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Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *
a) Bestimmen Sie den Grenzwert \(\lim \limits_{x\,\to\,2} f(x)\) mit \(f(x) = \dfrac{4x^2-6x-4}{x-2}\). (Zwischenergebnis: \(x = 2\) ist Nullstelle von \(f\)) b) Die Grenzwertbetrachtung lässt auf eine besondere Eigenschaft der gebrochrationalen...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_k\) einer Funktion \(k\). a) Begründen Sie, dass \(k\) an der Stelle \(x = 6\) nicht differenzierbar ist, indem Sie mithilfe der Abbildung zugehörige Grenzwerte angeben und daraus schlussfolgern. b) Skizzieren Sie in...

Datenschutzerklärung

Type: Article Author: Christian Rieger Category: AGB Language: *
dies gesetzlich vorgeschrieben ist und/ oder soweit Dritte diese Daten im Auftrag von Google verarbeiten. Alle oben beschriebenen Verarbeitungen, insbesondere Auslesen von Informationen auf dem verwendeten Endgerät über Cookies und/oder Web-Beacons,...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\(ABCD\) ist der Ursprung des Koordinatensystems und der gesamte Körper ist symmetrisch sowohl bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene als auch bezüglich der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene. Zeigen Sie, dass das Dreieck \(ABF\) bei \(F\) rechtwinklig ist. (2 BE) Lösung...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
zu Teilaufgabe f Planskizze (optional): Die Fontäne trifft im Punkt \(P\) auf das Dreieck \(ABS\) auf. Dieses liegt in der Ebene \(F\) (vgl. Teilaufgabe b). Somit ist der Punkt \(\boldsymbol{P}\) der Schnittpunkt der Kurve \(\textcolor{#0087c1}{L_{t}}\)...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
die Bestimmung der Koordinaten von \(B\): 1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler Vektoren anwenden 2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen 3. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden 1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler Vektoren anwenden...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Der Körper wird so um die Gerade \(AB\) gedreht, dass der mit \(D\) bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt und dabei eine positive \(x_2\)-Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben sind die Punkte \(P(4|5|-19)\), \(Q(5|9|-18)\) und \(R(3|7|-17)\), die in der Ebene \(E\) liegen, sowie die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -12 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler Vektoren anwenden 2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen 3. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden 1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler Vektoren anwenden Planskizze (optional): Der Ortsvektor...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform und zeigen Sie, dass die Gerade \(g\) in \(E\) liegt. (zur Kontrolle: \(E \colon 2x_1 - x_2 + 2x_3 + 35 = 0\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
+ \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\). Zeigen Sie, dass \(g\) in der Ebene mit der Gleichung \(x_1 + x_2 + x_3 = 2\) liegt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe a \[g \colon \overrightarrow{X} =...

2.1.6 Nachweis von Vierecken

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
Die nachfolgenden Nachweise setzen voraus, dass vier bekannte Punkte ein Viereck festlegen, die Punkte also in einer Ebene liegen. (Vorkenntnisse: Abiturskript - 2.1.1 Rechnen mit Vektoren, Abiturskript - 2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren und...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Lösung zu Teilaufgabe b Berechnung der Größe des Schnittwinkel von \(g\) und \(E\) {slider Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene} Schnittwinkel \(\boldsymbol{\varphi}\) zwischen Gerade und Ebene \[\cos{(90^{\circ} - \varphi)} = \frac{\vert...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Ebene \(E \colon 4x_{1} - 8x_{2} + x_{3} + 50 = 0\) und die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
die gilt: Die Verbindungsstrecken des Punktes zu den Punkten \(B_{1}\) und \(T\) stehen aufeinander senkrecht. Geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte an. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe c \(T(7|10|0) \in [A_{3}A_{4}]\), \(P \in...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Die Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{f}\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto -cos(\frac{\pi}{2}x)\). Beschreiben Sie, wie \(G_{g}\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Ermitteln Sie die Koordinaten des Eckpunkts \(S\) der Raute \(PQRS\). Zeigen Sie, dass \(PQRS\) kein Quadrat ist. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Koordinaten des Eckpunkts \(S\) Der Punkt \(S\) liegt ebenfalls auf der Mittelsenkrechten \(m\) der...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Es gibt Werte von \(m\), für die die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{m}\) jeweils keinen gemeinsamen Punkt haben. Geben Sie diese Werte von \(m\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[f(x) = x^{2} + 4; \; D_{f} = \mathbb R\] \[g_{m}(x) = m \cdot x; \;...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Spiegelt man die Ebene \(T\) an \(U\), so erhält man die von \(T\) verschiedene Ebene \(T'\). Zeigen Sie, dass für einen bestimmten Wert von \(a\) die Gerade \(g_{a}\) in der Ebene \(T\) liegt, und begründen Sie, dass diese Gerade \(g_{a}\) die...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Signifikanztest aufstellen Bedingung: Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art darf höchstens so groß sein wie das vorgegebene Signifikanzniveau \(\textcolor{#0087c1}{\alpha}\). {slider Einseitiger Signifikanztest} Einseitiger Signifikanztest zum...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Signifikanztest aufstellen Bedingung: Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art darf höchstens so groß sein wie das vorgegebene Signifikanzniveau \(\textcolor{#0087c1}{\alpha}\). {slider Einseitiger Signifikanztest} Einseitiger Signifikanztest zum...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\) (vgl. Merkhilfe) {/sliders} Gemäß dem Monotoniekriteriem ist somit \(F\) im gegebenen Intervall streng monoton fallend.

