x \mapsto 3x - (x - 1) \cdot \ln{(x - 1)}\) mit Definitionsbereich \(D_{f} = \; ]1; +\infty[\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, und bestimmen Sie den Term der Stammfunktion von \(f\), die bei \(x = 2\) eine Nullstelle hat....

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

\(x \mapsto \ln{x}\) hervorgeht. Erklären Sie damit das Monotonieverhalten von \(G_{f}\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}; \; D_{f} = \; ]1;+\infty[\] \[x \mapsto \ln{x}\] Beschreibung, wie \(G_{f}\) schrittweise aus dem...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Berechnen Sie die Nullstelle von \(f\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}; \; D_{f} = \; ]1;+\infty[\] Für die Berechnung der Nullstelle von \(f\), wird der Funktionsterm gleich Null gesetzt. Die entstehende Logarithmusgleichung...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Geben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2 - \ln{(x - 1)}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. Zeigen Sie, dass \(D_{f} = \; ]1;+\infty[\) ist, und geben Sie das Verhalten von \(f\) an den...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Gegeben sind die beiden Kugeln \(k_{1}\) mit Mittelpunkt \(M_{1}(1|2|3)\) und Radius \(5\) sowie \(k_{2}\) mit Mittelpunkt \(M_{2}(-3|-2|1)\) und Radius \(5\). Zeigen Sie, dass sich \(k_{1}\) und \(k_{2}\) schneiden. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Schnittfigur von \(k_{1}\) und \(k_{2}\) ist ein Kreis. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius dieses Kreises. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[k_{1} \colon M_{1}(1|2|3); \; r_{1} = 5\] \[k_{2} \colon M_{2}(-3|-2|1); \;...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

(3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Alle Punkte, deren Koordinaten übereinstimmen, liegen auf einer Geraden \(\textcolor{#cc071e}{g}\), welche sich beispielsweise durch die Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{g \colon \overrightarrow{X} = \lambda \cdot...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Ebene \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\) enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\] \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) mit...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

(3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Alle Punkte, deren Koordinaten übereinstimmen, liegen auf einer Gerade \(\textcolor{#cc071e}{g}\), welche sich beispielsweise durch die Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{g \colon \overrightarrow{X} = \lambda \cdot...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Die Ebene \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\) enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\] \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) mit...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

die Dreiecke \(BCM\) und \(ABM\) den gleichen Flächeninhalt besitzen, ohne diesen zu berechnen. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b 1. Möglichkeit: Seitenhalbierende {slider Seitenhalbierende eines Dreiecks} Besondere Linien und Punkte eines Dreiecks:...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

von \(D\) und geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts \(M\) der Strecke \([AC]\) an. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Koordinaten des Punktes \(D\) Die Koordinaten des Punktes \(D\) lassen sich durch Vektorasddition bestimmen, beispielsweise wie folgt...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens 11 beträgt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Glücksrad mit beispielhafter Beschriftung der fünf gleich großen Sektoren....

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit dem Parameterwert \(n = 5\). Dem Diagramm in Abbildung 1 kann man die Wahrscheinlichkeitswerte \(P(X \leq k)\) mit \(k \in \{0; 1; 2; 3; 4\}\) entnehmen. Ergänzen Sie den zu \(k = 5\) gehörenden...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

(Knotenregel) Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins. 1. Pfadregel (Produktregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0" beschriftet, einer mit „1" und einer mit „2"; die beiden anderen Sektoren sind mit „9" beschriftet. Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechnen Sie die...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

ist eine Bernoullikette mit der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\). Erklären Sie, dass für alle \(k \in \{0; 1; 2; \dots; n\}\) die Beziehung \(B(n; p; k) = B(n; 1 - p; n - k)\) gilt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3 \[B(n; p; k) = B(n; 1...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Die Zufallsgröße \(X\) kann ausschließlich die Werte \(1\), \(4\), \(9\) und \(16\) annehmen. Bekannt sind \(P(X = 9) = 0{,}2\) und \(P(X = 16) = 0{,}1\) sowie der Erwartungswert \(E(X) = 5\). Bestimmen Sie mithilfe eines Ansatzes für den...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens 11 beträgt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Glücksrad mit beispielhafter Beschriftung der fünf gleich großen Sektoren....

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0" beschriftet, einer mit „1" und einer mit „2"; die beiden anderen Sektoren sind mit „9" beschriftet. Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechnen Sie die...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). Geben Sie das Monotonieverhalten von \(F\) im Intervall \([1;3]\) an. Begründen Sie Ihre Angabe. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \(F\) ist im Intervall \([1;3]\) streng monoton fallend. Begründung...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

infrage, da der Graph von \(f\) im Wendepunkt \((0|0)\) eine Wendetangente besitzt, deren Steigung größer \(\textcolor{#cc071e}{\mathbf{-1}}\) ist, die \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts von Graph III jedoch kleiner \(\mathbf{-1}\) ist.

Teilaufgabe 3b

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