Lösung - Aufgabe 5

Gegeben sind die Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\).

a) Weisen Sie nach, dass sich die Geraden \(g\) und \(h\) im Punkt \(S(-3|-1|4)\) schneiden.

b) Geben Sie eine Gleichung der von den Geraden \(g\) und \(h\) aufgespannten Ebene \(E\) in Parameterform an und bestimmen Sie ein Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

a) Nachweis, dass sich die Geraden \(g\) und \(h\) im Punkt \(S(-3|-1|4)\) schneiden

Für die Berechnung des Schnittpunkts \(S\) der Geraden \(g\) und \(h\) werden die Ortsvektoren \(\overrightarrow{X}_{g}\) und \(\overrightarrow{X}_{h}\) der Geradengleichungen von \(g\) und \(h\) gleichgesetzt (vgl. ABITUR SKRIPT 2.3.1 Lagebeziehung von Geraden).

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

\[h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\]

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{X}_{g} &= \overrightarrow{X}_{h} \\[0.8em] \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Liest man die Vektorgleichung zeilenweise, ergibt sich ein (überbestimmtes) lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den beiden zu bestimmenden Unbekannten \(\lambda\) und \(\mu\).

 

\[\begin{align*} \text{I} & & -5 + 6\lambda &= -6 + 3\mu \\[0.8em] \text{II} & & \wedge -2 + 3\lambda &= -8 + 7\mu \\[0.8em] \text{III} & & \wedge \enspace \enspace \: 5 - 3\lambda &= \enspace \: 3 + \enspace \mu \end{align*}\]

 

Aus je zwei Gleichungen lassen sich die Werte von \(\lambda\) und \(\mu\) bestimmen. Die Lösung ist nur dann eindeutig, wenn die ermittelten Werte für \(\lambda\) und \(\mu\) die dritte Gleichung erfüllen (wahre Aussage).

In diesem Fall bietet es sich an, auf die Gleichungen II und III das Additionsverfahren anzuwenden, um in einem ersten Schritt den Wert des Parameters \(\mu\) zu ermitteln.

 

\[\begin{align*} \text{II} +  \text{III} \colon -2 + 5 + 3\lambda - 3\lambda &= -8 + 3 + 7\mu + \mu \\[0.8em] 3 + 0 &= -5 + 8\mu &&| + 5 \\[0.8em] 8 &= 8\mu &&| : 8 \\[0.8em] 1 &= \mu \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} \mu = 1 \; \text{in III}\colon 5 - 3\lambda &= 3 + 1 \\[0.8em] 5 - 3\lambda &= 4 &&| - 5 \\[0.8em] -3\lambda &= -1 &&| : (-3) \\[0.8em] \lambda &= \frac{1}{3} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} \lambda = \frac{1}{3}, \; \mu = 1 \; \text{in I}\colon -5 + 6 \cdot \frac{1}{3} &= 3 + 1 \\[0.8em] -5 + 2 &= -6 + 3 \\[0.8em] -3 &= -3 \quad(\text{w}) \end{align*}\]

 

Also ist \(\lambda = \frac{1}{3}\) und \(\mu = 1\) eine eindeutige Lösung des Gleichungssystems.

Um den Ortsvektor \(\overrightarrow{S}\) des Schnittpunkts \(S\) zu bestimmen, wird entweder \(\lambda = \frac{1}{3}\) in die Gleichung der Gerade \(g\) oder \(\mu = 1\) in die Gleichung der Geraden \(h\) eingesetzt.

 

\[S \in g \colon \overrightarrow{S} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad S(-3|-1|4)\]

\[S \in h \colon \overrightarrow{S} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad S(-3|-1|4)\]

 

b) Gleichung der von den Geraden \(g\) und \(h\) aufgespannten Ebene \(E\) in Parameterform sowie Bestimmung einer Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform

 

Gleichung der von den Geraden \(g\) und \(h\) aufgespannten Ebene \(E\) in Parameterform

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

\[h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\]

 

Veranschaulichung: Die sich schneidenden Geraden g und h spannen die Ebene E auf.