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\) (vgl. Merkhilfe) {/sliders} Gemäß dem Monotoniekriteriem ist somit \(F\) im gegebenen Intervall streng monoton fallend.

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Signifikanztest aufstellen Bedingung: Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art darf höchstens so groß sein wie das vorgegebene Signifikanzniveau \(\textcolor{#0087c1}{\alpha}\). {slider Einseitiger Signifikanztest} Einseitiger Signifikanztest zum...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Gerade \(g\) berührt die Kugel im Punkt \(B(-3|8|2)\). Ermitteln Sie eine mögliche Gleichung von \(g\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Es gibt unendliche viele Geraden, welche die Kugel im Punkt \(B\) berühren. Da eine Tangente an eine Kugel stets...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *
Beschreiben Sie unter Verwendung einer geeigneten Skizze, wie sich nachweisen lässt, dass eine Gerade orthogonal zu einer Ebene ist. Eine Gerade \(g\) verläuft orthogonal (senkrecht) zu einer Ebene \(E\) \((g \perp E)\), wenn der Richtungsvektor...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-002 Language: *
fest. Die Spitze \(S\) der Pyramide \(OPQS\) liegt auf der positiven \(x_{3}\)-Achse. a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform, in der die Grundfläche \(OPQ\) liegt. (mögliches Ergebnis: \(E \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} = 0\))...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-001 Language: *
Die Punkte \(A(0|2|2)\), \(B(2|3|0)\) und \(C(0|-2|4)\) legen die Ebene \(E\) fest. a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 12\)) b) Ermitteln Sie die Koordinaten der...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-001 Language: *
der Differential- und Integralrechnung (HDI) ist jede Integralfunktion \(\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) dt\) einer gegebenen stetigen Funktion \(f\) eine Stammfunktion von \(f\). {slider Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung} Hauptsatz der...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{8x}{x^{2} + 4}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems. b) Bestimmen Sie den maximalen...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x^{2} + 9} - 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet a) Bestimmen Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion \(f\). b) Untersuchen Sie die...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-002 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f\colon x \mapsto 2(e^{x} - 1)^{2}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(f\) an. b) Ermitteln Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\). Von den Graphen I bis VI bestätigt ausschließlich Graph IV das beschriebene Verhalten. Graph IV zeigt für einen negativen \(x\)-Wert als einzigen Extrempunkt einen Tiefpunkt. An der Stelle des...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Abstand Punkt - Gerade 1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler (senkrechter) Vektoren anwenden 2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen 3. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden (Extremwertaufgabe) 3. Lösungsansatz: Elementargeometrische Beziehungen...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Koordinatensystem sind die Punkte \(A(0|0|1)\), \(B(2|6|1)\), \(C(-4|8|5)\) und \(D(-6|2|5)\) gegeben. Sie liegen in einer Ebene \(E\) und bilden ein Viereck \(ABCD\), dessen Diagonalen sich im Punkt \(M\) schneiden. Begründen Sie, dass die Gerade...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für \(0 \leq t \leq 12\) modellhaft durch die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g \colon t...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\). Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
bei \(D\) rechtwinklig ist. Begründen Sie Ihre Antwort. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Spiegelung (eines Punktes) an einer Ebene, Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks (Thaleskreis) \(A(2|3|1)\), \(B(2|-3|1)\), \(C(0|2|0)\) Der Punkt \(D(0|-2|0)\)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben sind die beiden bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene symmetrisch liegenden Punkte \(A(2|3|1)\) und \(B(2|-3|1)\) sowie der Punkt \(C(0|2|0)\). Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) bei \(C\) rechtwinklig ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\). Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die über ihrer maximalen Definitionsmenge die angegebenen Eigenschaften besitzt. Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und die Gerade mit der Gleichung \(x = 2\) ist eine...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 1\) schneidet (Nullstelle), und zu dieser punktsymmetrisch verläuft, erfüllt die angegebene Eigenschaft \(\displaystyle \int_{0}^{2} g(x) dx = 0\). Denkt man sich also den Graphen einer zum Koordinatenursprung...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) einer auf \(\mathbb R\) differenzierbaren Funktion \(f\). a) Geben Sie das Monotonieverhalten und die Extremstelle(n) von \(f\) an. b) Ermitteln Sie den Funktionsterm der Funktion \(f\),...

