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Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen bzw. wenn die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Winkels, den die Seitenfläche \(ABF\) und die Grundfläche \(ABCD\) einschließen, entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) der Ebene \(W\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Dieser ist gleich der Größe des spitzen Winkels, den die Normalenvektoren der Ebenen...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Das Dreieck \(ABF\) liegt in der Ebene \(W\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(W\) in Koordinatenform und beschreiben Sie die besondere Lage von \(W\) im Koordinatensystem. (zur Kontrolle: \(W \colon 4x_{2} + 3x_{3} - 20 = 0\)) (4 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
(4 BE) Lösung zu Teilaufgabe h Planskizze (optional): Wenn der Brunnen vollständig gefüllt ist, reicht das Wasser bis zur Ebene \(\textcolor{#0087c1}{E}\), welche im Abstand 4 parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene liegt (vgl. Teilaufgabe a). Da der...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
zu Teilaufgabe f Planskizze (optional): Die Fontäne trifft im Punkt \(P\) auf das Dreieck \(ABS\) auf. Dieses liegt in der Ebene \(F\) (vgl. Teilaufgabe b). Somit ist der Punkt \(\boldsymbol{P}\) der Schnittpunkt der Kurve \(\textcolor{#0087c1}{L_{t}}\)...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
\(ABCDS\) beschrieben, die Marmorkugel durch eine Kugel mit Mittelpunkt \(M(0|0|4)\) und Radius \(r\). Die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene des Koordinatensystems stellt im Modell den horizontal verlaufenden Erdboden dar; eine Längeneinheit entspricht einem...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
\cdot G \cdot h\) (vgl. Merkhilfe) Die Höhe einer Pyramide ist definiert als der Abstand der Pyramidenspitze von der Ebene, in der die Grundfläche der Pyramide liegt. Die Grundfläche \(ABCD\) liegt in der Ebene \(E\), welche im Abstand 4 parallel zur...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene \(F\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(F \colon x_{1} + x_{2} - 2x_{3} + 2 = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{SA}} \times...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Punkte \(A(6|0|4)\), \(B(0|6|4)\), \(C(-6|0|4)\) und \(D\) liegen in der Ebene \(E\) und bilden die Eckpunkte der quadratischen Grundfläche einer Pyramide \(ABCDS\) mit der Spitze \(S(0|0|1)\). \(A\), \(B\) und \(S\) liegen in der Ebene \(F\)....

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
die Bestimmung der Koordinaten von \(B\): 1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler Vektoren anwenden 2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen 3. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden 1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler Vektoren anwenden...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben sind die Punkte \(P(4|5|-19)\), \(Q(5|9|-18)\) und \(R(3|7|-17)\), die in der Ebene \(E\) liegen, sowie die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -12 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
\(\overline{PQ} = 3\sqrt{2}\). Planskizze (optional): Im Querschnitt bilden die Mantellinien des Lichtkegels mit der Ebene \(E\) ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Die Höhe des Dreiecks entspricht dem Abstand...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Ebene \(E\) teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie den Anteil des Volumens des pyramidenförmigen Teilkörpers am Volumen des Quaders, ohne die Volumina zu berechnen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe e Veranschaulichung des pyramidenförmigen...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Punkte \(A(19|0|0)\), \(B(0|19|0)\), \(E(12|0|7)\) und \(F(0|12|7)\) (vgl. Abbildung 1). Das Viereck \(ABFE\) liegt in der Ebene \(L\). Weisen Sie nach, dass das Viereck \(ABFE\) ein Trapez mit zwei gleich langen Seiten ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
\(ABCD\) parallel zur quadratischen Deckfläche \(EFGH\) liegt. Der Körper ist symmetrisch sowohl bezüglich der \(x_1x_3\)-Ebene als auch bezüglich der \(x_2x_3\)-Ebene. Außerdem werden die Punkte \(S_k(0|0|k)\) mit \(k \in \; ]7;+\infty[\) betrachtet,...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Der Winkel, den die Ebene \(\textcolor{#cc071e}{L}\) mit der \(\textcolor{#0087c1}{x_1x_2}\)-Ebene einschließt (Schnittwinkel), ist...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
In einem Modell für einen Küstenabschnitt am Meer beschreibt die \(x_1x_2\)-Ebene die horizontale Wasseroberfläche und die Gerade \(g\) die Uferlinie. Die Ebene \(E\) stellt im betrachteten Abschnitt den Meeresboden dar. Eine Boje schwimmt auf der...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler Vektoren anwenden 2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen 3. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden 1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler Vektoren anwenden Planskizze (optional): Der Ortsvektor...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Berechnen Sie die Größe \(\varphi\) des Winkels, unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet. Geben Sie einen Term an, mit dem aus \(\varphi\) die Größe des Winkels zwischen den Ebenen \(E\) und \(F\) berechnet werden kann. (5 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
der Fotograf bei diesem Tauchvorgang erreicht. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe f 1. Möglichkeit: Hessesche Normalenform der Ebenen \(E\) anwenden 2. Möglichkeit: Parallele Hilfsebene zu Ebene \(E\) aufstellen 3. Möglichkeit: Elementargeometrisch,...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Wird der Punkt \(P(1|2|3)\) an der Ebene \(E\) gespiegelt, so ergibt sich der Punkt \(Q(7|2|11)\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe a Planskizze (optional): Der Verbindungsvektor...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\(B(0|6|0)\), \(C(3|0|0)\), \(D(6|3|6)\), \(E(0|6|6)\) und \(F(3|0|12)\). Die Punkte \(D\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(2x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 42 = 0\)) (4 BE)...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Ebene \(E\) enthält die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\), die Ebene \(F\) die Punkte \(B\), \(C\) und \(D\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(14x_1 + 14x_2 + 11x_3 = 308\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe c...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform sowie die Größe \(\varphi\) des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt. (zur Kontrolle: \(x_1+x_2+x_3-19= 0; \enspace \varphi \approx 55^{\circ}\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Gleichung...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
+ \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\). Zeigen Sie, dass \(g\) in der Ebene mit der Gleichung \(x_1 + x_2 + x_3 = 2\) liegt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe a \[g \colon \overrightarrow{X} =...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Ebene \(N_k\) enthält die \(x_3\)-Achse und den Punkt \(P_k(1-k|k|0)\) mit \(k \in \; ]0;1[\). Welche Kanten des Körpers von \(N_k\) geschnitten werden, ist abhängig von \(k\). Durchläuft \(k\) alle Werte zwischen \(0\) und \(1\), so gibt es...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform und zeigen Sie, dass die Gerade \(g\) in \(E\) liegt. (zur Kontrolle: \(E \colon 2x_1 - x_2 + 2x_3 + 35 = 0\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform...

