Lösung - Aufgabe 5

Abbildung zu Klausur Q12/1 001 Aufgabe 5

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(R\) definierten Funktion \(f\).

 

a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{F}\) der Integralfunktion \(F \colon x \mapsto \displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt\) in die Abbildung. Gehen Sie dabei insbesondere auf die Nullstellen und die Extremstelle von \(G_{f}\) sowie auf das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to \pm \infty\) ein. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

b) „Jede Stammfunktion der abgebildeten Funktion \(f\) ist eine Integralfunktion." Nehmen Sie zu dieser Aussage begründend Stellung, indem Sie sich auf \(G_{F}\) beziehen.

a) Skizzieren des Graphen der Integralfunktion \(F\)

 

\[F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt\]

 

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die zu skizzierende Integralfunktion \(F\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) und es gilt:

\[F'(x) = f(x)\]

 

Der abgebildete Graph \(G_{f}\) beschreibt demnach den Verlauf des Graphen der Ableitung der zu skizzierenden Integralfunktion \(F\).

 

Betrachtung der Nullstellen von \(G_{f}\)

Nullstellen des Graphen der Funktion f, Extrempunkte des Graphen der Integralfunktion F

Der Verlauf von \(G_{f}\) zeigt, dass die Funktion \(f\) die einfache Nullstelle \(x = -1\) mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) und die einfache Nullstelle \(x = 1\) mit Vorzeichenwechsel von \(x\) nach \(-\) hat.

Mit \(F'(x) = f(x)\) folgt daraus, dass der Graph der Integralfunktion \(F\) an der Stelle \(x = -1\) den Tiefpunkt \(TiP(-1|F(-1))\) und an der Stelle \(x = 1\) den Hochpunkt \(HoP(1|F(1))\) besitzt.

Die \(y\)-Koordinate des Tief- bzw. Hochpunkts lässt sich abschätzen, indem man die Flächenstücke betrachtet, welche \(G_{f}\) im Intervall \([-1;0]\) bzw. \([0;1]\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Die Flächeninhalte der Flächenstücke beanspruchen näherungsweise etwas mehr als vier Kästchen und betragen damit etwas mehr als 1 FE (1 Kästchen entspricht 0,25 Flächeneinheiten).

Da im Falle \(\displaystyle F(-1) = \int_{0}^{-1} f(t) dt\) „nach links" integriert wird, zählt der Flächeninhalt des Flächenstücks im Intervall \([-1;0]\) negativ (vgl. ABITUR SKRIPT 1.6.3 Bestimmtes Integral, Integrationsregeln, Vertauschungsregel).

\[\left. \begin{align*} &F'(x) < 0 \; \text{für} \; x < -1 \\[0.8em] &F'(-1) = 0 \\[0.8em] &F'(x) > 0 \; \text{für} \; x > -1 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt}\; TiP(-1|F(-1))\]

 

\[\left. \begin{align*} &F'(x) > 0 \; \text{für} \; x < 1 \\[0.8em] &F'(1) = 0 \\[0.8em] &F'(x) < 0 \; \text{für} \; x > 1 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt}\; HoP(1|F(1))\]

 

\[F(-1) = \int_{0}^{-1} f(t) dt = -\int_{-1}^{0} f(t) dt \approx -(4 \cdot 0{,}25) \approx - 1\]

\[F(1) = \int _{0}^{1} f(t) dt \approx 4 \cdot 0{,}25 \approx 1\]

 

Betrachtung der Extremstelle von \(G_{f}\)

Hochpunkt des Graphen der Funktion f, Wendepunkt des Graphen der Integralfunktion F

An der Stelle \(x = 0\) besitzt \(G_{f}\) einen Hochpunkt. In der Umgebung des Hochpunkts wechselt der Graph \(G_{f}\) das Monotonieverhalten von „streng monoton steigend" nach „streng monoton fallend".

\[\text{Hochpunkt}\; HoP(0|f(0)) \enspace \Rightarrow \enspace \left\{ \begin{align*} &f'(x) > 0 \; \text{für} \; x < 0 \\[0.8em] &f'(0) = 0 \\[0.8em] &f'(x) < 0 \; \text{für} \; x > 0 \end{align*} \right.\]

 

Mit \(F''(x) = f'(x)\) folgt, dass der Graph der Integralfunktion \(F\) an der Stelle \(x = 0\) den Wendepunkt \(W(0|F(0))\) hat und dort das Krümmungsverhalten von „linksgekrümmt" nach „rechtsgekrümmt" wechselt.

\[\left. \begin{align*} &F''(x) > 0 \; \text{für} \; x < 0 \\[0.8em] &F''(0) = 0 \\[0.8em] &F''(x) < 0 \; \text{für} \; x > 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Wendepunkt}\; W(0|F(0))\]