1.7.4 Graph einer Scharfunktion mit vorgegebener Steigung

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *
Graph einer Scharfunktion mit vorgegebener Steigung Beispielaufgabe Graph einer Scharfunktion mit vorgegebener Steigung Es sei eine Gerade \(g\) mit der Steigung \(m\) sowie eine nicht lineare Funktionenschar \(f_{k}\) gegeben. Für welchen Wert des...

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Type: Article Author: Christian Rieger Category: Datenschutz Language: *
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Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu \(M\) minimal ist. Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinaten der Punkte \(P_{x}\), für die \(d(x)\) minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an. (5 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{25 - x^{2}}\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f} = [-5;5]\). Begründen Sie, dass in...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
für eine dieser Geraden. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Orthogonale Geraden im Raum, Einheitsvektor, Schnittpunkt Gerade - Ebene, Schnittpunkte Gerade - Kugel \[g = AB\] Es sei \(h\) eine der Geraden, für die die Bedingungen I und II gelten. \(h \perp...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
für eine dieser Geraden. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Orthogonale Geraden im Raum, Einheitsvektor, Schnittpunkt Gerade - Ebene, Schnittpunkte Gerade - Kugel \[g = AB\] Es sei \(h\) eine der Geraden, für die die Bedingungen I und II gelten. \(h \perp...

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{k}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(k\). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(k'\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für die Steigung...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Der Graph der Funktion \(h\) ist streng monoton fallend und rechtsgekrümmt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Monoptoniekriterium, Krümmungsverhalten, Entwicklung von Funktionen 1. Lösungsansatz: Monotoniekriterium, Krümmungsverhalten Für die gesuchte...

2.4.4 Abstand Punkt - Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *
Abstand eines Punktes von einer Ebene Lotfußpunktverfahren Beispielaufgabe Bei der Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene spielt die Hessesche Normalenform einer Ebene eine große Rolle (vgl. Abiturskript - 2.2.3 Ebenengleichung in...

2.2.4 Umwandlung: Parameterform - Normalenform

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.2 Geraden und Ebenen im Raum Language: *
Umwandlung der Normalenform in die Parameterform Beispielaufgabe Umwandlung der Parameterform in die Normalenform Ist eine Ebene \(E\) in der Parameterform \(E \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} + \mu \cdot...

2.2.1 Geradengleichung in Parameterform

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.2 Geraden und Ebenen im Raum Language: *
Lage einer Gerade im Koordinatensystem Will man die Lage einer Gerade bezüglich der Koordinatenachsen oder der Koordinatenebenen beschreiben, betrachtet man den Richtungsvektor der Gerade. Parallelität einer Gerade zu einer Koordinatenachse \[g \colon...

2.1.4 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
senkrecht stehender Vektor \(\overrightarrow{c}\) ermittelt werden (beispielsweise der Normalenvektor einer Ebene, vgl. Abiturskript - 2.2.4 Umwandlung: Parameterform - Normalenform). Orthogonaler (senkrechter) Vektor zu zwei (linear unabhängigen)...

