Lösung - Aufgabe 4

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{20}x^{5} + \dfrac{1}{12}x^{4} - \dfrac{1}{3}x^{3}\).

 

Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und geben Sie das Kümmungsverhalten von \(G_{f}\) an.

\[f(x) = \frac{1}{20}x^{5} + \frac{1}{12}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt von \(G_{f}\) lautet:

(vgl. ABITUR SKRIPT 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte)

\[f''(x) = 0\]

 

Erste Ableitung \(f'\) und zweite Ableitung \(f''\) der Funktion \(f\) bilden:

Die Funktion \(f\) lässt sich wiederholt mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel ableiten.

\[f(x) = \frac{1}{20}x^{5} + \frac{1}{12}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{20} \cdot 5 \cdot x^{4} + \frac{1}{12} \cdot 4 \cdot x^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^{2} \\[0.8em] &= \frac{1}{4}x^{4} + \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}f''(x) &= \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot x^{3} + \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot x \\[0.8em] &= x^{3} + x^{2} - 2x\end{align*}\]

 

Nullstellen von \(f''\) bestimmen:

 

\[\begin{align*} f''(x) &= 0 \\[0.8em] x^{3} + x^{2} - 2x &= 0 & &| \; \text{Faktor} \; x \; \text{ausklammern} \\[0.8em] x \cdot (x^{2} + x - 2) &= 0 \end{align*}\]

 

Satz vom Nullprodukt:

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.

 

\[\Longrightarrow \quad x_{1} = 0 \enspace \vee \enspace x^{2} + x - 2 = 0\]

 

Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden:

\[\begin{align*}x_{2,3} &= \frac{-1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \\[0.8em] &= \frac{-1 \pm 3}{2} \\[0.8em] &= -\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}\end{align*}\]

 

\[x_{2} = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -2\]

\[x_{3} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1\]

 

Die Nullstellen \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = -2\) und \(x_{3} = 1\) von \(f''\) sind mögliche Wendestellen des Graphen der Funktion \(f\).

Die Nullstelle \(x_{1} = 0\) von \(f''\) ist zugleich Nullstelle von \(f'(x) = \frac{1}{4}x^{4} + \frac{1}{3}x^{3} - x^{2}\), was auf einen Terrassenpunkt hinweist.

 

Die Überprüfung der Wendestellen erfolgt zweckmäßig mithilfe einer Krümmungstabelle, welche den Vorzeichenwechsel in der Umgebung der möglichen Wendestellen \(x_{1}\), \(x_{2}\) und \(x_{3}\) dokumentiert.

Vorteil: Das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) kann der Tabelle direkt entnommen werden.

Um den Vorzeichenwechsel von \(f''\) in der Umgebung von \(x_{1}\), \(x_{2}\) und \(x_{3}\) aussagekräftig dokumentieren zu können, wird der Funktionsterm \(f''(x)\) anhand der bekannten Nullstellen in seiner vollständig faktorisierten Form angegeben (Linearfaktorzerlegung, vgl. ABITUR SKRIPT 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Produktform).

 

\[\begin{align*} f''(x) &= x^{3} + x^{2} - 2x \\[0.8em] &= x(x + 2)(x - 1) \end{align*}\]

  \(x < -2\) \(x = -2\) \(x > -2\)
\(x\) \(-\) \(-\) \(-\)
\((x + 2)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\((x - 1)\) \(-\) \(-\) \(-\)
\(f''(x)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(G_{f}\) \(\Large \curvearrowright\) \(W(-1|f(-1))\) \(\style{display: inline-block; transform:rotate(0.5turn);}{\Large \curvearrowleft}\)

 

  \(x < 0\) \(x = 0\) \(x > 0\)
\(x\) \(-\) \(0\) \(+\)
\((x + 2)\) \(+\) \(+\) \(+\)
\((x - 1)\) \(-\) \(-\) \(-\)
\(f''(x)\) \(+\) \(0\) \(-\)
\(G_{f}\) \(\style{display: inline-block; transform:rotate(0.5turn);}{\Large \curvearrowleft}\) \(TeP(0|f(0))\) \(\Large \curvearrowright\)

 

  \(x < 1\) \(x = 1\) \(x > 1\)
\(x\) \(+\) \(+\) \(+\)
\((x + 2)\) \(+\) \(+\) \(+\)
\((x - 1)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(f''(x)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(G_{f}\) \(\Large \curvearrowright\) \(W(2|f(2))\) \(\style{display: inline-block; transform:rotate(0.5turn);}{\Large \curvearrowleft}\)

 

Anmerkung:

Als Alternative wäre \(f'''(x_{1}) \neq 0\), \(f'''(x_{2}) \neq 0\) und \(f'''(x_{3})\) zu überprüfen (vgl. ABITUR SKRIPT 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte). Nachteil: Diese Methode liefert keine Aussage über das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\).

 

\(y\)-Koordinate der Wendepunkte/des Terrassenpunkts berechnen:

 

\[f(x) = \frac{1}{20}x^{5} + \frac{1}{12}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

\[f(-2) = \frac{1}{20} \cdot (-2)^{5} + \frac{1}{12} \cdot (-2)^{4} - \frac{1}{3} \cdot (-2)^{3} = 2{,}4\]

\[f(0) = \frac{1}{20} \cdot 0^{5} + \frac{1}{12} \cdot 0^{4} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} = 0\]

\[f(1) = \frac{1}{20} \cdot 1^{5} + \frac{1}{12} \cdot 1^{4} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} = -0{,}2\]

 

Der Graph der Funktion \(f\) besitzt die Wendepunkte \(W(-2|2{,}4)\) und \(W(1|-0{,}2)\) sowie den Terrassenpunkt \(TeP(0|0)\).

 

Das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) kann der Krümmungstabelle entnommen werden:

 

Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) ist

  • für \(x \in \; ]-\infty;-2[\) rechtsgekrümmt,
  • für \(x \in \; ]-2;0[\) linksgekrümmt,
  • für \(x \in \; ]0;1[\) rechtsgekrümmt und
  • für \(x \in \; ]1;+\infty[\) linksgekrümmt.
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