2.1.6 Nachweis von Vierecken

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
Die nachfolgenden Nachweise setzen voraus, dass vier bekannte Punkte ein Viereck festlegen, die Punkte also in einer Ebene liegen. (Vorkenntnisse: Abiturskript - 2.1.1 Rechnen mit Vektoren, Abiturskript - 2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren und...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Punkte \(M\), \(T\), \(S\) und \(F\) (vgl. die Aufgaben b, c und d) liegen in einer Ebene \(Z\). Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt die Gerade \(g\), den Schnitt der Ebene \(E\) mit der Ebene \(Z\) sowie den Schnitt der Kugel \(K\) mit der...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M(-13|20|0)\) berührt die Ebene \(E\). Bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Berührpunkts \(F\) sowie den Kugelradius \(r\). (zur Kontrolle: \(F(-5|4|2)\), \(r = 18\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe c...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Lösung zu Teilaufgabe b Berechnung der Größe des Schnittwinkel von \(g\) und \(E\) {slider Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene} Schnittwinkel \(\boldsymbol{\alpha}\) zwischen Gerade und Ebene Für \(0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ}\) und...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Ebene \(E \colon 4x_{1} - 8x_{2} + x_{3} + 50 = 0\) und die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Abbildung 2 zeigt den Grundriss des Hallenmodells in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Stellen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse den Schattenbereich der Flutlichtanlage in der Abbildung exakt dar. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Mithilfe der...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Ebene \(F\) schneidet die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene in der Geraden \(g\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(g\). (zur Kontrolle: \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 30 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
in der Nähe der Hallenwände - das gesamte Gelände um die Halle. Die Punkte \(L\), \(B_{2}\) und \(B_{3}\) legen eine Ebene \(F\) fest. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\) in Normalenform. (zur Kontrolle: \(F \colon 3x_{1} + x_{2} + 5x_{3} - 90 = 0\))...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
(3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Der Neigungswinkel der Dachfläche gegenüber der Horizontalen entspricht dem Schnittwinkel der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
\(B_{2}\), \(B_{3}\) und \(B_{4}\) die Eckpunkte der Dachfläche. Diejenige Seitenwand, die im Modell in der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene liegt, ist 6 m hoch, die ihr gegenüberliegende Wand nur 4 m. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m, d.h....