 

Da jede Integralfunktion an der unteren Integrationsgrenze eine Nullstelle hat, liegt der Wendepunkt \(W(0|f(0))\) mit \(F(0) = 0\) im Koordinatenursprung.

\[F(0) = \int_{0}^{0} f(t) dt = 0 \quad \Longrightarrow \quad W(0|0)\]

Der Graph \(G_{F}\) der Integralfunktion \(F\) ist

  • mit \(F''(x) > 0\) für \(x < 0\) im Intervall \(]-\infty;0[\) linksgekrümmt und
  • mit \(F''(x) < 0\) für \(x > 0\) im Intervall \(]0;+\infty[\) rechtsgekrümmt.

Die bereits ermittelten Extrempunkte \(TiP(-1|F(-1))\) und \(HoP(1|F(1))\) (vgl. Betrachtung der Nullstellen von \(G_{f}\)) bestätigen das Krümmungsverhalten von \(G_{F}\).

 

Betrachtung des Verhaltens von \(G_{f}\) für \(x \to \pm \infty\)

Verhalten des Graphen der Funktion f sowie des Graphen der Integralfunktion F für x → -∞ bzw. x → +∞

Für \(x \to \pm \infty\) nähert sich der Graph \(G_{f}\) der waagrechten Asymptote mit der Gleichung \(y = -2\) an.

Das heißt, es gilt:

 

\[\lim \limits_{x \,\to\,\pm\infty} f(x) = -2\]

 

Mit \(F'(x) = f(x)\) folgt:

 

\[\lim \limits_{x \,\to\,\pm\infty} F'(x) = -2\]

 

Die erste Ableitung \(F'(x)\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Integralfunktion \(F\).

Die Steigung einer Tangente an \(G_{F}\) ist also für \(x \to \pm \infty\) mit \(m = -2\) näherungsweise konstant. Das bedeutet, dass \(G_{F}\) für \(x \to \pm \infty\) näherungsweise dem Verlauf einer Geraden mit der Steigung \(-2\) folgt.

 

Zusammenfassung der Ergebnisse

Eigenschaften des Graphen \(G_{F}\) der Integralfunktion \(F\):

  • \(G_{F}\) besitzt näherungsweise den Tiefpunkt \(TiP(-1|-1)\) und den Hochpunkt \(HoP(1|1)\).
  • \(G_{F}\) verläuft durch den Wendepunkt \(W(0|0)\).
  • \(G_{f}\) ist für \(x < 0\) linksgekrümmt und für \(x > 0\) rechtsgekrümmt.
  • Für \(x \to \pm \infty\) nähert sich \(G_{F}\) einer Geraden mit der Steigung \(-2\) an. 
Graph der Funktion f und Graph der Integralfunktion F

Graph \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) und Graph \(G_{F}\) der Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt\)

 

b) Bewertung der Aussage „Jede Stammfunktion der abgebildeten Funktion \(f\) ist eine Integralfunktion." unter Bezugnahme auf \(G_{F}\)

(vgl. ABITUR SKRIPT 1.6.6 Integralfunktion, Zusammenhang Integralfunktion - Stammfunktion)

 

Die Aussage ist richtig.

 

Begründung:

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) ist jede Integralfunktion \(\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) dt\) einer gegebenen stetigen Funktion \(f\) eine Stammfunktion von \(f\).

Umgekehrt gilt dies nicht, denn jede Integralfunktion hat an der unteren Integrationsgrenze eine Nullstelle, aber nicht jede Stammfunktion muss zwingend eine Nullstelle haben, So kann der Graph einer Stammfunktion ausschließlich oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen, ohne die \(x\)-Achse zu schneiden.

Im Falle der abgebildeten Funktion \(f\) hat aber tatsächlich jede Stammfunktion von \(f\) eine Nullstelle. Dies lässt der Graph \(G_{F}\) der Integralfunktion \(F\) erkennen.

Die Graphen der Stammfunktionen von \(f\) unterscheiden sich hinsichtlich Ihres Verlaufs nur durch eine Verschiebung in \(y\)-Richtung. Der Graph \(G_{F}\) ist der Graph einer dieser Stammfunktionen. Da \(G_{F}\) für \(x \to -\infty\) bzw. \(x \to +\infty\) nach \(+\infty\) bzw. \(-\infty\) verläuft, hat der Graph einer Stammfunktion, der bezüglich \(G_{F}\) in \(y\)-Richtung verschoben ist, mindestens eine Nullstelle.

Damit ist jede Stammfunktion der abgebildeten Funktion \(f\) auch eine Integralfunktion.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Lösung - Aufgabe 4