Lösung - Aufgabe 5

Florian behauptet: „Sind die Ableitungen von zwei Funktionen gleich, so sind auch die Funktionen selbst gleich."

Nehmen Sie zu Florians Aussage begründend Stellung.

Florians Behauptung ist falsch!

 

Begründung:

Zwei verschiedene Funktionen \(f\) und \(g\), deren Funktionsterm sich nur im Wert einer additiven Konstante \(C \in \mathbb R\) unterscheidet, haben mit \(C' = 0\) die gleiche Ableitungsfunktion \(f'(x) = g'(x)\).

Beispiel:

\[\left. \begin{align*} f(x) &= x^{2} + 4x + 3 \\[0.8em] g(x) &= x^{2} + 4x -5 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace f'(x) = g(x) = 2x + 4\]

 

Es gibt also unendlich viele (verschiedene) Funktionen \(x \mapsto x^{2} + 4x + C; \; C \in \mathbb R\) (Funktionenschar) mit der Ableitungsfunktion \(x \mapsto 2x + 4\).

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