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Abbildung zeigt den Würfel \(ABCDEFG\) mit \(A(0|0|0)\) und \(G(5|5|5)\) in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene \(T\) schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten \(I(5|0|1)\), \(J(2|5|0)\), \(K(0|5|2)\) und...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Für jedes \(a \in \mathbb R^{+}\) liegt die Gerade \(g_{a}\) in der Ebene \(U\) mit der Gleichung \(x_{1} = 2{,}5\). Ein beliebiger Punkt \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) des Raums wird an der Ebene \(U\) gespiegelt. Geben Sie die Koordinaten des Bildpunkts...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
mit \(\textcolor{#cc071e}{s \in [0;5]}\). Die Höhe einer Pyramide ist definiert als der Abstand der Pyramidenspitze von der Ebene in der die Grundfläche der Pyramide liegt. Es ist also zu überprüfen, ob die Spitze \(S\) den Abstand \(d(S;T) = 2\) von...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Spiegelt man die Ebene \(T\) an \(U\), so erhält man die von \(T\) verschiedene Ebene \(T'\). Zeigen Sie, dass für einen bestimmten Wert von \(a\) die Gerade \(g_{a}\) in der Ebene \(T\) liegt, und begründen Sie, dass diese Gerade \(g_{a}\) die...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(T\) in Normalenform. (zur Kontrolle: \(T \colon 5x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} - 30 = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{IJ} \times \overrightarrow{IL}\) der...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
des Punktes \(T(t|-t|4{,}3)\) Im Modell verläuft der zweite Bohrkanal entlang der Lotgeraden \(BT\) zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Ein Richtungsvektor der Lotgeraden \(BT\) ist beispielsweise der Vektor \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Im Modell liegt die obere Begrenzungsfläche der wasserführenden Gesteinsschicht in der Ebene \(E\) und die untere Begrenzungsfläche in einer zu \(E\) parallelen Ebene \(F\). Die Ebene \(E\) enthält den Punkt \(Q\). Die Strecke \([PQ]\) steht senkrecht...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Ebene \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\) enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\] \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) mit...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Alle Punkte, deren Koordinaten übereinstimmen, liegen auf einer...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Alle Punkte, deren Koordinaten übereinstimmen, liegen auf einer...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Ebene \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\) enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\] \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) mit...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Eckpunkte des Netzes 1,80 m. das Netz ist so gespannt, dass davon ausgegangen werden kann, dass es die Form eines ebenen Vierecks hat. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Netzes und erläutern Sie Ihren Ansatz. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe e Das...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
zu Teilaufgabe d Der Winkel, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt, entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) der Ebene \(L\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Dieser Schnittwinkel ist gleich dem spitzen Winkel, den die Normalenvektoren beider...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen bzw. wenn die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot\overrightarrow{b}\)...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Punkte \(A\), \(B\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Normalenform. (zur Kontrolle: \(L \colon 2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} - 12 = 0\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise liefert das...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
die an einer der beiden Plattformen angebracht ist. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene den horizontalen Untergrund. Die Plattformen und die Kletterwand werden als ebene Vielecke betrachtet. Eine Längeneinheit entspricht...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
zu Teilaufgabe e Der Neigungswinkel des Sonnensegels gegenüber der Horizontalen entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) der Ebene \(E\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Dieser Schnittwinkel ist gleich dem spitzen Winkel, den die Normalenvektoren beider...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Punkte \(K_{1}(0|4|0)\), \(S_{1}(0|6|2{,}5)\) und \(S_{2}(0|0|3)\) liegen mit jeweils \(x_{1} = 0\) in der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene. Da die Gerade \(S_{2}{S_{2}}'\) außerdem parallel zur Geraden \(S_{1}K_{1}\) verläuft, liegt \({S_{2}}'\) ebenfalls in der...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
befestigt, an deren Enden das Sonnensegel fixiert wird. In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene den horizontalen Boden dar. Der Sandkasten wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten \(K_{1}(0|4|0)\), \(K_{2}(0|0|0)\),...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(z\)-Richtung verschoben. Die dabei überstrichene Fläche dient als Modell für ein 12 Meter langes Aquarium, das durch zwei ebene Wände an Vorder- und Rückseite zu einem Becken ergänzt wird (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Die \(x_{1}\)- sowie die \(x_{3}\)-Koordinate des Schnittpunkts \(S_{x_{2}}\) der Ebenen \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse ist jeweils gleich Null. \[E \colon 2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} - 4 = 0\] \[\Longrightarrow \quad 2...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Punkte \(A(1|1|1)\), \(B(0|2|2)\) und \(C(-1|2|0)\) liegen in der Ebene \(E\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{AB} \times...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *
Beschreiben Sie unter Verwendung einer geeigneten Skizze, wie sich nachweisen lässt, dass eine Gerade orthogonal zu einer Ebene ist. Eine Gerade \(g\) verläuft orthogonal (senkrecht) zu einer Ebene \(E\) \((g \perp E)\), wenn der Richtungsvektor...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *
Untersuchen Sie, ob die Punkte \(A(3|1|0)\), \(B(2|-1|-2)\), \(C(-2|1|-2)\) und \(D(4|3|-4)\) in einer Ebene liegen. Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, legen eine Ebene \(E\) fest. Beispielsweise wählt man die Punkte \(A\), \(B\) und...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *
parallel zur \(x_{2}\)-Achse durch den Punkt \(Q(-2|2|0)\). c) Die Gerade \(g\) verläuft parallel zur \(x_{1}x_{3}\)-Ebene durch den Punkt \(R(-2{,}5|1|1)\). d) Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(S(3|2|-1)\) und \(T(6|4|0)\). Aufgabe 3 Gegeben...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-002 Language: *
fest. Die Spitze \(S\) der Pyramide \(OPQS\) liegt auf der positiven \(x_{3}\)-Achse. a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform, in der die Grundfläche \(OPQ\) liegt. (mögliches Ergebnis: \(E \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} = 0\))...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-002 Language: *
fest. Die Spitze \(S\) der Pyramide \(OPQS\) liegt auf der positiven \(x_{3}\)-Achse. a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform, in der die Grundfläche \(OPQ\) liegt. (mögliches Ergebnis: \(E \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} = 0\))...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-001 Language: *
Die Punkte \(A(0|2|2)\), \(B(2|3|0)\) und \(C(0|-2|4)\) legen die Ebene \(E\) fest. a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 12\)) b) Ermitteln Sie die Koordinaten der...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-001 Language: *
Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen bzw. wenn die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-001 Language: *
und deuten Sie das Ergebnis geometrisch. Aufgabe 5 Die Punkte \(A(0|2|2)\), \(B(2|3|0)\) und \(C(0|-2|4)\) legen die Ebene \(E\) fest. a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} +...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *
und \(h\) im Punkt \(S(-3|-1|4)\) schneiden. b) Geben Sie eine Gleichung der von den Geraden \(g\) und \(h\) aufgespannten Ebene \(E\) in Parameterform an und bestimmen Sie ein Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *
und \(h\) im Punkt \(S(-3|-1|4)\) schneiden. b) Geben Sie eine Gleichung der von den Geraden \(g\) und \(h\) aufgespannten Ebene \(E\) in Parameterform an und bestimmen Sie ein Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. a) Nachweis, dass sich die...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\((5|5|0)\). Der Punkt \(B\) liegt auf der \(x_{1}\)-Achse, \(D\) auf der \(x_{2}\)-Achs. Das Dreieck \(CDS\) liegt in der Ebene \(E\colon 12x_{2} + 5x_{3} = 60\). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Geben Sie...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Zelts einen stumpfen Winkel ein. Ermitteln Sie die Größe dieses Winkels. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Schnittwinkel zweier Ebenen Stumpfer Winkel \(\alpha\), den die Ebene \(E\) (Dreieck \(CDS\)) und die Ebene \(F\) (Dreieck \(DAS\)) stellvertretend...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
auf der Strecke \([CD]\). Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vordachs. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Schnittpunkt Gerade - Ebene, Schnittwinkel zweier Ebenen, Trigonometrische Beziehung im rechtwinkligen Dreieck, Flächeninhalt eines Rechtecks 1....

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(F\), in der das Dreieck \(DAS\) liegt, in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(F \colon 12x_{1} - 5x_{3} = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Ebenengleichung in Normalenform Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Sie die Koordinaten des Punkts, der im Modell die Lichtquelle darstellt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Abstand Punkt - Ebene, Trigonometrische Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck 1. Lösungsansatz: Abstand Punkt - Ebene Planskizze: Den Koordinaten der...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Abstand Punkt - Gerade 1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler (senkrechter) Vektoren anwenden 2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen 3. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden (Extremwertaufgabe) 3. Lösungsansatz: Elementargeometrische Beziehungen...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Auf das Solarmodul fällt Sonnenlicht, das im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird, die senkrecht zur Ebene \(E\) verlaufen. Das Solarmodul erzeugt auf der horizontalen Fläche einen rechteckigen Schatten. Zeigen Sie unter Verwendung einer...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Koordinatensystem sind die Punkte \(A(0|0|1)\), \(B(2|6|1)\), \(C(-4|8|5)\) und \(D(-6|2|5)\) gegeben. Sie liegen in einer Ebene \(E\) und bilden ein Viereck \(ABCD\), dessen Diagonalen sich im Punkt \(M\) schneiden. Begründen Sie, dass die Gerade...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Solarmodul durch den Punkt \(M\) beschreiben (vgl. Abbildung). Die horizontale Fläche liegt im Modell in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene des Koordinatensystems; eine Längeneinheit entspricht 0,8 m in der Realität. Um einen möglichst großen Energieertrag zu...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_{1} - x_{2} + 5x_{3} - 5 = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Ebenengleichung in Normalenform Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier linear unabhängiger...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben sind die beiden bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene symmetrisch liegenden Punkte \(A(2|3|1)\) und \(B(2|-3|1)\) sowie der Punkt \(C(0|2|0)\). Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) bei \(C\) rechtwinklig ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
bei \(D\) rechtwinklig ist. Begründen Sie Ihre Antwort. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Spiegelung (eines Punktes) an einer Ebene, Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks (Thaleskreis) \(A(2|3|1)\), \(B(2|-3|1)\), \(C(0|2|0)\) Der Punkt \(D(0|-2|0)\)...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\). Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von \(E\) als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene \(E\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Lotgerade zu einer Ebene, Lotfußpunkt, lineare Abhängigkeit zweier Vektoren,...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\). Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von \(E\) als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene \(E\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Lotgerade zu einer Ebene, Lotfußpunkt, lineare Abhängigkeit zweier Vektoren,...