2.1.1 Rechnen mit Vektoren

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
und Bezeichnungen Die nachfolgenden Beschreibungen beziehen sich auf Vektoren im Raum. Sie gelten analog für Vektoren in der Ebene. Schreibweise als Spaltenvektor \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix}\) Die reellen...

1.6.1 Stammfunktion

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.6 Integralrechnung Language: *
Stammfunktion. Skizzieren des Graphen einer Stammfunktion Beim Skizzieren des Graphen einer Stammfunktion \(F\) zu einem gegebenen Graphen einer Funktion \(f\) achtet man insbesondere auf die Lage und Art der Nullstellen sowie auf die Extremstellen von...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
sich - in Fahrtrichtung gesehen - eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Viertelkreis beschrieben wird, der in der Ebene \(E\) verläuft und den Mittelpunkt \(M \left( 0|3\sqrt{2}|2 \right)\) hat. Das Lot von \(M\) auf \(g\) schneidet \(g\) im...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt \(A\) und verläuft entlang der Geraden \(g\). Der Vektor \(\displaystyle...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene \(E \colon x_{1} + x_{3} = 2\), der Punkt \(A\left( 0|\sqrt{2}|2 \right)\) und die Gerade \(\displaystyle g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Fehler zu minimieren, indem dieser als Fehler 1. Art beschrieben wird. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler darf das vorgegebene Signivikanzniveau nicht überschreiten (siehe auch Teilaufgabe 2b). Linksseitiger Signifikanztest {slider Einseitiger...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
den Wert der Wahrscheinlichkeit \(p\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses bei vorgegebenem Erwartungswert Zufallsgröße \(X\): „Höhe des Rabatts in Prozent" (siehe Angabe Aufgabe 1) \(E(X) = 9p^{2} +12p + 4\) (siehe...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Koordinatensystem legen die Punkte \(A\,(4|0|0)\), \(B\,(0|4|0)\) und \(C\,(0|0|4)\) das Dreieck \(ABC\) fest, das in der Ebene \(E\,\colon \, x_1 + x_2 + x_3 = 4\) liegt. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\). (3 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Das Lot zur Ebene \(E\) im Punkt \(R\) wird als Einfallslot bezeichnet. Die beiden Geraden, entlang derer der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl im Modell verlaufen, liegen in einer Ebene \(F\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\) in...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Dachfläche, auf der die Dachgaube errichtet wird, liegt im Modell in der Ebene \(E\,\colon\, 3x_1 + 4x_3 - 44 = 0\). Die Dachgaube soll so errichtet werden, dass sie von dem seitlichen Rand der Dachfläche, der im Modell durch die Strecke \([HC]\)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Vektoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{c_t} = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix}\) spannen für jeden Wert...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
2e Näherungsweise grafische Ermittlung der Eigengeschwindigkeit für \(2 < t(x) < 14\) Die zu Beginn der Aufgabengruppe 2 gegebene Abbildung zeigt den Graphen der Funktion \(f\) für \(5 < x...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Teil dieser Parabel. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_h\) mit der durch die Gleichung \(y = x\) gegebenen Winkelhalbierenden \(w\) des I. und III. Quadranten. (Teilergebnis: x-Koordinaten der Schnittpunkte: -2 und 4) (3 BE) Lösung...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b In der nachfolgenden Beschreibung entspricht die Länge von zwei Kästchen des Koordinatengitters einer...

