Lösung - Aufgabe 4

Gegeben sind die Punkte \(A(4|-2|-1)\), \(B(2|4|5)\) und \(C(5|-6|3)\).

 

a) Ermitteln Sie die Größe des Innenwinkels \(\alpha\) des Dreiecks \(ABC\).

b) Geben Sie die Gleichung der Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(C\) in Koordinatendarstellung an, auf deren Oberfläche der Punkt \(A\) liegt. Untersuchen Sie mithilfe der Kugelgleichung, ob der Punkt \(B\) innerhalb der Kugel \(K\), auf der Kugeloberfläche von \(K\) oder außerhalb von \(K\) liegt.

a) Größe des Innenwinkels \(\alpha\) des Dreiecks \(ABC\)

Planskizze:

Planskizze: Dreieck ABC, Verbindungsvektoren der Punkte A und B sowie der Punkte A und C, Innenwinkel α

Der Innenwinkel \(\alpha\) des Dreiecks \(ABC\) ist gleich dem Winkel zwischen den Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\).

 

\[\cos{\alpha} = \frac{\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}}{\vert \overrightarrow{AB} \vert \cdot \vert \overrightarrow{AC} \vert}\]

 

Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) berechnen:

 

\(A(4|-2|-1)\), \(B(2|4|5)\), \(C(5|-6|3)\)

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

Innenwinkel \(\alpha\) berechnen:

\[\begin{align*} \cos{\alpha} &= \frac{\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}}{\vert \overrightarrow{AB} \vert \cdot \vert \overrightarrow{AC} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}}{\left| \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{(-2) \cdot 1 + 6 \cdot (-4) + 6 \cdot 4}{\sqrt{(-2)^{2} + 6^{2} + 6^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + (-4)^{2} + 4^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{-2}{\sqrt{76} \cdot \sqrt{33}} \\[0.8em] &\approx -0{,}040 & &| \; \text{TR:} \; \cos^{-1}(\dots) \\[2.4em] \alpha &\approx 92{,}29^{\circ} \end{align*}\]

 

b) Gleichung der Kugel \(K\) mit Mittelpunkt \(C\) und \(A \in K\) in Koordinatendarstellung sowie Untersuchung der Lage des Punktes \(B\) bezüglich \(K\)

 

Gleichung der Kugel \(K\) mit Mittelpunkt \(C\) und \(A \in K\) in Koordinatendarstellung

 

Anmerkung:

Die Gleichung der Kugel \(K\) ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung oder Rechnung kann entfallen.

 

Der Radius \(r\) der Kugel \(K\) ist gleich dem Betrag des Verbindungsvektors \(\overrightarrow{AC}\) oder dessen Gegenvektor \(\overrightarrow{CA}\).

 

\(r = \vert \overrightarrow{AC} \vert = \sqrt{33}\) (vgl. Teilaufgabe a)

\(C(5|-6|3)\)

\[\begin{align*} &K \colon (x_{1} - c_{1})^{2} + (x_{2} - c_{2})^{2} + (x_{3} - c_{3})^{2} = r^{2} \\[0.8em] &K \colon (x_{1} - c_{1})^{2} + (x_{2} - c_{2})^{2} + (x_{3} - c_{3})^{2} = {\vert \overrightarrow{AC} \vert}^{2} \\[0.8em] &K \colon (x_{1} - 5)^{2} + (x_{2} + 6)^{2} + (x_{3} - 3)^{2} = {\sqrt{33}}^{2} \\[0.8em] &K \colon (x_{1} - 5)^{2} + (x_{2} + 6)^{2} + (x_{3} - 3)^{2} = 33 \end{align*}\]

 

Untersuchung der Lage des Punktes \(B\) bezüglich der Kugel \(K\) mithilfe der Kugelgleichung

Es wird die Punktprobe \(B \in K\) durchgeführt. Folgende drei Fälle sind möglich:

 

\[B \notin K \colon (b_{1} - 5)^{2} + (b_{2} + 6)^{2} + (b_{3} - 3)^{2} < 33\]

Der Punkt \(B\) liegt innerhalb der Kugel \(K\).

 

\[B \in K \colon (b_{1} - 5)^{2} + (b_{2} + 6)^{2} + (b_{3} - 3)^{2} = 33\]

Der Punkt \(B\) liegt auf der Kugeloberfläche.

 

\[B \notin K \colon (b_{1} - 5)^{2} + (b_{2} + 6)^{2} + (b_{3} - 3)^{2} > 33\]

Der Punkt \(B\) liegt außerhalb der Kugel \(K\).

 

Punktprobe:

\(B(2|4|5)\)

 

\[\begin{align*}(b_{1} - 5)^{2} + (b_{2} + 6)^{2} + (b_{3} - 3)^{2} &= (2 - 5)^{2} + (4 + 6)^{2} + (5 - 3)^{2} \\[0.8em] &= (-3)^{2} + 10^{2} + 2^{2} \\[0.8em] &= 113\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad 113 > 33\]

\(\Longrightarrow \quad\)Derr Punkt \(B\) liegt außerhalb der Kugel \(K\).

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Lösung - Aufgabe 3 Lösung - Aufgabe 5 »