Mathematik Klausuren Q12/2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausuren Q12/2 Language: *
im Sachzusammenhang benennen Geometrie: Lineare (Un-)Abhängigkeit dreier Vektoren prüfen und Ergebnis geometrisch deuten, Ebenengleichung in Normalenform bestimmen, Spurpunkte und Spurgerade, Schnittgerade zweier Ebenen, Spiegelung eines Punktes an...

Lernhilfen - Geometrie

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie Language: *
Untersuchung der Lagebeziehung zweier Geraden Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen Bestimmung des Abstands zwischen Punkt und Gerade - 3 Möglichkeiten Schnittwinkelberechnungen...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\(K_{2}\). (Ergebnis: \(K_{2}(51|100|10)\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Punkt auf einer Geraden, Schnittpunkt Gerade - Ebene \[g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{K_{1}} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 20 \\ 2 \end{pmatrix}, \; \lambda...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
falsch ist: „Liegen der Startpunkt und der anvisierte höchste Punkt einer Flugbahn des Balls im Modell unterhalb der Ebene \(E\), so kann der Ball entlang seiner Bahn die Seile, die durch \([W_{1}K_{2}]\) und \([W_{2}K_{2}]\) beschrieben werden, nicht...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
beschrieben. Ermitteln Sie eine Gleichung der durch die Punkte \(W_{1}\), \(W_{2}\) und \(K_{2}\) festgelegten Ebene \(E\) in Normalenform und weisen Sie nach, dass \(H\) unterhalb von \(E\) liegt. (Mögliches Teilergebnis: \(E \colon x_{2} + 5x_{3} -...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
\(3\sqrt{2}\). Höhe \(h\) der Pyramide \(ABA'B'C\): Oktaeder \(ABA'B'CC'\) und Pyramide \(ABA'B'C\) mit Höhe \(h\) sowie die Ebene, in der die Punkte \(A\), \(B\) und \(Z\) liegen Aus Teilaufgabe b ist bekannt, dass die Ebene, in der die Punkte \(A\),...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen \(ABC\) und \(AC'B\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe e Schnittwinkel zweier Ebenen, Trigonometrie - rechtwinkliges Dreieck 1. Lösungsansatz: Schnittwinkel zweier Ebenen Der Punkt \(C'\) geht durch...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Punkte \(A(6|3|3)\), \(B(3|6|3)\) und \(C(3|3|6)\) das gleichseitige Dreieck \(ABC\) fest. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebenen \(E\), in der das Dreieck \(ABC\) liegt, in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E \colon x_{1} + x_{2} + x_{3} - 12 =...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
\(C\) am Symmetriezentrum \(Z(3|3|3)\), so erhält man die Punkte \(A'\), \(B'\) bzw. \(C'\). Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte \(A\), \(B\) und \(Z\) liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke \([CC']\) senkrecht auf...

Teilaufgabe 3e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
entspricht dem Abstand \(d(R;g)\) des Punktes \(R\) von der Geraden \(g\) in Metern. {slider Abstand zweier Punkte in der Ebene} Abstand \(\overline{PQ}\) zweier Punkte \(P(x_P|y_P)\) und \(Q(x_Q|y_Q)\) in der Ebene: \[\overline{PQ} = \sqrt{(x_Q -...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
für eine dieser Geraden. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Orthogonale Geraden im Raum, Einheitsvektor, Schnittpunkt Gerade - Ebene, Schnittpunkte Gerade - Kugel \[g = AB\] Es sei \(h\) eine der Geraden, für die die Bedingungen I und II gelten. \(h \perp...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben sind die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 6\) sowie die Punkte \(P(1|0|2)\) und \(Q(5|2|6)\). Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte \(P\) und \(Q\) senkrecht zur Ebene \(E\) verläuft. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Lineare...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Punkte \(P\) und \(Q\) liegen symmetrisch zu einer Ebene \(F\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Parallele Ebenen \[E \colon 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 6\] \(P(1|0|2)\), \(Q(5|2|6)\) Planskizze: Ebene \(E\) und...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
für eine dieser Geraden. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Orthogonale Geraden im Raum, Einheitsvektor, Schnittpunkt Gerade - Ebene, Schnittpunkte Gerade - Kugel \[g = AB\] Es sei \(h\) eine der Geraden, für die die Bedingungen I und II gelten. \(h \perp...

2.6.3 Spiegelung eines Punktes an einer Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.6 Spiegelung von Punkten Language: *
Spiegelung eines Punktes an einer Ebene Beispielaufgabe Spiegelung eines Punktes an einer Ebene Es sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(P\) auf die Ebene \(E\). Die Entstehung des Bildpunktes \(P'\), der durch Spiegelung des Punktes \(P\)...

2.3.5 Winkelhalbierende Gerade und Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Language: *
Winkelhalbierende Gerade zweier Geraden Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen Beispielaufgabe Winkelhalbierende Gerade zweier Geraden Um die Richtungsvektoren der Winkelhalbierenden \(w_{1}\) und \(w_{2}\) von zwei sich im Punkt \(S\) schneidenden...

2.3.4 Lotgeraden und orthogonale Ebenen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Language: *

2.7.4 Lagebeziehung Ebene - Kugel

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.7 Die Kugel Language: *
Lagebeziehung Ebene - Kugel Beispielaufgabe Lagebeziehung Ebene - Kugel Die gegenseitige Lage zwischen einer Ebene \(E\) und einer Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M\) wird durch den Abstand \(d(M;E)\) des Mittelpunktes \(M\) von der Ebene \(E\)...