Teilaufgabe 5b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b In der nachfolgenden Beschreibung entspricht die Länge von zwei Kästchen des Koordinatengitters einer...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *
Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(\mathbb W\) hat. \(\mathbb W = [-2;2]\) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b 1. Lösungsansatz: Sinusfunktion oder Kosinusfunktion Eine Sinusfunktion...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
1b \[H\,\colon\; 2x_1 + x_2 - x_3 = 4\,; \qquad Q\,(-3|0|2)\] Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{v}_j\) einer zur Ebene \(H\) parallelen Geraden \(j\) mit der Gleichung \(j\,\colon\; \overrightarrow{X} = \overrightarrow{Q} + \lambda \cdot...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
(6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Flächenstück, das \(G_{h}\) mit der \(x\)-Achse einschließt und Beispiele einbeschriebener Rechtecke Flächeninhalt \(A\) der einbeschriebenen Rechtecke in Abhängigkeit von \(x\) bestimmen: \[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2\,;...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
mit einer Kugel 3. Lösungsansatz: Abstand Punkt - Gerade, Satz des Pythagoras 3. a) Abstand \(d(R;g_2)\) - Ansatz mit Hilfsebene 3. b) Abstand \(d(R;g_2)\) - Anwenden des Skalarprodukts Der Überwachungsbereich des Radars beschreibt auf der...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
von \(F_1\) gegen die Horizontale entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen der Geraden \(g_1\) und der \(x_1x_2\)-Ebene. {slider Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene} Schnittwinkel \(\boldsymbol{\varphi}\) zwischen Gerade und Ebene...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
den Uhrzeigersinn. 3. Lösungsansatz: Schnittpunkte einer Geraden mit einer Kugel Die Geraden \(g\) und \(h\) legen eine Ebene fest, in der das Rechteck \(PUQV\) liegt. Schneidet man eine Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(T\) und dem Durchmesser \(d =...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
und \(P\,(0|0|0)\) beschreiben (vgl. Abbildung). Die rechteckige Grundfläche \(ABQP\) liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene. Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 0,1 m, d.h. der Grundkörper ist 0,6 m hoch. Geben Sie die Koordinaten des Punkts...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
ob das Fenster bei seiner Drehung am Möbelstück anstoßen kann. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe g 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts 3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung 4. Lösungsansatz: Betrachtung...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 1 Language: *
Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{-1}^x f(t)\,dt\) genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie die Nullstellen von...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
einschließt. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Koordinaten des Schnittpunktes \(S\) {slider Lagebeziehung von Gerade und Ebene} Lagebeziehung von Gerade und Ebene \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}; \;...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Tiefe \(t\) des Möbelstücks Die Tiefe \(t\) des Möbelstücks entspricht dem Abstand der Geraden \(k\) von der Ebene \(W\), in der die Wand unter dem Fenster liegt. \[k \colon \enspace \overrightarrow X = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix}...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Strecke \([AB]\) und ermitteln Sie den Radius der beiden Kreise. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe b 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts 3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung 4. Lösungsansatz: Höhen-...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\) sowie das Volumen \(V\) der Pyramide. (Teilergebnis: \(V = 216\)) (7 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Neigungswinkel der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\)...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
der im Modell durch den Punkt \(M(-40|30|30)\) dargestellt wird. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe e 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts 3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung \[M(-40|30|30), \qquad g...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Hubschrauber parallel zum Hang fliegt. Demnach muss gelten: \(g \parallel E\). Gegenseitige Lage der Geraden \(g\) und der Ebene \(E\) {slider Lagebeziehung von Gerade und Ebene} Lagebeziehung von Gerade und Ebene \(g \colon \overrightarrow{X} =...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
c Vermutung: Bei der Festlegung der Grundstücksgröße wird die senkrechte Projektion eines Grundstücks auf die Horizontalebene (\(x_1x_2\)-Ebene) herangezogen. Auf der Landkarte des Grundbuchamts ist also der Flächeninhalt des Rechtecks \(OAB'C'\)...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Kugel (Halbkugel) 3. Lösungsansatz: Abstand Punkt - Gerade, Satz des Pythagoras 3. a) Abstand \(d(Z;g_2)\) - Ansatz mit Hilfsebene 3. b) Abstand \(d(Z;g_2)\) - Anwenden des Skalarprodukts Der Überwachungsbereich des Radars bildet auf der...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Die Ebene \(F\) schneidet den Würfel \(W\) in einem regulären Sechseck. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene \(F\) mit der \(x_1\)- und der \(x_3\)-Koordinatenachse und bestätigen Sie, dass der Mittelpunkt der Strecke \([G_2G_3]\) auf \(F\) liegt....

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
5 \\ 5 \\ 1 \end{smallmatrix}\right) \,,\enspace \lambda \in \mathbb R\), ist Flugbahn von \(F_1\). Die \(x_1x_2\)-Ebene ist die Horizontale. Der Steigungswinkel der Flugbahn \(F_1\) gegen die Horizontale entspricht dem Schnittwinkel zwischen der...

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