Veranschaulichung: Zwei sich schneidende Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{B} + \mu \cdot \overrightarrow{v}\) legen die Gleichung einer Ebene \(E\) eindeutig fest. Beispiel: \(E \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} + \mu \cdot \overrightarrow{AB}; \; \lambda, \mu \in \mathbb R\) (vgl. ABITUR SKRIPT 2.2.2 Ebenengleichung in Parameterform)

 

Wählt man einen Stützvektor der Geradengleichung von \(g\) oder \(h\) und die beiden (linear unabhängigen) Richtungsvektoren der Geradengleichungen als Spannvektoren, so ergeben sich folgende mögliche Gleichungen der Ebene \(E\) in Parameterform:

 

\[E \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda, \mu \in \mathbb R\]

oder

\[E \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda, \mu \in \mathbb R\]

 

Bestimmung einer Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform

Veranschaulichung: Normalenform einer Ebene E

Veranschaulichung: Normalenform einer Ebene \(E\) (vgl. ABITUR SKRIPT 2.2.3 Ebenengleichung in Normalenform)

 

Das Vektorprodukt der beiden (linear unabhängigen) Richtungsvektoren der Geraden \(g\) und \(h\) liefert einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\).

Der Ansatz für die Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform kann mit der Vektordarstellung oder der Koordinatendarstellung erfolgen.

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) bestimmen:

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

\[h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\]

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & \cdot & 1 & - & (-3) & \cdot & 7 \\ (-3) & \cdot & 3 & - & 6 & \cdot & 1 \\ 6 & \cdot & 7 & - & 3 & \cdot & 3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 24 \\ -15 \\ 33 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= 3 \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -5 \\ 11 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Also ist der Vektor \(\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 8 \\ -5 \\ 11 \end{pmatrix}\) ein Normalenvektor der Ebene \(E\).

 

Die Aufgabenstellung verlangt nach der Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. Ob in der Vektordarstellung oder in der Koordinatendarstellung ist frei wählbar.

 

1. Möglichkeit: Ansatz mit Vektordarstellung

Es wird beispielsweise der Stützvektor \(\begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\) der Geradengleichung von \(g\) als Stützvektor für die Gleichung der Ebene \(E\) verwendet. Damit lässt sich die Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform in der Vektordartsellung wie folgt angeben:

\[E \colon \begin{pmatrix} 8 \\ -5 \\ 11 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \right] = 0\]

 

Durch Ausmultiplizieren des Skalarproduks erhält man die Ebenengleichung in Normalenform in der Koordinatendarstellung.

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} 8 \\ -5 \\ 11 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 8 \cdot (x_{1} - (-5)) + (-5) \cdot (x_{2} - (-2)) + 11 \cdot (x_{3} - 5) &= 0 \\[0.8em] 8x_{1} + 40 - 5x_{2} - 10 + 11x_{3} - 55 &= 0 \\[0.8em] 8x_{1} - 5x_{2} + 11x_{3} - 25 &= 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon 8x_{1} - 5x_{2} + 11x_{3} - 25 = 0 \]

 

2. Möglichkeit: Ansatz mit Koordinatendarstellung

Beispielsweise entnimmt man dem Stützvektor \(\begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\) der Geradengleichung von \(g\), dass der Punkt \((-5|-2|5)\) in der Ebene \(E\) liegt.

\(\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 8 \\ -5 \\ 11 \end{pmatrix}; \; (-5|-2|5) \in E\)

 

\[\begin{align*} &E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0 \\[0.8em] &E \colon 8x_{1} - 5x_{2} + 11x_{3} + n_{0} = 0 \end{align*}\]

 

Mit \((-5|-2|5) \in E\) lässt sich \(n_{0}\) berechnen.

 

\[\begin{align*} (-5|-2|5) \in E \colon 8 \cdot (-5) - 5 \cdot (-2) + 11 \cdot 5 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] -40 + 10 + 55 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 25 + n_{0} &= 0 &&| - 25 \\[0.8em] n_{0} &= -25 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon 8x_{1} - 5x_{2} + 11x_{3} - 25 = 0 \]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Lösung - Aufgabe 4