2.6.2 Spiegelung eines Punktes an einer Gerade

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.6 Spiegelung von Punkten Language: *
\(\overrightarrow{PF}\) bzw. den Lotfußpunkt \(F\) zu ermitteln (vgl. Abiturskript - 2.3.4 Lotgerade und orthogonale Ebene, Lotgerade zu einer Gerade und Abiturskript - 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade). 1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler...

2.5.3 Schnittwinkel zweier Ebenen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.5 Schnittwinkelberechnungen Language: *
Schnittwinkel zweier Ebenen Beispielaufgabe Schnittwinkel zweier Ebenen Unter dem Schnittwinkel zweier Ebenen \(E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A})\) und \(F \colon \overrightarrow{n}_{F} \circ...

2.5.2 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.5 Schnittwinkelberechnungen Language: *
Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene Beispielaufgabe Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene Unter dem Schnittwinkel zwischen einer Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in...

2.4.6 Abstand paralleler Ebenen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *
Abstand zweier parallelen Ebenen Beispielaufgabe Abstand zweier parallelen Ebenen Die Abstandsbestimmung von zwei parallel zueinander liegenden Ebenen \(E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A})\) und \(F \colon...

2.4.5 Abstand Gerade - Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *
Abstand einer parallelen Gerade von einer Ebene Beispielaufgabe Abstand einer parallelen Gerade von einer Ebene Die Abstandsbestimmung einer Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in...

2.4.4 Abstand Punkt - Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *
Abstand eines Punktes von einer Ebene Lotfußpunktverfahren Beispielaufgabe Bei der Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene spielt die Hessesche Normalenform einer Ebene eine große Rolle (vgl. Abiturskript - 2.2.3 Ebenengleichung in...

2.4.2 Abstand paralleler Geraden

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *
+ (-0{,}5)^{2} + (-2{,}5)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{\sqrt{30}}{2} \\[0.8em] &\approx 2{,}74\end{align*}\] 2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen Es sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(B\) auf die Gerade \(g\). \[g \colon \overrightarrow{X} =...

2.4.1 Abstand Punkt - Gerade

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *
1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler (senkrechter) Vektoren anwenden 2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen 3. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden (Extremwertaufgabe) Beispielaufgabe Sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(P\) auf...

2.4.3 Abstand windschiefer Geraden

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *
+ \mu \cdot \overrightarrow{v}; \; \mu \in \mathbb R\) lässt sich auf die Abstandsbestimmung eines Punktes zu einer Hilfsebene zurückführen (vgl. Abiturskript - 2.4.4 Abstand Punkt - Ebene). Hilfsebene \(H\), welche die Gerade \(g\) enthält \((g \subset...

2.3.3 Lagebeziehung von Ebenen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Language: *
Lagebeziehung zweier Ebenen Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen Bestimmung der Schnittgerade zweier Ebenen Beispielaufgabe Lagebeziehung zweier Ebenen Bei der gegenseitigen Lage zweier Ebenen \(E\) und \(F\) lassen sich drei Fälle...

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Language: *
Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene Bestimmung des Schnittpunkts einer Gerade und einer Ebene Beispielaufgabe Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene Bei der gegenseitigen Lage zwischen einer...

2.2.4 Umwandlung: Parameterform - Normalenform

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.2 Geraden und Ebenen im Raum Language: *
Umwandlung der Normalenform in die Parameterform Beispielaufgabe Umwandlung der Parameterform in die Normalenform Ist eine Ebene \(E\) in der Parameterform \(E \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} + \mu \cdot...

2.2.2 Ebenengleichung in Parameterform

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.2 Geraden und Ebenen im Raum Language: *
Gleichung einer Ebene in Parameterform Spurgeraden einer Ebene Beispielaufgabe Gleichung einer Ebene in Parameterform (vgl. Merkhilfe) Jede Ebene \(E\) kann durch eine Gleichung in der sogenannten Parameterform \(E \colon \overrightarrow{X} =...

2.2.3 Ebenengleichung in Normalenform

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.2 Geraden und Ebenen im Raum Language: *
Ebenengleichung in Normalenform Hessesche Normalenform (HNF) Lage einer Ebene im Koordinatensystem Spurgeraden einer Ebene Beispielaufgabe Ebenengleichung in Normalenform Die Richtung einer Ebene \(E\) kann anstelle zweier Richtungsvektoren...

2.1.4 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
senkrecht stehender Vektor \(\overrightarrow{c}\) ermittelt werden (beispielsweise der Normalenvektor einer Ebene, vgl. Abiturskript - 2.2.4 Umwandlung: Parameterform - Normalenform). Orthogonaler (senkrechter) Vektor zu zwei (linear unabhängigen)...

2.1.1 Rechnen mit Vektoren

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
und Bezeichnungen Die nachfolgenden Beschreibungen beziehen sich auf Vektoren im Raum. Sie gelten analog für Vektoren in der Ebene. Schreibweise als Spaltenvektor \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix}\) Die reellen...

2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
man einen Term der Form \(r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b} + t \cdot \overrightarrow{c}\). In der Ebene \(\mathbb R^{2}\) sind höchstens zwei Vektoren linear unabhängig. Im Raum \(\mathbb R^{3}\) sind höchstens drei Vektoren...

1.1.1 Lineare Funktion

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.1 Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften Language: *
\[m_{1} \cdot m_{2} = -1\] gilt. Geradengleichungen Neben derallgemeinen Form, lässt sich die Gleichung einer Gerade in der Ebene, die durch den Punkt \((x_{0}|y_{0})\) verläuft und die Steigung \(m\) besitzt, in der Punkt-Steigungs-Form formulieren....

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\(t_{0}\) (siehe Teilaufgabe d). Der Schatten des Polstabs entspricht im Modell der Projektion der Strecke \([MS]\) in die Ebene \(E\) in Richtung des Vektors \(\overrightarrow{u}\). Die \(x_{2}\)-Koordinate der Punkte \(M\) und \(S\) sowie des...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Sie, für welchen Breitengrad \(\varphi\) die Sonnenuhr gebaut wurde. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Schnittwinkel zweier Ebenen \[\alpha + \varphi = 90^{\circ}\] Neigungswinkel \(\alpha\) der Grundplatte gegenüber der Horizontalen: Das Rechteck...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Nachweis, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) und Vektor \(\overrightarrow{MS}\) Der Polstab steht senkrecht auf der Grundplatte (Rechteck \(ABCD\)), wenn die Strecke \([MS]\)...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigen Grundplatte liegt. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Schnittpunkt Gerade - Ebene \[\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -13 \end{pmatrix}\] Es sei \(g\) die Gerade, die im Modell den Anteil des...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10 cm in der Realität. Die Horizontale wird im Modell durch die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene beschrieben. Abb. 2 Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts \(C\). Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
sich - in Fahrtrichtung gesehen - eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Viertelkreis beschrieben wird, der in der Ebene \(E\) verläuft und den Mittelpunkt \(M \left( 0|3\sqrt{2}|2 \right)\) hat. Das Lot von \(M\) auf \(g\) schneidet \(g\) im...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt \(A\) und verläuft entlang der Geraden \(g\). Der Vektor \(\displaystyle...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene \(E \colon x_{1} + x_{3} = 2\), der Punkt \(A\left( 0|\sqrt{2}|2 \right)\) und die Gerade \(\displaystyle g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
1. Lösungsansatz: \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\) Die Höhe einer Pyramide ist der Abstand der Pyramidenspitze von der Ebene, in der die Grundfläche der Pyramide liegt. Da die Kante \([AS]\) senkrecht auf der Grundfläche \(ABCD\) liegt, ist die Länge...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Koordinatensystem legen die Punkte \(A\,(4|0|0)\), \(B\,(0|4|0)\) und \(C\,(0|0|4)\) das Dreieck \(ABC\) fest, das in der Ebene \(E\,\colon \, x_1 + x_2 + x_3 = 4\) liegt. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\). (3 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
von \(N\) und \(L\). (Teilergebnis: \(N\,(7{,}2|8|7)\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Die Gerade \(m\) schneidet die Ebene \(F\) im Punkt \(N\). \(m\,\colon\,\overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4{,}8 \\ 8 \\ 7{,}4 \end{pmatrix} + \mu \cdot...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
1{,}5 \\ 1{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe d) Richtungsvektor des Einfallslots (Normalenvektor der Ebene \(E\)): \(\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe c) Die Größe des Winkels α bzw. β ist...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
\(g\) an, entlang derer der Lichtstrahl im Modell verläuft. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts \(R\), in dem \(g\) die Ebene \(E\) schneidet, und begründen Sie, dass der Lichtstrahl auf dem dreieckigen Spiegel auftrifft. (zur Kontrolle:...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
durch den Punkt \(Q\,(0|0|1)\) beschrieben wird (vgl. Abbildung). Zeigen Sie, dass die Punkte \(P\) und \(Q\) bezüglich der Ebene \(E\) symmetrisch sind. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Die Punkte \(P\) und \(Q\) sind bezüglich der Ebene \(E\)...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Dachfläche, auf der die Dachgaube errichtet wird, liegt im Modell in der Ebene \(E\,\colon\, 3x_1 + 4x_3 - 44 = 0\). Die Dachgaube soll so errichtet werden, dass sie von dem seitlichen Rand der Dachfläche, der im Modell durch die Strecke \([HC]\)...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
sogenannten Gaubenstiel dar; dessen Länge soll 1,4 m betragen. Um die Koordinaten von \(N\) und \(L\) zu bestimmen, wird die Ebene \(F\) betrachtet, die durch Verschiebung von \(E\) um 1,4 in positive \(x_3\)-Richtung entsteht. Begründen Sie, dass...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Das Lot zur Ebene \(E\) im Punkt \(R\) wird als Einfallslot bezeichnet. Die beiden Geraden, entlang derer der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl im Modell verlaufen, liegen in einer Ebene \(F\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\) in...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist die Ebene \(E\,\colon \, 3x_2 + 4x_3 = 5\). Beschreiben Sie die besondere Lage von \(E\) im Koordinatensystem. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[E\,\colon \, 3x_2 + 4x_3 = 5\] \[\Longrightarrow \quad n_{E} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Kugel mit Mittelpunkt \(Z\,(1|6|3)\) und Radius 7 die Ebene \(E\) schneidet. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Die Kugel schneidet die Ebene \(E\), wenn der Abstand \(d\,(Z;E)\) des Kugelmittelpunkts \(Z\) von der...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
1b \[H\,\colon\; 2x_1 + x_2 - x_3 = 4\,; \qquad Q\,(-3|0|2)\] Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{v}_j\) einer zur Ebene \(H\) parallelen Geraden \(j\) mit der Gleichung \(j\,\colon\; \overrightarrow{X} = \overrightarrow{Q} + \lambda \cdot...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben sind die Ebene \(H\;\colon\, 2x_1 + x_2 - x_3 = 4\) und der Punkt \(Q\,(-3|0|2)\). Spiegelt man den Punkt \(Q\) an der Ebene \(H\), so erhält man den Punkt \(Q'\). Ermitteln Sie die Koordinaten von \(Q'\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Lösung zu Teilaufgabe 1b \[E\colon \enspace 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\,; \qquad P\,(2|3|-3)\] Abstand eines Punktes von einer Ebene {slider Abstand Punkt - Ebene} Abstand eines Punktes von einer Ebene Für den Abstand \(d(P;E)\) eines Punktes...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist die Ebene \(E\;\colon\,2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\). Die Ebene \(E\) schneidet die \(x_1x_2\)-Ebene in der Geraden \(g\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(g\) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a 1. Lösungsansatz: Spurpunkte, Spurgerade Die...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Kanten des Würfels schneidet, sowie die sechseckige Schnittfigur in die Abbildung ein. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Die Ebene \(M\) schneidet den Würfel in einem regulären Sechseck.

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Der Würfel wird entlang der Ebene \(L\) geteilt. Berechnen Sie das Volumen der entstehenden Pyramide. Geben Sie an, wie viel Prozent des Würfelvolumens die Pyramide einnimmt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Volumen der entstehenden Pyramide 1....

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
mit einer Kugel 3. Lösungsansatz: Abstand Punkt - Gerade, Satz des Pythagoras 3. a) Abstand \(d(R;g_2)\) - Ansatz mit Hilfsebene 3. b) Abstand \(d(R;g_2)\) - Anwenden des Skalarprodukts Der Überwachungsbereich des Radars beschreibt auf der...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
von \(F_1\) gegen die Horizontale entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen der Geraden \(g_1\) und der \(x_1x_2\)-Ebene. {slider Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene} Schnittwinkel \(\boldsymbol{\alpha}\) zwischen Gerade und Ebene Für...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Jede Ebene, die parallel zu \(M\) verläuft, wird durch eine Gleichung der Form \(x_1 - x_2 + x_3 = p\) mit \(p \in \mathbb R\) beschrieben. Nennen Sie die Arten der Figuren, in denen eine solche Ebene den Würfel schneiden kann, und geben Sie die Menge...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Ebene \(M\,\colon\; x_1 - x_2 + x_3 = 3\) schneidet den Würfel in einem regulären Sechseck. Begründen Sie, dass \(M\) parallel zu \(L\) ist. Geben Sie die Schnittpunkte von \(M\) mit der \(x_1\)-Achse sowie mit der \(x_3\)-Achse an und weisen Sie...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Eckpunkte \(A\,(0|0|0)\), \(D\,(0|6|0)\) und \(G\,(6|6|6)\) sind gegeben. Die Punkte \(B\), \(E\) und \(G\) liegen in einer Ebene \(L\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(L\) in Normalenform. Zeichnen Sie die Figur, in der die Ebene \(L\) den Würfel...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
den Uhrzeigersinn. 3. Lösungsansatz: Schnittpunkte einer Geraden mit einer Kugel Die Geraden \(g\) und \(h\) legen eine Ebene fest, in der das Rechteck \(PUQV\) liegt. Schneidet man eine Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(T\) und dem Durchmesser \(d =...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Die von Solarmodulen abgegebene elektrische Leistung hängt unter anderem von der Größe ihres Neigungswinkels gegen die Horizontale ab. Die Tabelle gibt den Anteil der abgegebenen Leistung an der maximal möglichen Leistung in Abhängigkeit von der Größe...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
der Grundfläche die Strebe an der Außenwand befestigt ist. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c 1. Lösungsansatz: Lotgerade auf Ebene \(E\) Es sei \(M\) der Mittelpunkt der Grundfläche \(ABCD\). Die Lotgerade \(l\) mit den Eigenschaften \(M \in l\) und \(l...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Die südliche Außenwand des Pavillons liegt im Modell in einer Ebene \(E\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E\;\colon\, 4x_2 + 3x_3 - 48 = 0\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Das Dreieck \(BCS\) beschreibt...

Teilaufgabe h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
drei mögliche Lösungsansätze für die Berechnung des Abstands \(d\,(M;h)\) grafisch kurz erläutert. 1. Lösungsansatz: Hilfsebene {slider Abstand Punkt - Gerade, Ansatz: Hilfsebene aufstellen} Abstand Punkt - Gerade, Ansatz: Hilfsebene aufstellen...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Höhe des Spats ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe e Schrittweise Erläuterung Teilt man den Spat einmal entlang der \(x_2x_3\)-Ebene und einmal entlang der parallelen Ebene, welche die Strecke \([DC]\) enthält, entstehen die beiden kongruenten...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Die Seitenfläche \(PQRS\) liegt in einer Ebene \(F\). Bestimmen Sie, ohne zu rechnen, eine Gleichung von \(F\) in Normalenform; erläutern Sie Ihr Vorgehen. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Die Seitenflächen \(ABCD\) und \(PQRS\) des Spats \(ABCDPQRS\)...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Seitenfläche \(ABCD\) gegen die \(x_1x_2\)-Ebene geneigt ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Der Winkel, unter dem die Seitenfläche \(ABCD\) gegen die \(x_1x_2\)-Ebene geneigt ist, entspricht dem...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der die Seitenfläche \(ABCD\) liegt in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E\;\colon \, 3x_1 + 4x_3 - 84 = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Die Seitenfläche \(ABCD\) repräsentiert die Ebene \(E\)....

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Die Punkte \(A\), \(B\) und \(T\) legen die Ebene \(H\) fest; diese zerlegt das Prisma ebenfalls in zwei Teilkörper. Beschreiben Sie die Form eines der beiden Teilkörper. Begründen Sie, dass die beiden Teilkörper nicht volumengleich sind. (3 BE) Lösung...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Das Prisma ist das Modell eines Holzkörpers, der auf einer durch die \(x_1x_2\)-Ebene beschriebenen horizontalen Fläche liegt. Der Punkt \(M\,(5|6{,}5|3)\) ist Mittelpunkt einer Kugel, die die Seitenfläche \(BSTC\) im Punkt \(W\) berührt. Berechnen Sie...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
ob das Fenster bei seiner Drehung am Möbelstück anstoßen kann. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe g 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts 3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung 4. Lösungsansatz: Betrachtung...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
\(R\,(2|2|0)\,\), \(S\,(2|8|0)\,\), \(T\,(2|4|3)\) Besondere Lage der Grundfläche \(ABC\) {slider Lagebeziehung von Ebenen} Lagebeziehung von Ebenen \(E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \enspace\) und...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
einschließt. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Koordinaten des Schnittpunktes \(S\) {slider Lagebeziehung von Gerade und Ebene} Lagebeziehung von Gerade und Ebene \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}; \;...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Tiefe \(t\) des Möbelstücks Die Tiefe \(t\) des Möbelstücks entspricht dem Abstand der Geraden \(k\) von der Ebene \(W\), in der die Wand unter dem Fenster liegt. \[k \colon \enspace \overrightarrow X = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix}...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Die Ebene \(F\) enthält die Gerade \(CT\) und zerlegt das Prisma in zwei volumengleiche Teilkörper. Wählen Sie einen Punkt \(P\) so, dass er gemeinsam mit den Punkten \(C\) und \(T\) die Ebene \(F\) festlegt; begründen Sie Ihre Wahl. Tragen Sie die...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
1 zeigt modellhaft ein Dachzimmer in der Form eines geraden Prismas. Der Boden und zwei Seitenwände liegen in den Koordinatenebenen. Das Rechteck \(ABCD\) liegt in einer Ebene \(E\) und stellt den geneigten Teil der Deckenfläche dar. Abb. 1 Bestimmen...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der die Seitenfläche \(BSTC\) liegt, in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_2 + 4x_3 - 24 = 0\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe b \[BSTC \subset E\] \[B\,(10|8|0)\,, \enspace S\,(2|8|0)\,,...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
höchsten Stelle 3 m hoch. Das Rechteck \(GHKL\) mit \(G\,(2|4|2)\) hat die Breite \(\overline{GL} = 1\,\). Es liegt in der Ebene \(E\), die Punkte \(H\) und \(K\) liegen auf der Geraden \(CD\,\). Das Rechteck stellt im Modell ein Dachfenster dar; die...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(R\) von der Ebene \(E\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe b \[E \colon \enspace x_2 + 2x_3 - 8 = 0\,; \qquad R\,(3|0|0)\] Abstand eines Punktes von einer Ebene {slider Abstand Punkt - Ebene} Abstand eines Punktes von...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Strecke \([AB]\) und ermitteln Sie den Radius der beiden Kreise. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe b 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts 3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung 4. Lösungsansatz: Höhen-...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
des Umkreises des Dreiecks \(ABC\) ist Höhenfußpunkt des Kegels, wenn der Vektor \(\overrightarrow{MS}\) senkrecht auf der Ebene \(E\) steht. Mittelpunkt \(M\) des Umkreises berechnen: {slider Mittelpunkt einer Strecke} Mittelpunkt einer Strecke Für den...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\) sowie das Volumen \(V\) der Pyramide. (Teilergebnis: \(V = 216\)) (7 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Neigungswinkel der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\)...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
der im Modell durch den Punkt \(M(-40|30|30)\) dargestellt wird. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe e 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts 3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung \[M(-40|30|30), \qquad g...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Welche Lagebeziehung muss eine Gerade zur Ebene \(E\) haben, wenn für jeden Punkt \(P\) dieser Geraden die Pyramide \(ABCP\) das gleiche Volumen wie die Pyramide \(ABCS\) besitzen soll? Begründen Sie Ihre Antwort. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe e Das...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
einer dreiseitigen Pyramide \(ABCS\) mit der Spitze \(S(11{,}5|4|-6)\). Die Grundfläche der Pyramide liegt in einer Ebene \(E\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E\colon \enspace 2x_1 + x_2 -2x_3 - 3 = 0)\)...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Hubschrauber parallel zum Hang fliegt. Demnach muss gelten: \(g \parallel E\). Gegenseitige Lage der Geraden \(g\) und der Ebene \(E\) {slider Lagebeziehung von Gerade und Ebene} Lagebeziehung von Gerade und Ebene \(g \colon \overrightarrow{X} =...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
sind die Punkte \(A\,(0|60|0), B\,(-80|60|60)\) und \(C\,(-80|0|60)\) gegeben. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), die durch die Punkte \(A, B\) und \(C\) bestimmt wird, in Normalenform. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat \(E\,\)?...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Kugel (Halbkugel) 3. Lösungsansatz: Abstand Punkt - Gerade, Satz des Pythagoras 3. a) Abstand \(d(Z;g_2)\) - Ansatz mit Hilfsebene 3. b) Abstand \(d(Z;g_2)\) - Anwenden des Skalarprodukts Der Überwachungsbereich des Radars bildet auf der...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Alle Ebenen parallel zu \(F\) werden durch Gleichungen der Form \(x_1 - x_2 + x_3 = a\), mit \(a \in \mathbb R\) beschrieben. Geben Sie an, welche Arten von Figuren als Schnitt einer solchen Ebene mit dem Würfel \(W\) auftreten. Geben Sie die Menge...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene \(E\) gegen die Grundfläche \(G_1G_2G_3G_4\). Geben Sie drei Eckpunkte des Würfels \(W\) an, die eine Ebene so festlegen, dass sie mit der Grundfläche einen 45°-Winkel einschließt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Die Ebene \(F\) schneidet den Würfel \(W\) in einem regulären Sechseck. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene \(F\) mit der \(x_1\)- und der \(x_3\)-Koordinatenachse und bestätigen Sie, dass der Mittelpunkt der Strecke \([G_2G_3]\) auf \(F\) liegt....

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
\[P(1{,}5|0) \qquad Q(x|f(x)) \qquad f(x) = \sqrt{x + 3}\,; \quad x \in [-3;+\infty [\] {slider Abstand zweier Punkte in der Ebene} Abstand \(\overline{PQ}\) zweier Punkte \(P(x_P|y_P)\) und \(Q(x_Q|y_Q)\) in der Ebene: \[\overline{PQ} = \sqrt{(x_Q -...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
\(G_1\,(0|0|0)\) und \(D_3\,(6|6|6)\) legen eine Raumdiagonale fest. Bestimmen Sie in Koordinatenform eine Gleichung der Ebene \(E\), die durch die Punkte \(D_1\),\(G_2\) und \(D_3\) verläuft, und zeichnen Sie die Schnittfigur der Ebene \(E\) mit dem...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Zeigen Sie, dass die Ebene \(F\) mit der Gleichung \(F\colon \enspace x_1 - x_2 + x_3 = 3\) parallel zu \(E\) mit Abstand \(\sqrt{3}\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe d \[E\colon \enspace x_1 - x_2 + x_3 = 6\] \[F\colon \enspace x_1 - x_2 + x_3 = 3\]...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
\(F_1\) überfliegt in einer Höhe von 6 km eine Radarstation im Punkt \(Z\) der \(x_1x_2\)-Ebene. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(Z\). [Ergebnis: \(Z(20|30|0)\)] (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Lotfußpunkt des Lotes eines Punktes auf eine Ebene Der...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
5 \\ 5 \\ 1 \end{smallmatrix}\right) \,,\enspace \lambda \in \mathbb R\), ist Flugbahn von \(F_1\). Die \(x_1x_2\)-Ebene ist die Horizontale. Der Steigungswinkel der Flugbahn \(F_1\) gegen die Horizontale entspricht dem Schnittwinkel zwischen der...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(Q(2|3|-1)\) von der Ebene \(E\colon \enspace 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 4\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2 \[E\colon \enspace 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 4\,; \qquad Q\,(2|3|-1)\] Abstand eines Punktes von einer Ebene {slider...

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